1、6.4乘法公式乘法公式 去年，一位农民在一次去年，一位农民在一次“科技下乡科技下乡”活活动中得到启示，将一块边长为动中得到启示，将一块边长为a米的正方形米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大，今年，又一次一年来，收益很大，今年，又一次“科技下科技下乡乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种米，形成四块试验田，种植不同的新品种.问题问题1：同学们，谁来帮老爷爷实现这个愿同学们，谁来帮老爷爷
2、实现这个愿望呢？望呢？问题问题2 2：哪位同学能用不同的方式表示试验哪位同学能用不同的方式表示试验田的面积？田的面积？a2+b2+2ab (a+b)2(a+b)2=a2+2ab+b2问题问题3：哪位同学能从代表运算角度推导出这样哪位同学能从代表运算角度推导出这样 的公式？的公式？想一想想一想：(a-b)2等于什么？你是怎样想的？等于什么？你是怎样想的？问题问题4：上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？几何解释：优点：直观、易懂、明了几何解释：优点：直观、易懂、明了 缺点：有局限性、受条件限制缺点：有局限性、受条件限制代数推导：优点：应用宽、广代数推导：优点
3、：应用宽、广 缺点：不直观、抽象缺点：不直观、抽象(a+b)2=a2+2ab+b2 两数和的平方，等于它们的平方和，加上它两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的们的积的2倍倍.我们把这个规律叫做我们把这个规律叫做两数和的完全平方公式两数和的完全平方公式 概念概念例题解析例题解析例例1 运用两数和的完全平方公式计算：运用两数和的完全平方公式计算：22(1)(3);(2)(34).xmn解：解：2222(1)(3)23369;xxxxx22222(2)(34)(3)2(3)(4)(4)92416.mnmmnnmmnn 例题解析例题解析例例2 运用两数和的完全平方公式计算：运用两数和的完全平
4、方公式计算：22(1)107;(2)().abc分析分析：（1）将）将 写成写成 转化为可转化为可用两数的完全平方公式的形式；用两数的完全平方公式的形式；（2）把）把a+b看成一个整体，将看成一个整体，将 写成写成 的形式，就可以应用公式了的形式，就可以应用公式了.21072(1007),2()abc2()abc例题解析例题解析解：解：22222222222222(1)107(1007)1002 100 7711449;(2)()()()2()222222.abcabcabab ccaabbacbccabcabacbc计算下列各式，你能发现怎样的规律？计算下列各式，你能发现怎样的规律？23=-
5、a()()24=-a()()2=6+9-aa2=8+16-aa动脑筋动脑筋2233+3-aaa2244+4-aaa(a-b)2=a2-2ab+b2 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的们的积的2倍倍.我们把这个规律叫做我们把这个规律叫做两数差的完全平方公式两数差的完全平方公式 概念概念两数和与两数差的完全平方公式，统称为完全平两数和与两数差的完全平方公式，统称为完全平方公式方公式.例题解析例题解析例例3 运用两数差的完全平方公式计算：运用两数差的完全平方公式计算：22(1)(21);(2)(32).xmn解：解：222222222(1)(21)(
6、2)2 211441;(2)(32)(3)2 32(2)9124.xxxxxmnmmnnmmnn 你觉得这个公式有什么特征？你觉得这个公式有什么特征？动脑筋动脑筋在使用这个公式时应该注意什么？在使用这个公式时应该注意什么？是相同的两个二项多项式的乘积是相同的两个二项多项式的乘积首先确定好谁是公式中的首先确定好谁是公式中的a和和b，然后带着然后带着a和和b的符号套用完全平方公式的符号套用完全平方公式总结出完全平方公式对我们有什么帮助？总结出完全平方公式对我们有什么帮助？可以使我们在计算这种类型的多项式乘法可以使我们在计算这种类型的多项式乘法时更加快速和简便时更加快速和简便 1.计算计算：（：（a
7、-b）2.解：解：（）（-）（-）（-）22222222.ababaabbaabb公式的练习公式的练习2.2.运用完全平方公式计算：运用完全平方公式计算：(1)()(3m+n)2；(2)212-x.(1)()(3m+n)2 解解 (3m+n)2=(3m)2+2 3m n+n2=9m2+6mn+n2.21 2 2-x（）212x-22112+22-=x x 21+4-=x x解解计算下列各题，你能发现什么规律？计算下列各题，你能发现什么规律？(1)(x+1)(x-1)；(2)(m+2)(m-2)；(3)(2x+1)(2x-1)；答案答案:(1)(x+1)(x-1)=_；(2)(m+2)(m-2)
