1、9.1数列的概念数列的概念【课标要求课标要求】掌握数列、有穷数列、无穷数列、通项公式的概念，理解掌握数列、有穷数列、无穷数列、通项公式的概念，理解递推公式的概念，理解数列与函数之间的关系递推公式的概念，理解数列与函数之间的关系按某种规则依次排列的一列数叫做按某种规则依次排列的一列数叫做_，数列中的每，数列中的每一个数叫做这个数列的一个数叫做这个数列的_，数列中的每一项都和它，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第的序号有关，排在第1位的数称为这个数列的首项或叫做位的数称为这个数列的首项或叫做_项，排在第项，排在第2位的数称为这个数列的第位的数称为这个数列的第2项，项，排在第排在第n位的数称为这
2、个数列的第位的数称为这个数列的第_项项答案数列项第答案数列项第1n数列的一般形式可以写成数列的一般形式可以写成a1，a2，an，简记为，简记为_自学导引自学导引12项数有限的数列叫做项数有限的数列叫做_数列，项数无限的数列叫做数列，项数无限的数列叫做_数列数列答案有穷无穷答案有穷无穷答案通项答案通项43如果数列如果数列 an 的任一项的任一项an1与它的前一项与它的前一项an(或前几项或前几项)之之间的关系可用一个公式来表示，即间的关系可用一个公式来表示，即an1f(an)，n1，那，那么这个公式就叫作数列么这个公式就叫作数列 an 的的_；a1(或数列前几或数列前几项项)称为数列称为数列 a
3、n 的初始条件的初始条件答案递推公式答案递推公式53，2，2，x，6，8，y，12这几个元素能构成数列这几个元素能构成数列吗？说明理由吗？说明理由提示当提示当x，y代表数时为数列，当代表数时为数列，当x，y中有一个不代表数中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数构成的时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数构成的数列与数集有什么不同？数列与数集有什么不同？提示数列中的数是有序的，而数集中的数是无序的，数提示数列中的数是有序的，而数集中的数是无序的，数列中的数可以相同而数集中的数是互异的列中的数可以相同而数集中的数是互异的自主探究自主探究12下列命题中错误的是下列命题中错误的
4、是 ()Af(n)2n1(nN*)是数列的一个通项公式是数列的一个通项公式B数列通项公式是一个函数关系式数列通项公式是一个函数关系式C任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D数列中有无穷多项的数列叫做无穷数列数列中有无穷多项的数列叫做无穷数列解析根据数列的定义与特点解析根据数列的定义与特点答案答案C预习测评预习测评1A一条射线一条射线 B一条直线一条直线C射线上的一些点射线上的一些点 D直线上的一些点直线上的一些点解析根据数列与函数的关系解析根据数列与函数的关系答案答案C若若a11，an1an1，则，则a2_解析解析a2a112.答案答案2解析解析a3
5、236.答案答案6234数列的概念数列的概念一般地，按某种规则依次排列的一列数叫数列，数列中的一般地，按某种规则依次排列的一列数叫数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项项(或首项或首项)，第，第2项，项，第，第n项，项，数列的一般形式可以写成数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，名师点睛名师点睛1注意注意(1)数列与数集是两个不同的概念，它们主要区别数列与数集是两个不同的概念，它们主要区别在于：集合中的元素具有无序性和互异性，数列中的项是在于：集合中的元素具有无序性和互异性，数列中的项是有序的且可以相同，即
6、如果组成两个数列的数相同而排列有序的且可以相同，即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，另一方面，同一个次序不同，那么它们就是不同的数列，另一方面，同一个数在数列中可以重复出现数在数列中可以重复出现(3)数列的项与它的项数是两个不同的概念：数列的项是数列的项与它的项数是两个不同的概念：数列的项是指出现在这个数列中某一个确定的数指出现在这个数列中某一个确定的数an，它是一个函数，它是一个函数值，即值，即anf(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值号，它是函数值f(n)的对应的自变量的值，即的对应的自变量的值，即n.数列的
7、通项公式数列的通项公式注意注意(1)有的数列写不出通项公式，有的数列其通项公有的数列写不出通项公式，有的数列其通项公式不惟一式不惟一(2)数列可看成定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列可看成定义域为正整数集或其有限子集的函数，其通项公式为函数解析式其通项公式为函数解析式例如：数列例如：数列2，4，8，16，通项公式：通项公式：an2n(nN*)2数列的递推公式数列的递推公式(1)通项公式和递推公式的区别通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映通项公式直接反映an和和n之间的关系，即之间的关系，即an是是n的函数，知的函数，知道任意一个具体的道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项值
