1、第二十四章第二十四章 圆圆24.2 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系第第1 1课时课时 点和圆的位置点和圆的位置 关系关系 1课堂讲解课堂讲解u点与圆的位置关系点与圆的位置关系 u确定圆的条件确定圆的条件 u三角形的外接圆三角形的外接圆 u反证法反证法2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉你知道运动员的成绩是如何计算的吗？荣誉你知道运动员的成绩是如何计算的吗？1知识点知识点 点与圆的位置关系点与圆的位置关系探究：探究：1.请你在练习本上画一个
2、圆，然后任意做一些点，观请你在练习本上画一个圆，然后任意做一些点，观 察这些点和圆的位置关系察这些点和圆的位置关系.2.量一量这些点到圆心的距离，你发现了什么？量一量这些点到圆心的距离，你发现了什么？知知1 1导导知知1 1导导设设O的半径为的半径为r，点，点P到圆心的距离到圆心的距离OP=d，则有：，则有：点点P在圆外在圆外 dr；点点P在圆上在圆上 d=r；点点P在圆内在圆内 dr.（来自教材）（来自教材）符号符号“”读作读作“等价于等价于”，它表示从符号它表示从符号“”的左的左端可以推出右端，从右端可以推出右端，从右端也可以推出左端端也可以推出左端.例例1 已知已知 O的半径的半径r5
3、cm，圆心，圆心O到直线到直线l的距离的距离d OD3 cm，在直线，在直线l上有上有P，Q，R三点，且有三点，且有PD 4 cm，QD5 cm，RD3 cm，那么，那么P，Q，R三三 点与点与 O的位置关系各是怎样的？的位置关系各是怎样的？要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆 心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求 出相关点到圆心的距离出相关点到圆心的距离 知知1 1讲讲导引：导引：解：解：如图，连接如图，连接OR，OP，OQ.PD4 4 cm，OD3 3 cm，且，且ODl，点点P在在O上
4、；上；QD5 5 cm，点点Q在在O外；外；RD3 3 cm，点点R在在O内内知知1 1讲讲2222435(cm),OPPDODr22225334(cm)5cm=,OQQDODr2222333 2(cm)5cm=,ORRDODr总总 结结知知1 1讲讲 判断点和圆的位置关系，关键是计算出点到圆心的判断点和圆的位置关系，关键是计算出点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小，由数量关系决定位置关距离，再与圆的半径比较大小，由数量关系决定位置关系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用辅系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用辅助方法助方法1 (湘西州湘西州)O的半径为的半径为5 cm，点，点
5、A到圆心到圆心O的距的距 离离OA3 cm，则点，则点A与圆与圆O的位置关系为的位置关系为()A点点A在圆上在圆上 B点点A在圆内在圆内 C点点A在圆外在圆外 D无法确定无法确定知知1 1练练2 体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m和和 5.1 m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？知知1 1练练（来自教材）（来自教材）2知识点知识点 确定圆的条件确定圆的条件知知2 2导导1.过一个已知点过一个已知点A如何作圆？如何作圆？2.过点过点A所作圆的圆心在哪里？半径多大？所作圆的圆心在哪里？半径多大？可以作几个
6、这样的圆？可以作几个这样的圆？探探 究（一）究（一）A知知2 2导导1.过已知两点过已知两点A、B如何作圆？如何作圆？2.圆心圆心A、B两点的距离怎样？两点的距离怎样？能用式子表示吗？圆心在哪能用式子表示吗？圆心在哪 里？过点里？过点A、B两点的圆有几两点的圆有几 个？个？探探 究（二）究（二）AB探探 究（三）究（三）知知2 2导导过同一平面内三个点情况会怎样呢？过同一平面内三个点情况会怎样呢？1.不在同一直线上的三点不在同一直线上的三点A、B、C.定理：定理：过不在同一直线上过不在同一直线上 的三点确定一个圆的三点确定一个圆.2.过在同一直线上的三点过在同一直线上的三点A、B、C可以作几个
