1、对数函数的概念对数函数的概念整体感知在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究新知探究问题1在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律是函数（x 0）进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？你能设计一个方案来研究这个问题吗？要判断其是否为函数，首先要从函数的定义进行思考，然后考察其是否符合函数的定义在考察的时候，一方面可以观察图象上进行定性的分析，另一方面可以依据函数的定义和性质进行定量的推理判断57301()2xy 追问1解决这个
2、问题，显然要依据函数的定义那么依据定义应该怎样进行判断呢？新知探究函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意一个y(0，1，是否都有唯一确定的数x和它对应追问2若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？如右图，观察 的图象，过y轴正半轴上任意一点(0，y0)（0y01）作x轴的平行线，结合指数函数的单调性，这条平行线与 的图象有几个交点？这说明对任意一个y(
3、0，1，都有几个x与其对应？能否将x看成是y的函数？新知探究所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意一个y(0，1，是否都有唯一确定的数x和它对应57301()02xyx57301()02xyx新知探究从图象上看，这条平行于x轴的直线，与 的图象 至少有一个交点(x0，y0)，又因为指数函数 为减函数，所以这个交点是唯一的交点这个交点的意义是，已知死亡生物体内碳14的含量为y0，则可以找到与其对应的唯一的一个死亡时间x0这说明对任意一个y(0，1，在0，)上都有唯一确定的数x和它对应所以x也是y的函数57301()02xyx57301()02xyx追问3能否求出生物死
4、亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？新知探究根据指数与对数的运算关系，可以将 这种对应关系，改写为 习惯上用x表示自变量，用y表示函数值，于是就得到函数 ，它刻画了时间y随碳14含量x的衰减而变化的规律57301()02xyx573012log01xyy573012log0 1yxx，新知探究问题2对一般的指数函数yax(a0，且a1)，根据指数与对数的运算关系，转换成xlogay(a0，且a1)，能否将x看成是y的函数？根据指数函数的性质，当0a1时，yax单调递减；当a1时，yax单调递增所以考虑一般的指数函数yax(a0，且a1)，对任意一个y(0，)，都有唯一确定的数x和它对应因此
5、，x也是y的函数通常，我们用x表示自变量，y表示函数为此，可将xlogay(a0，且a1)改写为：ylogax(a0，且a1)这就是对数函数追问：如果用解析式法表示一个函数，除了要确定其解析式，还要确定其定义域，才能确定下来这个函数现在我们已经确定了一般的对数函数的解析式为ylogax(a0，且a1)，那么通过与指数函数对比，你能给出一般的对数函数的定义域吗？定义：一般地，函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量，定义域是(0，)新知探究根据指数函数的定义域可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是(0，)于是就得到了：新知探究例1
6、求下列函数的定义域：（1）ylog3x2；（2）yloga(4x)(a0，且a1)追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？求解的依据是对数函数ylogax(a0，且a1)的定义域(0，)那么（1）中的x2和（2）中的(4x)的取值范围就是(0，)，于是得到不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域新知探究例1求下列函数的定义域：（1）ylog3x2；（2）yloga(4x)(a0，且a1)解：（1）因为x20，即x0，所以函数ylog3x2的定义域是x|x0（2）因为4x0，即x4，所以函数yloga(4x)的定义域是x|x4新知探究例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长
7、率递增，经过y年后的物价为x（1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律物价物价x12345678910年数年数y0 新知探究例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x（1）该地的物价经过几年后会翻一番？对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换为y关于x的函数解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为x(15%)y，即x1.05y(y0，)由对数与指数间的关系，可得ylog1.05x，x1，)新知探究例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x（1）该地的物价经过几年后会
8、翻一番？对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换为y关于x的函数解：由计算工具可得，当x2时，y14所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番新知探究例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x对于（2），利用计算工具，快速填好表格，探索发现，随着x的增长，y的增长在减缓（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律物价物价x12345678910年数年数y0 新知探究例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律物价物价x12345678910年数年数y
9、0 解：（2）根据函数ylog1.05x，x1，)，利用计算工具，可得表：由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小142328333740434547归纳小结问题3回顾本节课，谈谈我们是怎么得到对数函数概念的？对数函数的现实背景是什么？（1）本节课我们先通过4.2.1的问题2中所阐述的实际问题，利用图象上x与y的对应关系，并结合指数函数的单调性，理解x也是y的函数，再利用指数与对数的运算关系依据函数的定义，从交换自变量与函数值“地位”的方向进行研究，得到对数函数的概念归纳小结问题3回顾本节课，谈谈我们是怎么得到对数函数概念的？对数函数的现实背
10、景是什么？（2）对数函数与指数函数是密不可分的对于呈指数增长或衰减变化的问题，我们可以用指数函数进行描述，还可以从对数函数的角度进行描述，从而能够更全面地研究其中蕴含的规律目标检测求下列函数的定义域：1（1）；（2）；（3）；（4）(a0，且a1)ln 1yx1lgyx71log13yxlogayx答案：（1）1，（2）0 11 ，（3）1()3，（4）00，目标检测画出下列函数的图象：2（1）；（2）；lg10 xy lg10 xy 答案：（1）图略，定义域为R，图象是一条直线yx（2）图略，定义域为 ，图象是yx的直线在第一象限 的部分0 ，目标检测已知集合A1，2，3，4，集合B2，4，8，16，下列函数能体现集合A与集合B对应关系的是_3 ；2xy 2yx2logyx2yx，敬请各位老师提出宝贵意见！
