1、 窥探圆锥曲线之定义窥探圆锥曲线之定义 山重水复疑无路山重水复疑无路 柳暗花明又一村柳暗花明又一村 在解题中在解题中,有的同学能自觉地根据问题有的同学能自觉地根据问题的特点应用公式的特点应用公式,定理定理,法则法则;但但对数学定对数学定义往往未加重视义往往未加重视,以至不能以至不能及时地发现一及时地发现一些促进问题迅速获解的隐含条件些促进问题迅速获解的隐含条件,造成舍造成舍近求远近求远,舍简求繁的情况舍简求繁的情况.因此合理应用定因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种义是寻求解题捷径的一种重要方法重要方法,灵活灵活运用圆锥曲线的定义运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来常常会给解题带来极大方便极大方
2、便,产生一种产生一种“山重水复疑无路，山重水复疑无路，柳暗花明又一村柳暗花明又一村”的美好感觉的美好感觉.问题问题1：太湖度假岛太湖度假岛兰香山兰香山顾渚山顾渚山码头码头如图，长兴的兰香山风景区（如图，长兴的兰香山风景区（地）在太湖度假岛（地）在太湖度假岛（地）正东方向地）正东方向4 km处，顾渚山风景区（处，顾渚山风景区（C地）在兰香山风地）在兰香山风景区的北偏东景区的北偏东30方向方向2 km处处,太湖的沿岸太湖的沿岸PQ（曲线（曲线)上上任意一点到任意一点到A的距离比到的距离比到B的距离远的距离远2 km.现要在曲线现要在曲线PQ上选一处上选一处M建一座码头泊船，向建一座码头泊船，向B、
3、C两地输送游客两地输送游客.经测经测算算,从从M到到B、C修建公路的费用分别是修建公路的费用分别是a万元万元/km、两条公路的总费用最低是两条公路的总费用最低是 2a万元万元/km，那么修建这，那么修建这太湖岛太湖岛兰香山兰香山顾渚山顾渚山码头码头 解析解析:以以AB所在直线所在直线X轴轴,AB的垂直平分线所在的垂直平分线所在直线为直线为y轴建立坐标系轴建立坐标系xoy|MA|MB|=2=2aa=1,c=2,b=3由双曲线的定义知由双曲线的定义知PQ为为双曲线双曲线 的右的右支支,2213yx 则则 S=a|MB|+2a|MC|=a(|MB|+2|MC|)设总费用为设总费用为S万元万元,M1E
4、oxyxF2PyOF1椭圆椭圆 上一点上一点P到左焦点到左焦点F1的的距离为距离为3，求，求P到右焦点到右焦点 F2的距离。的距离。1162522yx变式变式1:求点求点P到左焦点到左焦点距离的最值距离的最值?思考思考:变式变式2:求点求点P到左准线到左准线的距离的距离?问题问题2:L1P1L2P2练习练习35右准线右准线椭圆的定义：椭圆的定义：平面内与两个定平面内与两个定F1、F2 的距离的和等于常的距离的和等于常 数数（大于（大于|F1F2|）的点的的点的轨迹叫做轨迹叫做椭圆椭圆。问题问题1：当常数等于：当常数等于|F1F2|时，点时，点P的轨迹的轨迹 是什么？是什么？问题问题2：当常数小
5、于：当常数小于|F1F2|时，点时，点P的轨迹的轨迹 是什么？是什么？线段线段F1F2轨迹不存在轨迹不存在P是椭圆上一点，则是椭圆上一点，则|PF1|+|PF2|=2a双曲线的定义 平面内与两定点平面内与两定点F F1 1，F F2 2的距离的差的的距离的差的绝对值绝对值等于常数等于常数（小于小于|F|F1 1F F2 2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做双曲线。双曲线。这这两个定两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点点叫做双曲线的焦点，两焦点的的距离叫做双曲线的距离叫做双曲线的焦距焦距1、平面内与两定点、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于的距离的差等于常数（小于常数（小于 F1F2）的点的轨迹
