1、1.2.2 组合组合第第1课时课时 组合与组合数公式组合与组合数公式问问题题引引航航1.组合的概念是什么？组合的概念是什么？2.什么是组合数？组合数公式是怎样的？如什么是组合数？组合数公式是怎样的？如何推导？何推导？3.组合数有怎样的性质？组合数有怎样的性质？1.组合的定义组合的定义从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(nm)个元素个元素_，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合.合成一组合成一组2.组合数的概念、公式、性质组合数的概念、公式、性质组合组合数数定义定义从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的个元素的_ _的个数
2、，叫做从的个数，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的组合数个元素的组合数表示表示法法_ 组合组合数数公式公式乘积乘积式式 =_=_阶乘阶乘式式=_性性 质质 =_，=_备备 注注n，mN*且且mn，规定：，规定：=1所有不同所有不同组合组合mnCmnmmAA n n 1 n 2n m 1m!mnCn!m!n m!mnCn mnCmm 1nnCCmn 1CmnC0nC1.判一判判一判(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)(1)从从a，b，c三个不同的元素任取两个元素的一个组三个不同的元素任取两个元素的一个组合是合是 .()(2)从从1，3，5，7中任取两个数相乘可得中任取
3、两个数相乘可得 个积个积.()(3)1，2，3与与3，2，1是同一个组合是同一个组合.()(4)=543=60.()23C24C35C【解析解析】(1)错误，错误，是组合数而不是组合是组合数而不是组合.(2)正确，取出的两个数的积，与取出两个数的顺序无正确，取出的两个数的积，与取出两个数的顺序无关，是一个组合问题，有关，是一个组合问题，有 个积个积.(3)正确，组合与元素的顺序无关正确，组合与元素的顺序无关.(4)错误，错误，答案：答案：(1)(2)(3)(4)23C24C355 4 3C10.3 2 1 2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)从从6名学生中
4、选出名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不名学生参加数学竞赛的不同选法种数是同选法种数是_.(2)=_.(3)_.1820C329999CC【解析解析】(1)由组合数公式知由组合数公式知答案：答案：20(2)答案：答案：190(3)答案：答案：161 700366 5 4C20.3 2 1 182202020 19CC190.2 13239999100100 99 98CCC161 700.3 2 1【要点探究要点探究】知识点知识点1 组合的概念组合的概念对组合概念的三点说明对组合概念的三点说明(1)组合的特点组合的特点组合要求组合要求n个元素是不同的，被取出的个元素是不同的，被取出的m个元素个
5、元素也是不同的，即从也是不同的，即从n个不同的元素中进行个不同的元素中进行m次不次不放回地取出放回地取出.(2)组合的特性组合的特性元素的无序性，即取出的元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求亦即元素没有位置的要求.(3)相同的组合相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合同，不管顺序如何，就是相同的组合.【微思考微思考】(1)区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？提示：关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，
6、无提示：关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题顺序的是组合问题.(2)“树形图树形图”在解组合问题时，起到了什么作用？在解组合问题时，起到了什么作用？提示：利用提示：利用“树形图树形图”可以把组合问题直观化，形象化，可以把组合问题直观化，形象化，具体化，起到了具体化，起到了“数形结合数形结合”中的中的“形形”的作用，从而的作用，从而很容易不遗漏、不重复的写出所有的组合很容易不遗漏、不重复的写出所有的组合.【即时练即时练】判断下列各事件是排列问题还是组合问题：判断下列各事件是排列问题还是组合问题：(1)10支球队以单循环进行比赛支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次每两队比赛
7、一次)，这次比赛需要进行多少场次？这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？军获得者有多少种可能？(3)从从10个人里选个人里选3个代表去开会，有多少种选法？个代表去开会，有多少种选法？(4)从从10个人里选出个人里选出3个不同学科的课代表，有多个不同学科的课代表，有多少种选法？少种选法？【解析解析】(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队是排列问题，
