1、1 1.0 sin2)(23时的导数时的导数在在求求 xxxxxf解：解：)(sin)(2)()(23 xxxxf2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解：解：23x x4.cos x sin2lnyxx sin2lnxx.1)0(fcos2(2)lnxxx1sin2xx2cos2lnxx1sin2xx2.2 导数在经济中的应用（1）边际分析案例三案例三 边际成本边际成本 设成本函数为：设成本函数为：()CC xx（其中其中为产量为产量）设初始产量为：设初始产量为：0 x当产量由当产量由0 xx0()C x()C x产量的改变量为：产量的改变量为：0 xx成本的改变量为：成本的改变量为：
2、0()()C xC x成本对产量的平均变化率：成本对产量的平均变化率：00()()C xC xCxx当产量的改变量很少的时候，即当产量的改变量很少的时候，即0 xx时时000()()limxxC xC xxx若若存在，存在，则称该极限值为：则称该极限值为：产量为产量为0 x时的边际成本。时的边际成本。边际成本的解释：边际成本的解释：产量为产量为0 x时的边际成本指的是：时的边际成本指的是：当产量在当产量在0 x的基础上，再增加或减少一件产品时成本的基础上，再增加或减少一件产品时成本的变化量。的变化量。2、边际收益：、边际收益：（解释：边际收益是当销量为（解释：边际收益是当销量为x 的基础上，再
3、增加（或减少）的基础上，再增加（或减少）一个单位产品时总收益增加（或减少）的数额。）一个单位产品时总收益增加（或减少）的数额。）收益函数收益函数()R x的导数。的导数。3、边际利润：、边际利润：利润函数利润函数()L x的导数。的导数。（解释：边际利润是当销量为（解释：边际利润是当销量为x 的基础上，再增加（或减少）的基础上，再增加（或减少）一个单位产品时总利润增加（或减少）的数额。）一个单位产品时总利润增加（或减少）的数额。）4、边际需求：、边际需求：需求函数需求函数()Q p的导数。的导数。（解释：边际需求是当价格为（解释：边际需求是当价格为p 时，价格上涨（或下降）一个时，价格上涨（或
4、下降）一个 单位时，需求量将减少（或增加）的数量。）单位时，需求量将减少（或增加）的数量。）1、边际成本：、边际成本：成本函数成本函数()C x的导数。的导数。（解释：边际成本是当产量为（解释：边际成本是当产量为x 的基础上，再增产（或减产）的基础上，再增产（或减产）一个单位产品时需增加（或减少）的成本。）一个单位产品时需增加（或减少）的成本。）2.2.1 边际成本边际成本案例案例2.1设某产品设某产品Q单位的总成本为单位的总成本为2()11001200QC Q 求生产求生产900单位时的总成本、平均成本及边际成本，单位时的总成本、平均成本及边际成本，并解释边际成本的经济意义。并解释边际成本的
5、经济意义。解：解：当当Q=900时：时：9002900()11001775;1200QC Q9001775()1.97;900QC Q900900()1.5.600QQQC Q总成本：总成本：平均成本：平均成本：边际成本：边际成本：当产量为当产量为900单位时，再增加（或减产）一单位，需增加（或减少）单位时，再增加（或减产）一单位，需增加（或减少）1.5单位的成本。单位的成本。案例案例2.22.2.2 边际收益边际收益设某产品的价格函数为设某产品的价格函数为20,5QP 其中其中P为价格，为价格，Q为销售量，求：为销售量，求：（1）销售量为）销售量为15单位时的总收益、平均收益与边际收益；单位
6、时的总收益、平均收益与边际收益；（2）销售量从）销售量从15单位增加到单位增加到20单位时收益的平均变化率。单位时收益的平均变化率。解：解：（1）总收益：）总收益：2()205QRQ P QQ215(15)(20)2555QQRQ(15)255(15)171515RR152(15)(20)145QRQ(20)(15)1320 15RRRQ2.2.3 边际利润边际利润案例案例2.3某工厂进行了大量的统计分析后，得出总利某工厂进行了大量的统计分析后，得出总利润润L(Q)与每月产量与每月产量Q的关系为：的关系为：2()2505,L QQQ试确定每月产量分别为试确定每月产量分别为20t,25t时的边际
7、利润，时的边际利润，并解释经济意义。并解释经济意义。解：解：20()QL Q20(250 10)QQ250 10 205025()QL Q25(250 10)QQ250 10 250经济意义：经济意义：当每月产量为当每月产量为20t时，再增加一吨，利润将增加时，再增加一吨，利润将增加50元。元。当每月产量为当每月产量为25t时，再增加一吨，利润不变。时，再增加一吨，利润不变。结论：结论：并非产量越大，利润就越高！并非产量越大，利润就越高！2.2.4 边际需求边际需求案例案例2.4某商品的需求函数为某商品的需求函数为2()75,Q PP求求P=4时的边际需求，并说明其经济意义。时的边际需求，并说
8、明其经济意义。解：解：()2Q PP 当当P=4时的边际需求为：时的边际需求为：4()2 48PQ P 经济意义：经济意义：当价格为当价格为4时，价格上涨（或下降）时，价格上涨（或下降）1单位，需求量将单位，需求量将减少（或增加）减少（或增加）8单位。单位。2.2 导数在经济中的应用（2）最优化问题一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法若若定理定理 1.设函数设函数)(xf0)(xf则则 在在 I 内单调递增内单调递增)(xf()0),fx(递减递减)。在开区间在开区间 I 内可导内可导,2.4 函数单调性分析函数单调性分析引例引例1.确定函数确定函数31292)(23xxxxf的单调区
9、间的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故)(xf的单调增单调增区间为,)1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1(12xoy122()618120fxxx令令()0fx 得到的解称为驻点。得到的解称为驻点。例如：对函数例如：对函数31292)(23xxxxf令令得得1,2xx称为函数称为函数f(x)的驻点。的驻点。1,2xx二、二、驻点（稳定点）驻点（稳定点）案例案例2.2（续）（续）设某产品的价格函数为设某产品的价格函数为20,5QP 其中其中P为价格，为价格，Q为销售量，