6、是什么？）的点的轨迹是什么？双曲线的一支双曲线的一支两条射线两条射线oF2F1MM是是双曲线上一点双曲线上一点|MF1|-|MF2|=2a2、若常数、若常数2a=F1F2 轨迹是什么？轨迹是什么？圆锥曲线的统一定义（第二定义）圆锥曲线的统一定义（第二定义）若平面内一个动点若平面内一个动点P到一个定点到一个定点F和一条直线和一条直线 距离之距离之l比等于一个常数比等于一个常数 ，则动点的轨迹为圆锥曲线。，则动点的轨迹为圆锥曲线。()0e e Fl()其中定点其中定点F为焦点，定直线为焦点，定直线 为准线，常数为准线，常数 为曲线为曲线le的离心率的离心率当当 时，轨迹为椭圆；时，轨迹为椭圆；01
7、e1e 当当 时，轨迹为抛物线；时，轨迹为抛物线；1e 当当 时，轨迹为双曲线。时，轨迹为双曲线。用定义法解题的常见类型用定义法解题的常见类型类型一类型一 利用定义法求值利用定义法求值类型二类型二 利用定义法求最值利用定义法求最值类型四类型四 利用定义法求轨迹利用定义法求轨迹 类型三类型三 利用定义法判断位置关系利用定义法判断位置关系 例1.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为600的直线交抛物线于A、B两点，设则l .(1)AFFBll BAFLxyOABM类型一类型一 利用定义法求值利用定义法求值22222221(0,0)F,TPMFPOOMT.2.Mxyababxyall从双曲线的左焦点
8、 引圆的切线 切点为，且 交双曲线的右支于点，是线段的中点，为坐标原点，求的值例FT yxPoM F1111FPFOMPFOTPFOT=a,OF,OMTM11PFPF.22cTFbTFba1解：设 为右焦点，连结，OT,则/，变题探究变题探究:已知命题：椭圆的两个焦点为已知命题：椭圆的两个焦点为F F1 1、F F2 2，Q Q为椭圆上任意一点，从任一焦点向为椭圆上任意一点，从任一焦点向FF1 1QFQF2 2的的顶点顶点Q Q的外角平分线引垂线，垂足为的外角平分线引垂线，垂足为P P，则点，则点P P的的轨迹为圆（除两点），类比上述命题，将轨迹为圆（除两点），类比上述命题，将“椭椭圆圆”改为
9、改为“双曲线双曲线”，则有命题，则有命题 .OXYF1F2QPMF2F1MOyQPaQFQFMFOP 2112121|aQFQFMFOP 2112121|已知定点已知定点M（3，2），），F是抛物线是抛物线y2=2x的的焦点，在此抛物线上求一点焦点，在此抛物线上求一点P，使，使 取得取得最小值，求点最小值，求点P的坐标。的坐标。抛物线上的点到焦点的距离与到抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。准线的距离相等。即即|PF|=|PN|PM|+|PF|=|PM|+|PN|当当 M、P、N三点共线三点共线时距离之和最小。时距离之和最小。FM例例1.如图，由抛物线的定义：如图，由抛物线的定义：分析
10、：分析：FMPN|PM|+|PF|oxyoxy类型二类型二 利用定义法求最值利用定义法求最值解：解：如图所示如图所示|PF|=|PN|即：即：|PF|+|PM|=|PN|+|PM|PM|+|PN|PM|+|PN|=|PM|+|PF|又又点点P的纵坐标等于点的纵坐标等于点M的纵坐标，即的纵坐标，即y=2所以，点所以，点P的坐标为（的坐标为（2，2）在抛物线在抛物线 y2=2x上任取一点上任取一点P(x,y),作作PN准线准线L，作，作MN L，MN交交抛物线于抛物线于P（x，y）由抛物线的定义得：）由抛物线的定义得：当当P和和P重合时，即重合时，即PNL，N、P、M三点共线，三点共线，FMPNP
