1、1.1 直线的倾斜角和斜率课件 求直线的倾斜角的方法求直线的倾斜角的方法(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找准倾定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找准倾斜角斜角.求解过程中，应注意平面几何知识的应用求解过程中，应注意平面几何知识的应用(如三角形如三角形内角和定理及其有关结论内角和定理及其有关结论).).(2)分类法：根据题意把倾斜角分类法：根据题意把倾斜角分为以下四类讨论：分为以下四类讨论：=0，090，=90，90180.求倾斜角时务必明确角的起始位置及旋转方向求倾斜角时务必明确角的起始位置及旋转方向.求直线的倾斜角求直线的倾斜角【例例1】已知直线已知直线l1的倾斜角为
2、的倾斜角为1=15，直线，直线l1与与l2的交点为的交点为A，把直线把直线l2绕着点绕着点A按逆时针方向按逆时针方向旋转与直线旋转与直线l1重合时所转的最小重合时所转的最小正角为正角为60，求直线，求直线l2的倾斜角的倾斜角.【审题指导审题指导】本题已知直线本题已知直线l1的倾斜角，又明确了直线的倾斜角，又明确了直线l1与与l2的位置关系，求解时可根据直线的位置关系，求解时可根据直线l1与与l2的位置关系，运用的位置关系，运用倾斜角的定义，借助几何图形的直观性求解倾斜角的定义，借助几何图形的直观性求解.【规范解答规范解答】设直线设直线l2的倾斜角为的倾斜角为2，则由题干图可知，则由题干图可知，
3、180-2+15=60，所以，所以2=135.【变式训练变式训练】图中图中是直线是直线l的倾斜角吗？试用的倾斜角吗？试用表示图中各表示图中各条直线条直线l的倾斜角的倾斜角.【解析解析】设直线设直线l的倾斜角为的倾斜角为，结合倾斜角的定义可知，结合倾斜角的定义可知:图中图中是直线是直线l的倾斜角，即的倾斜角，即；图中图中不是直线不是直线l的倾斜角，但的倾斜角，但与与互补，互补，即即=180-；图中图中不是直线不是直线l的倾斜角，但的倾斜角，但与与是对顶角，即是对顶角，即=；图中图中不是直线不是直线l的倾斜角，的倾斜角，=90+.【误区警示误区警示】本题在求解过程中常因把握不住倾斜角的本题在求解过
4、程中常因把握不住倾斜角的三个特征而把中的三个特征而把中的也错认为倾斜角也错认为倾斜角.对斜率公式的认识：对斜率公式的认识：(1)斜率公式从数的角度分析了直线的倾斜程度，体现了用斜率公式从数的角度分析了直线的倾斜程度，体现了用代数的方法刻画几何图形的思想代数的方法刻画几何图形的思想.因此，以后求斜率可以因此，以后求斜率可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得.(2)斜率公式与斜率公式与P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的先后顺序无关，即的先后顺序无关，即x1与与x2，y1与与y2可以同时互换位置，但分子分母不可以互换可以同时互换位置，但分子分母不可
5、以互换.斜率的计算斜率的计算(3)利用斜率公式计算斜率比先求直线的倾斜角再求直线的利用斜率公式计算斜率比先求直线的倾斜角再求直线的斜率更方便斜率更方便.在计算含参数的直线斜率时务必考虑直线的斜率是在计算含参数的直线斜率时务必考虑直线的斜率是否存在否存在.【例例2】判断经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存判断经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出其斜率在，求出其斜率.(1)P1(-(-2，3)、P2(-(-2，8)；(2)P1(5，-2)、P2(-(-2，-2)；(3)P1(-(-1，2)、P2(3，-4).).【审题指导审题指导】判断直线的斜率是否存在的关键在于分析直判断直线的斜
6、率是否存在的关键在于分析直线所经过两点的横坐标是否相等，进而求斜率线所经过两点的横坐标是否相等，进而求斜率.【规范解答规范解答】(1)斜率不存在斜率不存在.因为直线所经过两点的横坐因为直线所经过两点的横坐标相等标相等.(2)斜率存在斜率存在.(3)斜率存在斜率存在.22k0.52 423k.3 12 【互动探究互动探究】若把本例若把本例(1)中的中的“P1(-(-2，3)”)”换成换成“P1(m，n)”)”，求相应问题，求相应问题.【解题提示解题提示】分分m=-2和和m-2讨论讨论.【解析解析】当当m=-2时斜率不存在，因为直线所经过两点的横时斜率不存在，因为直线所经过两点的横坐标相等；当坐标
