1、集 合 在学习下面的内容之前，建议同学们对相关知识进行一下系统的复习和总结，这将有助于我们更好地理解和掌握本节课的内容。一、知识结构一、知识结构集 合概 念关 系运 算集合的分类子集集合的表示元素与集合集合与集合交集并集补集元素的特征二、知识要点与典型例题：二、知识要点与典型例题：1、集合中元素的特征：、集合中元素的特征：集合与集合的元素是两个不加定义的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中点与直线的概念类似。但是，学习这部分内容时，我们必须清楚集合中元素的特征。（1）确定性：是集合的基本特征，是判断给定对象能否构成 集合的标准。一般地，只有当给定对象是具体的，它的属性 是明确的这两个
2、条件同时满足时，才能构成集合，或者说对 于一个给定的集合，一个对象属不属于这个集合必须是明确 的。比如“高个子的同学”、“高一数学中的难题”，都不能组 成一个集合，这是因为高个子和难题的判断标准不具备确定 性。（2）互异性：是集合最重要的特征。互异性是指在一个集合 中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象只能算作这 个集合中的一个元素。例如：由1，2，3，1构成的集合为1，2，3；又如把两个集合1，2，3和2，3，4的元素合并到 一起构成一个新的集合时，那么新的集合只能写成1，2，3，4。（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关。例如：1，2=2，1，但是(1,2)(2,1)。你知道其中的
3、原因吗？总之，正确理解集合的概念，必须要掌握构成集合的两个条件：即研究对象是具体的，其属性（判断标准）是明确的，按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在,这两种情况必有一种且只有一种情况成立。绝对不能模棱两可。在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”；在表示和计算一个集合时，要特别注意它的“互异性”，因此在处理与互异性有关的这类题目时，为确保万无一失，检验必不可少。下面我们一起研究几个例题：例例1已知集合已知集合Sa，b，c 中的三个元素是中的三个元素是ABC的三边长，的三边长，那么那么ABC一定不是（一定不是（）A.锐角三角形锐角三角形 B.直角三角形直角三角形
4、 C.钝角三角形钝角三角形 D.等腰三角形等腰三角形解析：根据集合中元素的互异性可得abc，即ABC的三条边互不相等，因此，ABC一定不是等腰三角形。正确答案为D.例例2若若x R，则，则3，x，x2 2x中的元素中的元素x应满足什么条件应满足什么条件?解析：根据集合中元素的互异性，x的取值不能使集合中的元素有相等情况，因此，x满足解之得到：x3且x 0且x 1。223232xxxxxx例例3若若A=2,4,a3 2a2 a 7，B=1,a 1,a2 2a 2,a3 a2 3a 7，且且A B=2,5,求实数求实数a的值。的值。21(38)2aa 解析：因为AB=2,5，所以a32a2a75，
5、解得a2，或a1,至此，问题并没有结束，事实上，这只保证了A=2,4,，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性以及集合B中的元素确定后能否满足AB=2,5都有待于进一步验证。下面我们把a的初步取值代入检验一下：当a1时，a22a21，与元素的互异性相违背，故应该舍去a1.当a1时，B=1,0,5,2,4，AB=2,4,5，这与AB=2,5矛盾，故应该舍去a1。当a2时，B=1,3,2,5,2,5，此时集合B中的元素既满足了互异性的要求，同时与AB=2,5的条件也完全吻合，所以a2满足题意。综上所述：a2.通过上面的例题，我们可以得到如下启示启示：集合中元素的互异性是集合最为重要的属性。教
6、学实践告诉我们，集合中元素的互异性既是各类考题经常要考查的内容，又常常在解题中被同学们所忽略，从而导致整个解题过程的失败，非常可惜！请同学们务必加倍重视。只要理解了互异性的概念，同时在解题结束的时候，再检验一下，一定能够收到的事半功倍的效果。2、集合的分类与表示：、集合的分类与表示：集合的分类：数集（包括5个常见特定数集）与点集的区别与应用，有限集、无限集和空集的区别与应用。这里面的重中之重就是要充分理解和注意空集的特殊性。空集作为一个集合，它的特殊性在于这个集合中不含任何元素，比如当一个方程（组）、不等式（组）无解时，我们说它的解集为空集。例如：因为方程组 无解，所以集合 =。1332xyx
7、y1(,)332xyx yxy 在第二节学习子集的时候教科书上规定：空集是任何集合的子集。学习真子集的概念后，我们很容易得出结论：空集是任何非空集合的真子集。同时空集与任何集合的交集为空集，空集与任何集合的并集仍然等于这个集合，空集的补集是全集，全集的补集是空集等。集合的表示集合的表示：列举法、描述法和图示法的特点以及使用时的注意事项。特别要说明的是在使用描述法用符号语言表示集合的时候，首先一定要看清楚集合中的代表元素是什么，集合中不能出现未被说明的字母，当然了，在默认情况下，集合中的字母都属于实数集。一般地，描述法更适合表示无限集，而列举法通常用来表示有限集或者具有一定规律的无限集，而图示法