11、N 已知定点已知定点M（3，2），），F是抛物线是抛物线y2=2x的焦点，的焦点，在此抛物线上求一点在此抛物线上求一点P，使，使|PM|+|PF|取得最小值，求点取得最小值，求点P的坐标的坐标例例1.yxMABA1B1M1F变题变题.定长为定长为3 3的线段的线段ABAB的两端点在抛的两端点在抛物线物线 上移动，上移动，ABAB的中点为的中点为M M，求，求M M到到y y轴的最短距离。轴的最短距离。xy 254最短距离为1111142411524244AABBMNMMAFBFAB其中等号成立当且仅当其中等号成立当且仅当A、F、B三点共线三点共线N1e|PAPQAOF2yxPQ解：由于，解：由
12、于，2|2142PFed(其中其中d d为点到右准线的距离为点到右准线的距离)22|dPF2|2|PAPFPAd（P,A,QP,A,Q三点共线时最小）三点共线时最小）2|2|PAPF所以所以的最小值为的最小值为2Aaxc8 3 5 拓展拓展2:22PAPF已知椭圆已知椭圆 ,定点定点A(3、1),是其左右是其左右焦点，焦点，P是椭圆上一点。是椭圆上一点。2211612xy12,F F-4已知双曲线已知双曲线双曲线上一点。双曲线上一点。（）求（）求 的最小值。的最小值。2|422PFed由于21|2dPF 所以的最小值为所以的最小值为21|2PAPFPAd21|2PAPF(其中其中d d为点到右
13、准线的距离为点到右准线的距离)解：解：F1F2OPQA（P,A,Q三点共线时最小）三点共线时最小）2|PA|+|PF2|PF2|123 1 2 xy2Aaxc太湖岛太湖岛兰香山兰香山顾渚山顾渚山码头码头|MA|MB|=2=2aa=1,c=2,b=3由双曲线的定义知由双曲线的定义知PQ为为双曲线双曲线 的右的右支支,2213yx 由双曲线的第二定义知由双曲线的第二定义知则则 S=a|MB|+2a|MC|=a(|MB|+2|MC|)代入上式代入上式:2MBeMD|MB|=|MD|S=2a(|MD|+|MC|)即求即求|MD|+|MC|的最小值的最小值(M,D,C三点共线时最小三点共线时最小)|co
14、s601CEBCC点的横坐标为点的横坐标为1+2=3|CD1|=3-1522S=2a525a(万元）万元）D设总费用为设总费用为S万元万元,M1D1Eoxy=2a(|MB|+|MC|)1212数学源于生活数学源于生活 又服务于生活又服务于生活例例1.1.过抛物线过抛物线C C的焦点的焦点F F作直线与抛物线交于作直线与抛物线交于A A、B B两点两点,研究以研究以ABAB为直径的圆与抛物线的准线为直径的圆与抛物线的准线l的的位置关系位置关系,并证明你的结论并证明你的结论.类型三类型三 利用定义法判断位置关系利用定义法判断位置关系 ABFlxyO例例1.1.过抛物线过抛物线C C的焦点的焦点F
15、F作直线与抛物线交于作直线与抛物线交于A A、B B两点两点,研究以研究以ABAB为直径的圆与抛物线的准线为直径的圆与抛物线的准线l的位的位置关系置关系,并证明你的结论并证明你的结论.ABNABFlM 如图如图,设设ABAB中点为中点为M,AM,A、B B、M M在准线在准线L L上的射上的射影为影为AA、BB、N,N,的大小的大小与与只需比较只需比较2|ABMN,2|/BBAAMN而而|AA|=|AF|,|BB|=|BF|AA|=|AF|,|BB|=|BF|分析分析,2|2|ABBFAFMN故以故以ABAB为直径的圆与为直径的圆与l相切相切.xyO.Fyox.AB.P 以过椭圆的焦点的弦为直
