1、生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 -优化问题与导数的综合应用优化问题与导数的综合应用例例1在边长为在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去四的正方形铁片的四角上切去四个边长均为相等的小正方形，再把它的边沿虚个边长均为相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，高是多少线折起，做成一个无盖的方底箱子，高是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？时，箱子的容积最大？最大容积是多少？x分析分析根据所给几何体的体积公式建模根据所给几何体的体积公式建模解析设箱高为设箱高为xcm，则箱底边长为，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积，则得箱子容积V是是x的函数，的函数，V(x
2、)(602x)2x(0 x30)4x3240 x23600 x.V(x)12x2480 x3600，令令V(x)0，得，得x10，或，或x30(舍去舍去)当当0 x0，当当10 x30时，时，V(x)0它表示它表示 f(r)单调递增，单调递增，即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f(r)0 它表示它表示 f(r)单调递减单调递减，即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低0)(,)2,0(xfr时当0)(,)6,2(xfr时当238.0342.0)(rrrfyryo)3(8.0)(23rrrf231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，
3、利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？例例3某种圆柱形的饮料罐的容积一定时某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径如何确定它的高与底半径,使得所用材料使得所用材料最省最省?R Rh解解：设圆柱的高为设圆柱的高为h,底面半径为底面半径为R.则表面积为则表面积为又又 (定值定值),.2RVh则2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR 解得3222VRVh从而即即h=2R.可以判断可以判断S(R)只有一个极值点只有一个极值点,且是最小值点且是最小值点.答答：罐高与底的直径相等时：罐高与底的直径相等时,所用材料最省所用材料最省.222)(R
4、RhRShRV2练1：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为的海报，要求版心面积为 ,上、下两边上、下两边各空各空2dm,左、右两边各空左、右两边各空1dm。如何设计海报。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？的尺寸，才能使四周空心面积最小？2128dm 解：设版心的高为解：设版心的高为 dm，则版心的宽为，则版心的宽为 dm,此时四周此时四周空白面积为空白面积为 :128512()(4)(2)12828,0S xxxxxx 求导数，得求导数，得25
5、12()2S xx令令 2512()20S xx解得解得16(16xx 舍去）。舍去）。于是宽为于是宽为 128128816x0.因此，因此，x=16是函数是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为答：当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。时，海报四周空白面积最小。x128x解法二解法二：由解法由解法(一一)得得2 328722564,8(0)xxxSx当且仅当即时 取最小值16128此时y=8816dmdm答：应使用版心宽为，
6、长为，四周空白面积最小)(xS85122xx851222xx分析分析根据题意，月收入月产量根据题意，月收入月产量单价单价px月利润月收入成本月利润月收入成本px(50000200 x)(x0)，列出函数关系式建立数学模型后再利，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值用导数求最大值答：每月生产答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最吨产品时利润达到最大，最大利润为大利润为315万元万元点评点评建立数学模型后，注意找准函数的定义域建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方，这是此类题解答过程中极易出错的地方回顾总结回顾总结:利用导数解决优化问题的基本思路利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题用函数表示数学问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案建立数学模型建立数学模型解决数学模型解决数学模型作答作答 解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。往往是一个有利的工具。