8、的优势在于直观易懂，对分析问题有很大帮助。下面我们一起做几个练习：例例4区别下列三个集合：区别下列三个集合：Ax y x2 1，Byy x2 1，C(x,y)y x2 1。解析解析：这三个集合的共同点在于它们的公共属性是相同的，其中A、B都是数集。不同点在于这三个集合的代表元素不同，C是点集，A和B尽管都是数集，但是研究对象则不同。因此可以下结论：这三个集合是不同的，具体区别如下：集合A是由函数yx21的自变量x的取值范围构成的，因为x可以取任何实数，所以Axyx21=R；集合B是由函数yx21的函数值y的取值范围构成的，结合二次函数yx21的图像可以知道y1，因此，Byyx21yy1；集合C
9、是函数yx21图像上所有点的坐标组成的集合。例例5下面几种表示方法：下面几种表示方法：(1)x1,y 2,(2)(3)1,2，(4)(1,2)，(5)(1,2)，(6)(x,y)x1或者或者y 2，(7)(x,y)(1,2)，(8)(x,y)x1,y 2 能够正确能够正确表示方程组表示方程组 的解集的是（的解集的是（）A.(1)(2)(3)(4)(5)B.(2)(3)(4)(5)(8)C.(2)(5)D.(2)(5)(6)(7)1(,)2xx yy 203xyxy 解析解析：在表示集合的时候，要正确运用描述法和列举法，方程组 的解应该为 ，而写成集合的时候，对应的元素应该是有序实数对(1,2)
10、，因此 =（描述法）=(1,2)（列举法）。203xyxy 12xy 20(,)3xyx yxy 1(,)2xx yy 进一步分析我们发现：(1)中不符合集合表示法的基本模式，既不是列举法也不是描述法；而(7)的表达也是不对的，它把列举法和描述法给混淆了；(6)、(8)虽然是点集，但其中的元素为(1,y)或者(x,2)，其中x,y可以取一切实数，它表示两条直线x0或者y1上的点的集合。(4)中表示一个点的坐标，没有体现集合；1,2仅仅是个由两个元素组成的数集也不符合条件。例例6已知集合已知集合A=，B=x N，求，求A B.解析：题目中集合A和集合B都是以描述法给出的数集，形式非常的相像，但是
11、我们不能认为它们是一个集合，实际上，进一步分析会发现，这两个集合的元素是不一样的。910 xNNx 910Nx A中是以x为元素，x满足条件xN且 ，B中是以为元素，满足的条件是 且xN。因此我们可以根据以上的分析，先用列举法把集合A和集合B写出来。因为A=，所以A=1,7,9因为B=，所以B=9,3,1所以AB=1，9。910Nx910 x910 x910Nx910 xNNx910N xNx例例7解析：由x23x20，得到x1或者x2。当x1时，a2，当x2时，a1，因为aC，所以C=1,2已知：已知：A=xx2 3x 2 0，B=xax 2 0,且且A B A，求，求由实数由实数a的值组成
12、的集合的值组成的集合C。注意这个结果是不完善的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上当B=时，仍满足ABA，因此上述的解答并不完整，忽略了“空集是任何集合的子集”这一重要结论。正确的解答如下：因为ABA，所以BA,当B=时，a0。当B，由x23x20得到x1或者x2，当x1时，a2，当x2时，a1，因为aC，所以C=0,1,2 点评：点评：空集是一个非常特殊而又非常重要的集合，当题设中没有告诉所给集合为非空集合的时候，则隐含有空集可能要参与集合运算中去，这一点隐蔽性很强，以往的解题实践告诉我们，这一点最容易被同学们所忽视从而会出现漏解的情况，而这一点又会经常被考查，请同学们引起足够的重视。如果
13、能够考虑到空集的特殊性，则以下说法均是错误的：一个集合的子集是由它的部分元素组成的；空集没有子集；任何一个集合至少有两个子集。类似的例子举不胜数，请同学们多加联系，仔细体会。3、元素与集合的关系、集合于集合的关系：、元素与集合的关系、集合于集合的关系：元素与集合之间是属于关系，用符号或者来表示；集合与集合之间是包含关系，一般地，集合A、B可能的关系为：如0N，1N，N R，R，1 1，2，3B AA A BA BA BA BBA B 且且例例8(1)00 ；(2)0 0；(3)0=；(4)0；(5)R实数集；(6)R实数；(7)R全体实数；(8)(1，1)(x,y)yx2；(9)(1，1)yy
14、x2；把下列命题中正确的序号填在横线上把下列命题中正确的序号填在横线上_。(10)+；(11)xxa21,aNxxa22a2,aN(12)=。(13)；(14)；(15)0；(16)；(17)；(18)00,；(19)0 0,；(20)0 0,正确选项应该为：(1)(6)(8)(10)(11)(13)(15)(16)(17)(18)(20)。2523x x 2|1x yx2|1y yx4、集合的有关运算：、集合的有关运算：学习这部分内容，首先应该结合定义和图示，充分理解子集、交集、并集合补集的概念，其次要有意识地应用分类讨论和数形结合思想去分析问题和解决问题；最后应该在理解的基础上记住以下常用
15、结论：(1)含n个元素的集合的子集数为2n；非空子集数为2n1；真子集数为2n1；非空真子集数为2n2。(2)ABABA;ABABB(3)Cu(AB)=(CuA)(CuB);Cu(AB=(CuA)(CuB).(4)若把集合A中的元素个数记为card(A)，对于任何两个有限集合A和B，有card(AB)=card(A)+card(B)card(AB)。例例9设全集设全集U R，又集合，又集合A x 5 x 5,B x x 0或或x 1,求求（1）A B；（2）A B；（3）(uA)(uB)；（4）(uA)(uB)；（5）u(A B)；（6）A(uB)解析：本题应该利用数轴，按照交集、并集和补集的概念认真仔细作答。（1）AB x5x0，或1x5 （2）AB R （3）(uA)(uB)（4）(uA)(uB)xx5,或0 x1,或x5 （5）u(AB)xx5,或0 x1,或5 （6）A(uB)x0 x1 相信认真的同学都能全部做对。