8、=_；(3)(2x+1)(2x-1)=_.x21m244x21合作交流，探究新知合作交流，探究新知 导入：导入：将长为（将长为（a+b），宽为（），宽为（ab）的长方形，剪下宽为的长方形，剪下宽为b的长方的长方形条（如图形条（如图1），拼成有空缺），拼成有空缺的正方形（如图的正方形（如图2），并请用），并请用等式表示你剪拼前后的图形等式表示你剪拼前后的图形的面积关系的面积关系(a+b)(ab)=a2b2.图图1图图2 平方差公式平方差公式:(a+b)()(a b)=)=a2 b2.即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.(a+b)(a b)=a2
9、b2.a2 ab+ab b2=注：注：这里的两数可以是这里的两数可以是、也可以是也可以是两个两个等等概念概念例题解析例题解析例例4 运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：(1)(8)(8);(2)(25)(25).mmabab解：解：222(1)(8)(8)864;mmmm2222(2)(25)(25)(2)(5)425.abababab注意：注意：（1）应用这两个公式的条件是：两个因式）应用这两个公式的条件是：两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数；中有一项完全相同，另一项互为相反数；（2）公式中的）公式中的a和和b可以表示数或代数式可以表示数或代数式.例例5 用平方差公式计算用平方差
10、公式计算：解：解：.222551）（）（）；）（）（mnnmyxyx ；）（）（）（）（）（2222255551yxyxyxyx .42222222222mnmnmnmnmnnm ）（）（）（）（）（）（）（例题解析例题解析例题解析例题解析例例6 运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：22(1)59.8 60.2;(2)()()().pqpqpq解：解：22(1)59.8 60.2(600.2)(600.2)60(0.2)36000.043599.96;2222222244(2)()()()()()()()().p q pqp qp q p q pqpqpqpq 例题解析例题解析例例7 计算
11、：计算：(1)(21)(21)(32)(23);(2)(34)(43)(2)(23).xxxxabbababa解：解：22222(1)(21)(21)(32)(23)(21)(21)(32)(32)(2)13(2)41948;xxxxxxxxxxxx 2222222222(2)(34)(43)(2)(23)(3)(4)(4623)91644312420.abbababaabbababaabbabaaabb例题解析例题解析例题解析例题解析例例8 运用乘法公式计算运用乘法公式计算22(2)(2).yxxy分析分析：运用加法交换律，将运用加法交换律，将 变形为变形为 这样这样 符合平方差公式，然后运
12、符合平方差公式，然后运用积的乘方公式将原式变形为用积的乘方公式将原式变形为 再运用乘法公式计算再运用乘法公式计算.2yx 2(2)(2),xyxy2,xy(2)(2)xyxy解：解：2222224224(2)(2)(2)(2)(4)816.yxxyxyxyxyxx yy例题解析例题解析例例9 有一个正方形花园，若它的边长增有一个正方形花园，若它的边长增加加3米，则花园的面积将增加米，则花园的面积将增加39平方米，平方米，求原来花园的面积求原来花园的面积.解解：如图，设原正方形花园的边长为如图，设原正方形花园的边长为x米，那么米，那么增加后的边长为（增加后的边长为（x+3）米）米.由题意，得由题
13、意，得答：原来花园的面积为答：原来花园的面积为25平方米平方米.22222(3)39.6939.5.25.xxxxxxx 1.运用平方差公式计算运用平方差公式计算:(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)(-x+2y)(-x-2y).分析分析:在在(1)中，可以把中，可以把3x看成看成a，2看成看成b，即即 (3x+2)(3x-2)=(3x)2-22 (a +b)(a -b)=a2 -b2练一练练一练2.下列计算对不对？如果不对，怎样改正？下列计算对不对？如果不对，怎样改正？4422222)2)(2(bababa （2）(6)(6)xx错错2(6)(6)6xxx（
14、1）错错2222(2)(2)a ba b226x236x2222)()2(ba 444ba 小结小结(a+b)2=a2+2ab+b2两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的的积的2倍倍.1.1.两数和的完全平方公式两数和的完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的的积的2倍倍.2.2.两数差的完全平方公式两数差的完全平方公式 3.平方差公式平方差公式(a+b)()(a b)=)=即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差差.a2 b2.
