1、平面向量平面向量第二章第二章2.5 从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积课件课件3第二章第二章课堂典例讲练课堂典例讲练2易错疑难辨析易错疑难辨析3课后强化作业课后强化作业4课前自主预习课前自主预习1课前自主预习课前自主预习 水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容.夹角 0180 018090垂直|a|b|cosab|a|b|cos|b|cos|a|cos 3向量数量积的性质 由向量数量积的定义
2、和几何意义，我们可得到如下性质：(1)若e是单位向量，则ea_.(2)若ab，则_；反之，若_，则ab.通常记作ab_.(3)|a|_.(4)cos_(|a|b|0)(5)对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|.当且仅当_时等号成立ae|a|cos ab0 ab0 ab0 ab 4向量数量积的运算律 给定向量a，b，c和实数，有以下结果：ab_；(a)b_；a(bc)_.ba(ab)a(b)abac 1.已知a与b是相反向量，且|a|2，则ab()A2 B2 C4 D4 答案D 解析由已知ab，aba(a)a2|a|24.答案C 答案A 4(2013新课标理，13)已知两个单位向量a，b的夹
3、角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.答案2课堂典例讲练课堂典例讲练 思路分析已知向量a，b的模及其夹角，求ab及a在b上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可 向量数量积的定义及几何意义(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；(2)把“a与b的夹角120”换成“ab”，求ab.思路分析先由已知条件分析出a，b，c的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算也可用整体处理法解决 平面向量数量积的运算 规律总结向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题，注意下述结论：a2|a|2；(ab)(ab)a2b2；(ab)2a22abb2.已知|
4、a|3，|b|4，120(为a与b的夹角)，试求：(1)ab；(2)(ab)(ab)；(3)(ab)(ab)；(4)(a2b)(3ab)分析将所给问题转化为数量积，并代入公式ab|a|b|cos求 解析(1)原式|a|b|cos12cos1206；(2)原式a2b2|a|2|b|29167；(3)原式a22abb2|a|2|b|22|a|b|cos9162(6)13.(4)原式3a25ab2b23|a|22|b|25|a|b|cos27325(6)25.点评(1)考查向量数量积定义；(2)相当于平方差公式；(3)相当于完全平方公式；(4)用到数量积的运算及数乘向量的运算 向量的夹角 规律总结本
5、题主要考查利用向量数量积求夹角的问题，求解时可直接利用向量数量积的性质求解，也可利用数形结合的方法，借助图形直接求得 已知|a|2，|b|1，a与b的夹角为60，求向量m2ab与向量na4b的夹角的余弦值 解析ab21cos601，|m|2|2ab|24|a|24ab|b|2 42241121，|n|2|a4b|2|a|28ab16|b|2 228116112，求向量的模 答案B 思路分析(1)将atb的模表示为t的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2)要证b(atb)，只需证b(atb)0.用向量数量积解决垂直问题 规律总结本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及
6、二次函数的最值等知识(1)中求解时利用向量数量积的运算，将atb的模的平方表示为t的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t的值；(2)中只需证出b(atb)0，求解时利用a与b共线且同向的条件，确定t的值本题主要考查转化与化归的思想方法 已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为120，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？分析利用cdcd0，构造关于k的方程组求解易错疑难辨析易错疑难辨析 辨析错误的原因在于认为a与b的夹角为C.其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是0，180，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制 规律总结在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角