10、求：为销售量，求：（3）收益函数的增区间及减区间。）收益函数的增区间及减区间。解：解：由（由（1）可知总收益函数为：）可知总收益函数为：2()205QRQ P QQ2()205R QQ令令()0,R Q 50.Q 驻点驻点Q()R Q()R Q0,5050,（）结论：销售量为结论：销售量为0到到50时，总收益是随销售量的增加而增加，但时，总收益是随销售量的增加而增加，但 在销售量大于在销售量大于50，总收益却随着销售量的增加而减少。，总收益却随着销售量的增加而减少。50010AB定义定义.设函数)(xf在区间 I 上连续,21Ixx(1)若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(
11、xf图形是凹凹的;(2)若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点.图形是凸凸的.yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox三、曲线（函数）的凹凸性与拐点三、曲线（函数）的凹凸性与拐点定理定理2.(凹凸性判定法凹凸性判定法)(xf(1)在在 I 内内,0)(xf则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的;)(xf(2)在在 I 内内,0)(xf则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的.)(xf设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数xxy24362)(3632xx引例引例2.求曲线求曲线14334xxy的凹凸区
12、间及拐点.解解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32)1,0(),(271132四、函数的极值及其求法四、函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf,),(0bax，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时,)()(0 xfxf(1)则称 为 的极大点极大点,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值;)(0 xf,)()(0 x
13、fxf(2)则称 为 的极小点极小点,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值.)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点.极值第一判别法极值第一判别法,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1)(xf“左左正正右右负负”,;)(0取极小值在则xxf(2)(xf“左左负负右右正正”,.)(0取极大值在则xxf点击图中任意处动画播放暂停注意注意:2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在定义的点.1)函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如1x为极大点,2)1(f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小点,12xoy12
14、设函数设函数 在点在点)(xf0 x处有二阶导数，处有二阶导数，0)(0 xf（1）如果）如果 ，则，则 在在 取得极大值；取得极大值；0)(0 xf)(xf0 x（2）如果）如果 ，则，则 在在 取得极小值。取得极小值。0)(0 xf)(xf0 x0()0fx，且且则则极值第二判别法（常用）极值第二判别法（常用）,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2)最大值 maxM,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值 minm,)(1xf,)(
15、2xf,)(,mxf,)(af)(bf四、四、闭区间连续函数的最值闭区间连续函数的最值引例引例3.求函数求函数32()23122f xxxx在区间在区间2,4上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。解：解：2()6612fxxx6(2)(1)0 xx驻点驻点122,1xx()126fxx将将-2和和1代入代入(2)1226180f (1)12 1 6180f(2)22f(4)130f(1)5f max(4)130ffmin(1)5ff（步骤（步骤1：求驻点）：求驻点）（步骤（步骤2：求二阶导数）：求二阶导数）（步骤（步骤3：判：判断极值）断极值）（步骤（步骤4：求极值）：求极值）（步骤（步骤5
16、：确定最值）：确定最值）极大值极大值极小值极小值区间端点值区间端点值案例案例2.5（平均成本最小化问题）（平均成本最小化问题）设每月产量为设每月产量为x吨时，总成本函数为吨时，总成本函数为21()849004C xxx求最低平均成本和相应产量的边际成本。求最低平均成本和相应产量的边际成本。解：解：()14900()84C xC xxxx 2()14900()04C xC xxx唯一驻点唯一驻点140.x 39800(140)0.140C故故x=140是是()C x的极小值点，也是最小值点。的极小值点，也是最小值点。最低平均成本：最低平均成本：14900(140)1408414078C 边际成本：边际成本：1401(140(278)8)xCx