7、圆？可以作几个圆？不能作出不能作出OABCDEFG例例2 如图，点如图，点A，B，C在同一条直线上，点在同一条直线上，点D在直线在直线AB外，外，过这过这4个点中的任意个点中的任意3个点，能画圆的个数是个点，能画圆的个数是()A1B2C3D4 在在4个点中取个点中取3个点确定一个圆，关键是个点确定一个圆，关键是 这这3个点要不在同一直线上，因此本题个点要不在同一直线上，因此本题 的实质是在的实质是在A，B，C中找中找2个点与点个点与点 D确定圆根据题意得出：点确定圆根据题意得出：点D，A，B；点；点D，A，C；点；点 D，B，C可以分别确定一个圆故过这可以分别确定一个圆故过这4个点中的任意个点
8、中的任意3 个点，能画圆的个数是个点，能画圆的个数是3.故选故选C.知知2 2讲讲C导引：导引：总总 结结知知2 2讲讲确定一个圆的条件：确定一个圆的条件：(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆已知圆心、半径，可以确定一个圆(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆1下列关于确定一个圆的说法中，正确的是下列关于确定一个圆的说法中，正确的是()A三个点一定能确定一个圆三个点一定能确定一个圆 B以已知线段为半径能确定一个圆以已知线段为半径能确定一个圆 C以已知线段为直径能确定一个圆以已知线段为直径能确定一个圆 D菱形的四个顶点能确定一个圆菱形的四个顶点能确定一个圆知知
9、2 2练练2已知已知AB4 cm，则过点，则过点A，B且半径为且半径为3 cm的圆的圆 有有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知3 3导导3知识点知识点三角形的外接圆三角形的外接圆试一试：试一试：任意画一个三角形，然后再画出经过三个顶点的圆任意画一个三角形，然后再画出经过三个顶点的圆.ABCO知知3 3导导（来自教材）（来自教材）经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心交点，叫做这个三角形的外心例例3
10、如图，如图，ABC内接于内接于 O，C45，AB4，求，求 O 的半径的半径知知3 3讲讲导引：导引：要求要求O的半径，已知弦的半径，已知弦AB的长，需的长，需 以以AB为边与为边与O的半径的半径(或直径或直径)构成构成 等腰直角三角形，因此有两个切入点等腰直角三角形，因此有两个切入点 方法一：如图方法一：如图1 1，连接，连接OA，OB，利用，利用 圆周角定理可得圆周角定理可得AOB22C9090，再利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出 半径；方法二：如图半径；方法二：如图2 2，作直径，作直径AD，连接，连接BD，利用同弧所对，利用同弧所对 的圆周角相等，得的圆周角相等，得DC4545，再
11、利用勾股定理可求出，再利用勾股定理可求出 半径半径知知3 3讲讲解：方法一解：方法一：如图：如图1，连接，连接OA，OB，设，设 O的半径为的半径为r，C45，AOB2C90.OA2OB2AB2，即，即r2r242.解得解得r12 ，r22 (不符合题意，舍去不符合题意，舍去)O的半径为的半径为2 .222图图 1 1知知3 3讲讲方法二方法二：如图：如图2，作直径，作直径AD，连接，连接BD，设，设 O的半径为的半径为r.AD为为 O的直径，的直径，ABD90.又又DC45，DAB45，BDAB4.在在RtABD中，中，AB2BD2AD2，即即4242(2r)2，解得解得r12 ，r22 (
12、不符合题意，舍去不符合题意，舍去)O的半径为的半径为2 .222图图 2 2总总 结结知知3 3讲讲求三角形的外接圆半径求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心时，最常用的办法是作出圆心与三角形顶点的连线与三角形顶点的连线(即半径即半径)，延长使这条半径变为，延长使这条半径变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长1 下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()A三点确定一个圆三点确定一个圆 B圆有且只有一个内接三角形圆有且只有一个内接三角形 C三角形的外心到三角形三边的距离相等三角形的外心到三角形三边的距离相等 D三角形有且只有一个外接圆三角形