16、径的圆，和该以过椭圆的焦点的弦为直径的圆，和该焦点相应准线是何位置关系？焦点相应准线是何位置关系？类比：类比：以过双曲线的焦点的弦为直径的圆，和以过双曲线的焦点的弦为直径的圆，和该焦点相应准线是何位置关系？该焦点相应准线是何位置关系？探索：探索：相交相交P.AB.xF0y.mnd共同点：共同点：利用第二定义解题利用第二定义解题.差异：差异：.,110ee双曲线双曲线椭圆椭圆相离相离拓展拓展1.1.以抛物线以抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦半径的焦半径|PF|PF|为为直径的圆与直径的圆与y y轴位置关系是轴位置关系是:.SFXYOPQNM相切相切)(21OFPQMN OF
17、QS PFPSQSPQMN2121)(21 OPF2F1变式变式3.拓展拓展2.yxOPyxQQF1F2例例1已知动圆已知动圆A和圆和圆B:(x+3)2+y2=81内切内切,并和圆并和圆C:(x-3)2+y2=1外切，求动圆圆心外切，求动圆圆心A的轨迹方程。的轨迹方程。分析：圆内外切时圆心分析：圆内外切时圆心距与半径有何关系？距与半径有何关系？BCOyCOyAQxP.0102外切外切2100r1+r2.01.02内切内切2100r1r2类型四类型四 利用定义法求轨迹利用定义法求轨迹 例例1已知动圆已知动圆A和圆和圆B：(x+3)2+y2=81内内切，并和圆切，并和圆C：(x-3)2+y2=1外
18、切，求动圆外切，求动圆圆心圆心A的轨迹方程。的轨迹方程。动圆动圆A A和圆和圆B B内切，所内切，所以以ABAB=9=9R,R,动圆动圆A A和圆和圆C C外切外切,所以所以ACAC=1+R=1+R，所以所以ABAB ACAC =9+1=10=9+1=10解：设动圆的半径为，则解：设动圆的半径为，则由椭圆定义知由椭圆定义知,动圆圆心动圆圆心A A的轨的轨迹是以迹是以,为焦点的椭圆为焦点的椭圆,2212 51 6xyCOyAQxPB又又B(-3,0),C(3,0),则则a=5,c=3,b=4 方程为：方程为：642-2-4-5510 xoyAB思考与探究思考与探究:已知圆已知圆 ，圆圆 ，若动圆
19、，若动圆 与圆与圆 都相切，求动圆圆心都相切，求动圆圆心 的轨迹方程的轨迹方程MA B、M1)5(:22 yxA16)5(:22 yxB（1）（2）（3）（4）19124y924x 19124y924x 17524y2524x 17524y2524x 642-2-4-5510 xoyMAB8642-2-4-6-5510MAB642-2-4-6-10-5510BMA108642-2-4-5510MBA(X0)(X0)1)5(:22 yxA16)5(:22 yxB课堂小结课堂小结1:1:用定义法解题的常见类型用定义法解题的常见类型类型一类型一 利用定义法求值利用定义法求值类型二类型二 利用定义法求
20、最值利用定义法求最值类型四类型四 利用定义法求轨迹利用定义法求轨迹 类型三类型三 利用定义法判断位置关系利用定义法判断位置关系 归纳小结归纳小结2基本图形记得清，基本图形记得清，定义意识要加强定义意识要加强.曲线定义很重要，大家一定要记牢；曲线定义很重要，大家一定要记牢；两个焦点定义一，焦点准线定义二；两个焦点定义一，焦点准线定义二；课后探究：课后探究：22221)(23),_.xyyxy 若方程m(表示的曲线是椭圆则m的取值范围,5课后练习：课后练习：221(2,1).259|_,5|_.4xyFPBPBPFPBPF1.是的右焦点，是其上一点，定点则的最小值最大值_.的最小值1422yx21,FF)1,3(A2.已知双曲线已知双曲线，为其左、右为其左、右 焦点，点焦点，点，P是双曲线上一点，是双曲线上一点，（1）求）求|2PFPA 的最小值；的最小值；（2）求）求|52|52PFPA 的最小值。的最小值。授课人：授课人：顾建伟顾建伟2012.12.20 Email:QQ:32182382