8、因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.(3)是组合问题，因为是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别个代表之间没有顺序的区别.(4)是排列问题，因为是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的有顺序区别的.知识点知识点2 组合数与组合数公式组合数与组合数公式1.组合数公式的两种形式的适用范围组合数公式的两种形式的适用范围要注意性质要注意性质 的顺用、逆用、变形用的顺用、逆用、变形用.顺用是将顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一合二
9、为一”；变形式；变形式 =的使用，为某些项相互抵消提供了方便，的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用在解题中要注意灵活运用.形式形式适用范围适用范围乘积式乘积式含具体数字的组合数的求值含具体数字的组合数的求值阶乘式阶乘式含字母的组合数的有关变形及证明含字母的组合数的有关变形及证明mmm 1n 1nnCCCm 1nCmmn 1nCC2.组合数的两个性质及其关注点组合数的两个性质及其关注点性质性质1：它反映了组合数的对称性它反映了组合数的对称性.若若m ，通常不直接计算，通常不直接计算 ，而改为计算而改为计算 ，这样可以减少计算量，这样可以减少计算量.性质性质2：特点是左端下标
10、为特点是左端下标为n+1，右端下标都为，右端下标都为n，相差，相差1；左端；左端的上标的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1.mn mnnCC.n2mnCn mnCmmm 1n 1nnCCC.【知识拓展知识拓展】排列数与组合数的比较排列数与组合数的比较连接连接排列数排列数组合数组合数定义定义从从n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m(mn)个元素个元素的不同排列的个数的不同排列的个数从从n个不同的元素中取个不同的元素中取出出m(mn)个元素的不个元素的不同组合的个数同组合的个数公公式式乘乘积积式式阶阶乘乘式式联系联系mnAn(n
11、1)(n m 1)mnn(n 1)n m 1Cm!mnn!An m!mnn!Cm!n m!mmmnnmAC A【微思考微思考】(1)一个组合与组合数有什么区别？一个组合与组合数有什么区别？提示：组合数与组合是两个不同的概念，根据定提示：组合数与组合是两个不同的概念，根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数而组合数是所有组合的个数，它是一个数.(2)在在 中有中有m，nN*，且，且mn，为什么要规定，为什么要规定 =1？提示：提示：=1是为了运算需要规定的，没有实际意是为了运算需要规定的，没有实际意义义.mnC
12、0nC0nC【即时练即时练】若若 ，则，则n的值是的值是()A.6 B.7 C.8 D.9【解析解析】选选B.原方程可化为：原方程可化为：解得解得n=7，经检验，经检验，n=7是原方程的解是原方程的解.34nnA6Cn n 1 n 2 n 3n n 1 n 264 3 2 1 g【题型示范题型示范】类型一类型一 组合数公式及应用组合数公式及应用【典例典例1】(1)计算：计算：=_.(2)证明：证明：【解题探究解题探究】1.题题(1)应选用组合数公式的哪种形应选用组合数公式的哪种形式？式？2.题题(2)证明的关键是什么？证明的关键是什么？mm 1nn 1mCnC.4331073CC Ag【探究提
13、示探究提示】1.选用组合数公式的乘积式，选用组合数公式的乘积式，即即2.有关组合数恒等式的证明，关键是化简，有关组合数恒等式的证明，关键是化简，应先考虑利用组合数的阶乘式形式作答应先考虑利用组合数的阶乘式形式作答.mmnnmmAn(n 1)(n 2)(n m 1)C.Am!【自主解答自主解答】(1)原式原式 7652102100.4310710 9 8 7CA4 3 2 1 mnm 1n 1n n 1n2 mCmm(n m)m 1n mn 1nnC.m 1n mggg！【延伸探究延伸探究】将题将题(2)改为求证：改为求证：【解题指南解题指南】由于证明的等式中含有字母形式，由于证明的等式中含有字
14、母形式，所以解决本题所以解决本题应采用组合数的阶乘式形式进行证明应采用组合数的阶乘式形式进行证明.【证明证明】右边右边=左边左边=，所以左边，所以左边=右边，所以原式成立右边，所以原式成立.mmnn 1nCC.n mmmn 1nn 1!nnn!CC,n mn m m!n 1 m!m!n m!gmnC【方法技巧方法技巧】关于组合数公式的选取技巧关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用涉及具体数字的可以直接用 进行计算进行计算.(2)涉及字母的可以用阶乘式涉及字母的可以用阶乘式 计算计算.(3)计算时应注意利用组合数的性质计算时应注意利用组合数的性质 简化简化运算运算.mn 1n 1
15、!nnCn mn m m!n 1 m!gmnn!Cm!n m!mnn!Cm!n m!mn mnnCC【变式训练变式训练】(1)计算：计算：=_.(2)若若 ，则，则m=_.【解析解析】(1)答案：答案：65(2)因为因为 ，所以所以所以所以m-3=4，m=7.答案：答案：71001212CC34mmA6C100212121212 11CCC11 65.2 1 34mmA6Cm m 1 m 2 m 3m m 1 m 264 3 2 1 g类型二类型二 组合数性质的应用组合数性质的应用【典例典例2】(1)计算计算 的值为的值为()(2)计算：计算：(3)求证：求证：33334562 012CCCC
