1、普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学（必修数学（必修3）问题提出问题提出 1.1.辗转相除法和更相减损术，是求两辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算相关运算.2.2.人们为了计数和运算方便，约定了人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，这些进位制是什么概念，各种进位制，这些进位制是什么概念，它们之间是怎样转化的？对此，我们从它们之间是怎样转化的？对此，我们从理论上作些
2、了解和研究理论上作些了解和研究.知识探究知识探究(一一):):进位制的概念进位制的概念 思考思考1:1:进位制是为了计数和运算方便而进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；每七二进制；满十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等进制；等等.一般地，一般地，“满满k k进一进一”就是就是k k进制进制，其中，其中k k
3、称为称为k k进制的进制的基数基数.那么那么k k是是一个什么范围内的数？一个什么范围内的数？思考思考2:2:十进制使用十进制使用0 09 9十个数字，那么十个数字，那么二进制、七进制、十六进制分别使用哪二进制、七进制、十六进制分别使用哪些数字？些数字？思考思考3:3:一般地，若一般地，若k k是一个大于是一个大于1 1的整数，的整数，则以则以k k为基数的为基数的k k进制数可以表示为一串进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：数字连写在一起的形式：a an na an-1n-1aa1 1a a0(k)0(k).其中各个数位上的数字其中各个数位上的数字a an n，a an-1n-1，a
4、a1 1，a a0 0的取值范围如何？的取值范围如何？(1)(1)0ank；（2）0an-1,a1,a0k.思考思考4:4:十进制数十进制数37213721表示的数可以写成表示的数可以写成3 310103 3+7+710102 2+2+210101 1+1+110100 0，依此类，依此类比，二进制数比，二进制数110011110011（2 2）,十六进制数十六进制数 1A81A8（1616）分别可以写成什么式子？分别可以写成什么式子？110011110011（2 2）=1=12 25 5+1+12 24 4+0+02 23 3+0+02 22 2+1+12 21 1+1+12 20 0 1A
5、8A8（1616）=1=116162 2+10+1016161 1+8+816160 0.思考思考5:5:一般地，如何将一般地，如何将k k进制数进制数 a an na an-1n-1aa1 1a a0(k)0(k)写成各数位上的数字与基写成各数位上的数字与基数数k k的幂的乘积之和的形式？的幂的乘积之和的形式？思考思考6:6:在上面的等式中如果把右边的结在上面的等式中如果把右边的结果算出来，是一个几进制的数？果算出来，是一个几进制的数？anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0.k进制数转化为十进制数的方法进制数转化为十进制数的方法先把先把k进制的数表示成不同
6、位上数字进制的数表示成不同位上数字与基数与基数k的幂的乘积之和的形式的幂的乘积之和的形式,即即anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0.再按照十进制数的运算规则计算出结果再按照十进制数的运算规则计算出结果.知识探究知识探究(二二):):k k进制化十进制进制化十进制 例例1 1 将下列各进制数化为十进制数将下列各进制数化为十进制数.（1 1）1030210302（4 4）；（2 2）12341234（5 5）.理论迁移理论迁移1030210302（4 4）=1=14 44 4+3+34 42 2+2+24 40 0=306.=306.12341234（5 5）
7、=1=15 53 3+2+25 52 2+3+35 51 1+4+45 50 0=194.=194.例例2 2 已知已知10b110b1（2 2）=a02=a02（3 3）,求实数求实数a a，b b的值的值.所以所以2b+9=9a+22b+9=9a+2，即，即9a-2b=7.9a-2b=7.10b110b1（2 2）=1=12 23 3+b+b2+1=2b+9.2+1=2b+9.a02a02（3 3）=a=a3 32 2+2=9a+2.+2=9a+2.故故a=1a=1，b=1.b=1.分析分析:把把89化为二进制的数化为二进制的数,需想办法将需想办法将89先写成如下形式先写成如下形式89=a
8、n2n+an-12n-1+a121+a020.89=64+16+8+1=126+025+124 +123+022+021+120=1011001(2).但如果数太大但如果数太大,我们是无法这样凑出来的我们是无法这样凑出来的,怎么办怎么办?知识探究知识探究(三三):):十十进制化进制化k k进制进制 思考：思考：如何把如何把89化为二进制的数化为二进制的数.（2）1234（5）.5 1思考4:十进制数3721表示的数可以写成3103+7102+2101+1100，依此类比，二进制数110011（2）,十六进制数 1A8（16）分别可以写成什么式子？普通高中课程标准实验教科书 数学（必修3）ana
9、n-1a1a0(k)anan-1a1a0(k)（1）10212（3）=_（10）5 1思考2:十进制使用09十个数字，那么二进制、七进制、十六进制分别使用哪些数字？（2）0an-1,a1,a0k.例2 已知10b1（2）=a02（3）,求实数a，b的值.89=324(5).0 3每七天为一周，就是七进制；满十进一，就是十进制；44 1我们可以用下面的除法算式表示除我们可以用下面的除法算式表示除2取余法取余法:289 余数余数222 0211 025 122 121 020 1把算式中各步所得的余数把算式中各步所得的余数从下到上排列从下到上排列,得到得到89=1011001(2).这种方法也可以
10、推广为把这种方法也可以推广为把十进制数化为十进制数化为k进制数的进制数的算法算法,称为称为除除k取余法取余法.可以用可以用2连续去除连续去除89或所得或所得商商(一直到商为一直到商为0为止为止),然后然后取余数取余数-除除2取余法取余法.思考：思考：如何把如何把89化为二进制的数化为二进制的数.例例3:把把89化为五进制的数化为五进制的数.解解:以以5作为除数作为除数,相应的除法算式为相应的除法算式为:17 4589 余数余数53 250 3 89=324(5).思考：思考：你会把三进制数你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗化为二进制数吗?解解:第一步第一步:先把三进制数化为十进制数先
11、把三进制数化为十进制数:10221(3)=134+033+232+231+130 =81+18+6+1=106.第二步第二步:再把十进制数化为二进制数再把十进制数化为二进制数:106=1101010(2).10221(3)=106=1101010(2).知识探究知识探究(四四):):k k进制化进制化k k进制进制 练习：完成下列进位制之间的转化：练习：完成下列进位制之间的转化：（1）10212（3）=_（10）（2）119（10）=_（6）（3）335（10）=_（12）（4）412（5）=_（8）1.k1.k进制数使用进制数使用0 0（k-1k-1）共）共k k个数字，但左侧个数字，但左侧
12、第一个数位上的数字（首位数字）不为第一个数位上的数字（首位数字）不为0.0.小结小结 2.2.用用a an na an-1n-1aa1 1a a0(k)0(k)表示表示k k进制数，其中进制数，其中k k称为基数，称为基数，十进制数一般不标注基数十进制数一般不标注基数.3.3.把把k k进制数化为十进制数的一般算式是：进制数化为十进制数的一般算式是：4.4.十十进制化进制化k k进制：进制：除k取余法（把算式中各步所得的余数从下到上排列）5.k5.k进制化进制化k k进制：先进制：先k k进制化进制化十进制，再十进制，再十进制十进制化化k k进制进制.anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0.