8、，通过通项公式就可以求出该项an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个两个(或多个或多个)相邻项之间的推导关系，不能由相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出直接得出an.(2)如何用递推公式给出一个数列如何用递推公式给出一个数列3(3)给出了递推公式求通项公式，常用叠加、累乘、周期给出了递推公式求通项公式，常用叠加、累乘、周期性等知识，即性等知识，即anan1f(n)满足一定规律时，可以有满足一定规律时，可以有an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1叠加叠加数列与函数的关系数列与函数的关系数列就是一种函数，只不过是定义在正
9、整数集数列就是一种函数，只不过是定义在正整数集N*(或其有或其有限子集限子集)上的函数，如果已知定义在正整数集上的函数上的函数，如果已知定义在正整数集上的函数f(n)，那么，那么 f(n)就是一个数列另一方面，如果已知数就是一个数列另一方面，如果已知数列列 an，那么，我们把表示位置的量看作自变量，数列的，那么，我们把表示位置的量看作自变量，数列的项就可看作项就可看作“位置位置”的函数值，的函数值，anf(n)就是一个定义在就是一个定义在正整数集正整数集(或其有限子集或其有限子集)上的函数，因此，数列的概念和上的函数，因此，数列的概念和定义在正整数集定义在正整数集(或其有限子集或其有限子集)上
10、的函数的概念确实是同上的函数的概念确实是同一个概念一个概念4 写出数列的一个通项公式，使得它的前几项是下列各写出数列的一个通项公式，使得它的前几项是下列各数数(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9，；(4)3，5，3，5，3，5，.题型一题型一用观察法求数列的通项公式用观察法求数列的通项公式【例例1】典例剖析典例剖析方法点评此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主方法点评此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察要靠观察(观察规律观察规律)、比较、比较(比较已知数列比较已知数列)、归纳、转化、归纳、转化(转化为特殊数列转化为特殊数列)、联想、联想(联想常见的数列联想常见的数列
11、)等方法具体等方法具体方法为：分式中分子、分母的特征；方法为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特相邻项的变化特征；征；拆项后的特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系破，或寻找分子、分母之间的关系1根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式式(4)各项分别加上各项分别加上1，变为，变为10，100，1 000，10 000，an10n1.题型题型二二通项公式的简单应用通项公式的简单应用【
12、例例2】2A2ln 4 B23ln 4C24ln 4 D5ln 4答案答案A题型题型三三由数列的递推公式求数列的指定项由数列的递推公式求数列的指定项【例例3】3误区警示误区警示忽略细节忽略细节(数列中数列中n的取值范围的取值范围)致误致误【例例4】数列中的项和它的项数是不同的，数列中的项是指这个数数列中的项和它的项数是不同的，数列中的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于量的值，相当于f(n)中的中的n.数列中的项是
13、按一定的次序排列的，它的项是可以相同数列中的项是按一定的次序排列的，它的项是可以相同的，与集合中的元素不同，集合中的元素要求不能重复出的，与集合中的元素不同，集合中的元素要求不能重复出现现课堂总结课堂总结123并不是所有的数列都有通项公式，如果一个数列仅仅给出并不是所有的数列都有通项公式，如果一个数列仅仅给出前面有限的几项，那么得到的通项公式并不是惟一的，只前面有限的几项，那么得到的通项公式并不是惟一的，只要符合这几项的公式都可以要符合这几项的公式都可以数列的递推公式是已知数列的第数列的递推公式是已知数列的第1项项(或前几项或前几项)，利用其，利用其任意一项任意一项an和其前一项和其前一项an1(或前几项或前几项)来给出数列的一种来给出数列的一种方法，可由递推公式求出数列的每一项方法，可由递推公式求出数列的每一项45