7、相等；当m-2时斜率存在，且时斜率存在，且n8k.m21.倾斜角和斜率的关系倾斜角和斜率的关系(1)直线的倾斜角和斜率是形和数的关系，是数形结合思想直线的倾斜角和斜率是形和数的关系，是数形结合思想的完美体现的完美体现.倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度.(2)斜率与倾斜角斜率与倾斜角的对应关系：当的对应关系：当=90时，斜率不存在；时，斜率不存在；当当90时斜率与倾斜角是一一对应关系，且时斜率与倾斜角是一一对应关系，且k=tan.倾斜角和斜率的综合应用倾斜角
8、和斜率的综合应用2.直线的斜率直线的斜率k随倾斜角随倾斜角增大的变化情况增大的变化情况(1)当当090时，随时，随的增大，的增大，k在在 0，+)+)范围内增范围内增大；大；(2)当当90180时，随时，随的增大，的增大，k在在(-(-，0)范围范围内增大内增大.不能直接说直线的斜率不能直接说直线的斜率k随倾斜角随倾斜角的增大而增大的增大而增大.3用斜率公式可以证明三点共线问题用斜率公式可以证明三点共线问题【例例3】(1)已知直线已知直线l过点过点P(-(-2，m)和和Q(m，4)，且倾斜角，且倾斜角=45，求，求m的值的值.(2)判断判断A(-(-2，12)，B(1，3)，C(4，-6)三点
9、的位置关系，三点的位置关系，并说明理由并说明理由.【审题指导审题指导】(1)已知倾斜角已知倾斜角及直线及直线l上两点，解答本题的上两点，解答本题的关键是利用关键是利用k=tan建立关于参数建立关于参数m的等量关系，然后求解的等量关系，然后求解.(2)三点的关系只有共线与不共线两种，因此可通过分别计三点的关系只有共线与不共线两种，因此可通过分别计算直线算直线AB、AC的斜率，来说明三点的关系的斜率，来说明三点的关系.【规范解答规范解答】(1)=45，k=tan45=1，又直线又直线l过点过点P(-(-2，m)和和Q(m，4)，所以所以 解得解得m=1.kAB=kAC，又直线又直线AB与直线与直线
10、AC有公共点有公共点A，A(-(-2，12)，B(1，3)，C(4，-6)三点共线三点共线.4mk1m2，ABAC3 126 122 k3,k3.1242 【互动探究互动探究】若把若把(1)中条件中条件“=45”改为改为“=60”，试求试求m的值的值.【解析解析】当当=60时，时，解得解得4mk3,m2m3 35.【例例】已知已知a0，若平面内三点，若平面内三点A(1，-a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，求共线，求a的值的值.【审题指导审题指导】题中已知三点的坐标且三点共线，可根据任题中已知三点的坐标且三点共线，可根据任意两点组成的直线的斜率相等求参数意两点组成的直线的斜率相等求参数a
11、的值的值.【规范解答规范解答】又又A、B、C三点共线，三点共线，kAB=kBC，a2+a=a3-a2，解得，解得a=0或或又又a0，22ABaakaa,2 1 3232BCaakaa.32a12,a12.【变式备选变式备选】已知直线已知直线l的斜率为的斜率为f(a)=a2+4a+3的最小值，的最小值，求求l的倾斜角的倾斜角.【解析解析】f(a)=a2+4a+3=(a+2)2-1(aR)，f(a)的最小值为的最小值为-1，l的斜率为的斜率为f(a)的最小值，设的最小值，设l的倾斜角为的倾斜角为，tan-1，0，)，=135，即，即l的倾斜角为的倾斜角为135.【典例典例】(12分分)已知直线已知
12、直线l过定点过定点M(0，-2)，且与以，且与以P(1，2)、Q(-(-4，1)为端点的线段为端点的线段PQ相交，求直线相交，求直线l的斜率的取的斜率的取值范围值范围.【审题指导审题指导】直线直线l过定点且与线段过定点且与线段PQ相交，因此在同一坐相交，因此在同一坐标系中作出点标系中作出点M、P、Q，然后用运动的观点，结合图形得，然后用运动的观点，结合图形得出直线出直线l倾斜角的范围，在此基础上结合倾斜角同斜率的关倾斜角的范围，在此基础上结合倾斜角同斜率的关系得出斜率的取值范围系得出斜率的取值范围.【规范解答规范解答】结合题意画出图形，如图所示结合题意画出图形，如图所示.又又 3分分 5分分M