13、有且只有一个外接圆知知3 3练练2 如图，如图，CD所在的直线垂直平分线段所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这，怎样用这 样的工具找到圆形工件的圆心？样的工具找到圆形工件的圆心？知知3 3练练（来自教材）（来自教材）4知识点知识点 反证法反证法知知4 4导导思考：思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如图，假设经过同一条直线如图，假设经过同一条直线l上的上的A,B,C三三点可以作一个圆点可以作一个圆.设这个圆的圆心为设这个圆的圆心为P，那，那么点么点P既在线段既在线段AB的垂直平分线的垂直平分线l1上，又上，又在线段在线段BC的垂直平分线的垂直平
14、分线l2上，即点上，即点P为为l1与与l2的交点，而的交点，而l1l，l2l，这与我们以前学过的这与我们以前学过的“过一点有过一点有且只有一条直线与已知直线垂直且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾矛盾.所以，经过同一条所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆直线上的三个点不能作圆.知知4 4导导归归 纳纳 上面证明上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆经过同一条直线上的三个点不能作圆”的的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的
15、三个点可以作一个圆），由此经过推过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立命题成立.这种方法叫做这种方法叫做反证法反证法.（来自教材）（来自教材）例例4 用反证法证明平行线的性质用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等”.如图，我们要证明：如果如图，我们要证明：如果ABCD,那么那么1=2.假设假设12，过点，过点O作直线作直线AB，使使EOB=2.根据根据 “同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”，可，可 得得ABCD.这样，过点这样，过点O就有
16、就有 两条直线两条直线AB，AB都平行于都平行于CD，这与平行公理，这与平行公理“过过 直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾矛盾.这说明假设这说明假设12不正确，从而不正确，从而1=2.知知4 4讲讲 证明：证明：总总 结结知知4 4讲讲(1)1)反证法适用情形：反证法适用情形：命题的结论的表述为命题的结论的表述为“肯定肯定”或或“否定否定”，且用直接法证较困难；且用直接法证较困难；证明一个定理的逆命题，用直接法证证明一个定理的逆命题，用直接法证 较困难使用反证法的前提条件是较困难使用反证法的前提条件是“结论结论”的反面可列举出来的反面可列举出
17、来(2)(2)反证法使用要经历：反设反证法使用要经历：反设归谬归谬结论这三步，反设是推理归结论这三步，反设是推理归 纳的已知条件，即把反设作为已知条件进行推理；归谬是关键，纳的已知条件，即把反设作为已知条件进行推理；归谬是关键，是反证法的核心，其作用是：从命题结论的反面出发，推出与是反证法的核心，其作用是：从命题结论的反面出发，推出与 已知事理已知事理(定义、公理、定理、已知条件定义、公理、定理、已知条件)矛盾；最后说明假设矛盾；最后说明假设 不成立，原结论成立不成立，原结论成立1用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于三角形中必有一个内角小于或等于60”时，首先应假设
18、三角形中时，首先应假设三角形中()A有一个内角大于有一个内角大于60 B有一个内角小于有一个内角小于60 C每一个内角都大于每一个内角都大于60 D每一个内角都小于每一个内角都小于60知知4 4练练2 用反证法证明命题用反证法证明命题“若若 O的半径为的半径为r，点，点P到圆心的距离为到圆心的距离为d，且且dr，则点，则点P在在 O的外部的外部”，应先假设应先假设_1.1.点和圆的三种位置关系：设点和圆的三种位置关系：设O的半径为的半径为r，点，点P到圆心到圆心 的距离为的距离为d，则，则2.2.过一点可以作无数个圆过一点可以作无数个圆.3.3.过两点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆.圆心在以已知两点为端点的线圆心在以已知两点为端点的线 段的垂直平分线上段的垂直平分线上.4.4.过三点过三点5.5.反证法的证明思想：反设、归谬、结论反证法的证明思想：反设、归谬、结论.=PdrPd rPdr 点点 在在圆圆外外点点 在在圆圆上上点点 在在圆圆内内 过过不不在在同同一一条条直直线线上上的的三三点点确确定定一一个个圆圆过过在在同同一一直直线线上上的的三三点点不不能能作作圆圆