16、45452 0132 0132 0132 013A.C B.C C.C1 D.C134567789CCCC_.nnn 1n 2m 2mmmCC2CC.【解题探究解题探究】1.解答题解答题(1)的关键是什么？的关键是什么？2.题题(2)中中 的结果是什么？的结果是什么？3.证明题证明题(3)应从哪边开始？应先对哪个式子进行应从哪边开始？应先对哪个式子进行处理？处理？【探究提示探究提示】1.解答本题解答本题(1)的关键是添加一项的关键是添加一项 .2.由组合数的性质知由组合数的性质知 .3.应从右边开始，先把应从右边开始，先把 拆分为拆分为2个个 .3477CC44C344778CCCn 1m2C
17、n 1mC【自主解答自主解答】(1)选选C.答案：答案：21033334562 012CCCC 433344452 0124433552 0124342 0122 0122 013345645677898895664991010CCCCCCCC1CC1 C1.2 CCCCCCCCCCC210.(3)由组合数的性质由组合数的性质 可知，可知，右边右边 =左边左边.右边右边=左边左边.所以原式成立所以原式成立.mmm 1n 1nnCCCnn 1n 1n 2mmmmCC(CC)nn 1nm 1m 1m 2CCC【方法技巧方法技巧】性质性质“”的意义及作用的意义及作用mn mnnCC【变式训练变式训练
18、】求值：求值：【解析解析】由组合数的公式的性质，由组合数的公式的性质，可得可得 解得解得n=6.所以原式所以原式=.17 n3n2n13 nCC.2n 17 n,13 n 3n,2n N*,17 n N*,13 n N*,3n N*,11181112191219CCCC12 19 31【补偿训练补偿训练】1.化简：化简：【解析解析】原式原式答案：答案：0998mm 1mCCC_.98999mmm 1m 1m 1CCCCC0.2.已知已知 ，求，求n的值的值.【解析解析】根据题意，根据题意，变形可得，变形可得，由组合数的性质，可得由组合数的性质，可得即即 ，故，故8+7=n+1，解得，解得n=1
19、4.778n 1nnCCC778n 1nnCCC787n 1nnCCC，878nnn 1CCC，78n 1n 1CC【拓展类型拓展类型】解含组合数的方程或不等式解含组合数的方程或不等式【备选例题备选例题】(1)方程方程 的解为的解为_.(2)解不等式：解不等式：(3)解方程：解方程：x 12x 31313CCm 1m88C3C.x 2x 33x 2x 2x 31CCA.10【解析解析】(1)由原方程得由原方程得x+1=2x-3或或x+1+2x-3=13，所以所以x=4或或x=5，又由，又由得得 x8且且xN*，所以原方程的解为，所以原方程的解为x=4或或x=5.答案：答案：x=4或或x=50
20、x 1 13,0 2x 3 13,x 1 N*,2x 3 N*.32(2)原不等式可化为原不等式可化为解得：解得：m=7或或m=8.所以不等式的解集为所以不等式的解集为7，8.8!8!3,m 1!8 m 1!m!8 m!0 m 1 8,0 m 8,m N*,m 1 N*,(3)原方程可化为原方程可化为所以所以所以所以所以所以12=x(x-1)，即，即x2-x-12=0，解得解得x=4或或x=-3(舍去舍去)，经检验，经检验，x=4是原方程的解是原方程的解.x 23x 3x 31CA,10(x 3)!(x 3)!,5!(x 2)!10(x 3 3)!g11120 x 2!10 x(x 1)x 2
21、!gg，（）（）【方法技巧方法技巧】含组合数的方程或不等式的含组合数的方程或不等式的解题步骤解题步骤【易错误区易错误区】忽略组合数公式成立的条件忽略组合数公式成立的条件而导致错误而导致错误【典例典例】已知已知 ，则实数，则实数m的值的值为为_.mmm567117CC10C【解析解析】原方程变形为原方程变形为化简得化简得即即m2-23m+42=0，解得解得m=2或或m=21，又因为又因为0m5且且mN*，所以所以m=2.答案：答案：2m!5 m!m!6 m!7m!7 m!5!6!10 7!（）（）（），m7 m 6 m,660()()【常见误区常见误区】错解错解错错 因因 剖剖 析析2或或21忽
22、视阴影处组合数中忽视阴影处组合数中m的限制条件的限制条件0m5且且mN*，而导致错误，而导致错误【防范措施防范措施】1.限制条件的挖掘限制条件的挖掘对题目中涉及组合数的参数，要认真分析，找出对题目中涉及组合数的参数，要认真分析，找出其限制条件，如本例中其限制条件，如本例中0m5且且mN*的限制的限制.2.公式与性质的灵活运用公式与性质的灵活运用对组合数公式的两种形式及两个性质的灵活运用，对组合数公式的两种形式及两个性质的灵活运用，在解题过程中往往起到关键的作用，如本例选用在解题过程中往往起到关键的作用，如本例选用阶乘式比选用乘积式要简单多阶乘式比选用乘积式要简单多.【类题试解类题试解】(2014济南高二检测济南高二检测)若若 ，则，则n的取值集合为的取值集合为_.【解析解析】由由可得可得n2-11n-120，解得，解得-1n12.又又nN*，且，且n5，所以，所以n5，6，7，8，9，10，11.答案：答案：5，6，7，8，9，10，11345nnn112CCC624n n 1 n 2n n 1 n 2 n 3240n n 1 n 2 n 3 n 4，布置作业布置作业 课堂作业：课堂作业：家庭作业家庭作业：教学反思教学反思