13、Q123k.404 MP22k41 0 结合图形可知当直线结合图形可知当直线l由由MP变化到与变化到与y轴平行时，它的倾斜轴平行时，它的倾斜角逐渐增大到角逐渐增大到90，故斜率的取值范围为故斜率的取值范围为 4，+)+)；8分分当直线当直线l由与由与y轴平行的位置变化到轴平行的位置变化到MQ时，它的倾斜角由时，它的倾斜角由90逐渐增大到逐渐增大到MQ的倾斜角的大小，的倾斜角的大小，故斜率的取值范围为故斜率的取值范围为 10分分要使直线要使直线l与线段与线段PQ有交点，则有交点，则k的取值范围是的取值范围是 或或k4.12分分3(,4 3k4【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下
14、：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练即时训练】(2011石家庄高一检测石家庄高一检测)已知点已知点A(1，2)，B(2，1)，直线直线l过坐标原点，且与线段过坐标原点，且与线段AB相交，则直线相交，则直线l的斜率的取值范围为的斜率的取值范围为()(A)(B)-)-1，2(C)()(0，2)(D)1,2 2()1,22【解析解析】选选D.由条件可知由条件可知kOA=2，结合图形可知，结合图形可知，直线的斜率的取值范围为直线的斜率的取值范围为 故选故选D.OB1k2，1,22,1.直线直线x=1的倾斜角等于的倾斜角等于()(A)180 (B)90(C)0 (D)不存在不存在【解析解析】
15、选选B.由倾斜角的定义可知，当直线由倾斜角的定义可知，当直线l与与x轴垂直时，轴垂直时，倾斜角等于倾斜角等于90.故选故选B.2.直线直线l经过原点和经过原点和(-(-1，2)，则它的斜率为，则它的斜率为()(A)1 (B)-)-1(C)-)-2 【解析解析】选选C.由斜率的计算公式得由斜率的计算公式得 1D220k2.1 0 3.如图，直线如图，直线l1、l2、l3的斜率的斜率分别为分别为k1、k2、k3.则则()(A)k1k2k3(B)k3k1k2(C)k3k2k1(D)k1k3k2【解析解析】选选B.由题图及斜率与倾斜角的关系可知由题图及斜率与倾斜角的关系可知k30k1k2，故选，故选B
16、.4.经过点经过点M(-(-2，1)，N(1，-2)的直线的斜率为的直线的斜率为_.【解析解析】答案答案:-1MN2 13k1.123 5.下列多组点中，三点共线的有下列多组点中，三点共线的有_.A(1，4)，B(-(-1，2)，C(3，5)A(-(-2，-5)，B(7，6)，C(-(-5，3)A(0，0)，B(2，4)，C(-(-1，3)1A 1,0,B(0,),C 7 23，【解析解析】中，中，中，中，中，中，中，中，由此可知三点共线的只有由此可知三点共线的只有.答案：答案：ABAC24541k1,k1 13 12，ABAC6535118k,k,729523 ABAC1012013k,k.
17、0 137 13ABAC4030k2k3,201 0 ，6.已知直线已知直线l的倾斜角为的倾斜角为30，且过点，且过点P(1，2)和和Q(x，0)，求该直线的斜率和求该直线的斜率和x的值的值.【解析解析】由斜率的计算公式得，该直线的斜率由斜率的计算公式得，该直线的斜率又又l过点过点P(1，2)和和Q(x，0)，则则解得解得3ktan30.3 203k,1x3x12 3.一、选择题一、选择题(每题每题4分，共分，共16分分)1.下列说法正确的是下列说法正确的是()(A)表示直线的倾斜程度，直线的斜率不能表示直线的倾表示直线的倾斜程度，直线的斜率不能表示直线的倾斜程度斜程度(B)直线的倾斜角越大其
18、斜率就越大直线的倾斜角越大其斜率就越大(C)直线的斜率直线的斜率k的范围是的范围是k0 (D)直线的倾斜角直线的倾斜角的范围是的范围是0180【解析解析】选选D.直线的斜率和倾斜角均刻画直线的倾斜程度，直线的斜率和倾斜角均刻画直线的倾斜程度，故故A错；不能说直线的倾斜角越大其斜率就越大，应分错；不能说直线的倾斜角越大其斜率就越大，应分090和和90180两种情况分别进行讨论，故两种情况分别进行讨论，故B错；直线的斜率错；直线的斜率k的范围是的范围是(-(-，+)+)，故，故C错；直线的错；直线的倾斜角倾斜角的范围是的范围是0180，故，故D正确正确.2.已知直线已知直线l的倾斜角为的倾斜角为-
19、15，且与，且与x轴垂直，则角轴垂直，则角的值的值为为()(A)90 (B)0(C)75 (D)105【解析解析】选选D.由由-15=90得得=105.故选故选D.3.已知直线已知直线l1的倾斜角为的倾斜角为1(10)，则，则l1关于关于x轴对称的直轴对称的直线线l2的倾斜角的倾斜角2等于等于()(A)90-1 (B)90+1(C)180-1 (D)180+1 【解题提示解题提示】画出图形，结合图形解答画出图形，结合图形解答.【解析解析】选选C.如图所示，两直线的倾斜角如图所示，两直线的倾斜角1，2满足满足1+2=180，故故2=180-1.【方法技巧方法技巧】揭秘与对称有关的直线倾斜角的关系
20、揭秘与对称有关的直线倾斜角的关系 在求解与对称有关的直线倾斜角的关系时，常采用数形在求解与对称有关的直线倾斜角的关系时，常采用数形结合及分类讨论的思想求解，如本题在求解过程中先依据结合及分类讨论的思想求解，如本题在求解过程中先依据题意画出草图，在此基础上结合对称建立倾斜角间的关系题意画出草图，在此基础上结合对称建立倾斜角间的关系.另外如果去掉本题题设中倾斜角另外如果去掉本题题设中倾斜角1的范围，求解时还要对的范围，求解时还要对1的变化范围分的变化范围分1=0和和01180进行讨论进行讨论.4.(.(2011潍坊高一检测潍坊高一检测)已知点已知点A(2，-3)，B(-(-3，-2)，直线直线l过
21、点过点P(1，1)，且与线段，且与线段AB相交，则直线相交，则直线l的斜率的斜率k的的取值范围是取值范围是()3A kk4431B kk443C4k43Dk44 或或【解析解析】选选A.由条件可知由条件可知kPA=-4，结合斜率和倾斜结合斜率和倾斜角的关系可知，直线的斜率的取值范围为角的关系可知，直线的斜率的取值范围为 或或k-4，故选故选A.PB3k,43k4二、填空题二、填空题(每题每题4分，共分，共8分分)5.(.(2011佛山高二检测佛山高二检测)若三点若三点A(2，3)，B(5，0)，C(0，b)(b0)共线，则共线，则b=_.【解析解析】由题意可知由题意可知kAB=kBC，b=5.
22、答案：答案：53b,25056.已知两点已知两点A(3，a)，B(a，a-4)连线的倾斜角为连线的倾斜角为60，则，则a=_.【解析解析】由题意可知由题意可知解得，解得，答案：答案：a4atan603,a3 4 3a3.34 333三、解答题三、解答题(每题每题8分，共分，共16分分)7.已知直线已知直线l过点过点A(-(-1，2)，B(3，3m)，求，求(1)当当m为何值时，直线为何值时，直线l的倾斜角为锐角；的倾斜角为锐角；(2)当当m为何值时，直线为何值时，直线l的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角.【解析解析】经过点经过点A(-(-1，2)，B(3，3m)的直线的直线l的斜率的斜率(1)直线直
23、线l的倾斜角为锐角，的倾斜角为锐角，k0，即，即解得解得(2)直线直线l的倾斜角为钝角，的倾斜角为钝角，k0，即，即解得解得3m23m2k,3 143m20,42m.32m.33m20,48.已知已知A(a，2)，B(5，1)，C(-(-4，2a)三点能够组成三角三点能够组成三角形，求实数形，求实数a的取值范围的取值范围.【解析解析】因为三点因为三点A(a，2)，B(5，1)，C(-(-4，2a)能够组能够组成三角形，故这三点必不共线成三角形，故这三点必不共线.所以所以kABkBC，即，即解得解得a2且且故故a的取值范围为的取值范围为122a1,5a45 7a.27a|a2a,aR.2且【挑战能力挑战能力】(10分分)已知一条光线从点已知一条光线从点A(-(-1，3)出发，照在出发，照在x轴上又反射轴上又反射出去，反射光线经过点出去，反射光线经过点B(2，7)，求，求x轴上光照点的坐标轴上光照点的坐标.【解析解析】设点设点A关于关于x轴的对称点为轴的对称点为A，则，则A(-(-1，-3)，连结，连结AB，与，与x轴交于点轴交于点C，则，则C点即为光照点，不妨设点即为光照点，不妨设C(a，0)，由题意可知由题意可知A、C、B三点共线，三点共线，kAC=kBC，即，即 解得解得x轴上光照点的坐标为轴上光照点的坐标为0307,a1a2 1a.10 1(,0).10
