1、 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利元的存款账户，银行的年利率为率为7%.用用an表示表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：就是你每年的存款额：a0,a1,a2,a3,an,设设r为年利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an,因此存款问题的数学模型因此存款问题的数学模型是：是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,从从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，
2、每年向将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入银行存入x元作为家庭教育基金元作为家庭教育基金.若银行的年利率为若银行的年利率为r，试写出第，试写出第n年后教育基金总额的表达式年后教育基金总额的表达式.预计当子女预计当子女18岁入大学时所需的岁入大学时所需的费用为费用为30000元，按年利率元，按年利率10%计算，小张夫妇每年应向银行存计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元入多少元?设设n年后教育基金总额为年后教育基金总额为an，每年向银行存入，每年向银行存入x元，依据复利元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x
3、,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需10万元万元.他们已经筹他们已经筹集集4万元，另外万元，另外6万元申请抵押贷款万元申请抵押贷款.若贷款月利率为若贷款月利率为1%，还贷，还贷期限为期限为25年，问小李夫妇每月要还多少钱？年，问小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠个月后的欠款额为款额为an，则，则 a0=60000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,小王看到一则广告
4、：商场对电脑实行分期付款销售小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售.一台售一台售价价8000元的电脑，可分元的电脑，可分36个月付款，每月付个月付款，每月付300元即可元即可.同时他同时他收到了银行提供消费贷款的消息：收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为年内还清，年利率为15%.那么，他买电脑应该向银行贷款，还那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？是直接向商店分期付款？经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同.设第设第n个月后个月后的欠款额为的欠款额为an，则，则 a0=
5、8000,an+1=(1+r)an-300,n=0,1,2,3,贷款模型贷款模型 a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x,n=0,1,2,3,在上述模型中，给出了在上述模型中，给出了an+1与与an之间的递推公式之间的递推公式.将它们写成将它们写成统一的形式：统一的形式：a0=c,an+1=an+b,n=0,1,2,3,称此类递推关系为称此类递推关系为.当当b=0时称为齐次差分方时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程程，否则称为非齐次差分方程.对任意数列对任意数列A=a1,a2,an,，其差分算子，其差分算子 定义如下：定义如下：a1=a2-a1,a2=a3-a2,an=
6、an+1-an,对数列对数列A=a1,a2,an,，其一阶差分的差分称为二阶，其一阶差分的差分称为二阶差分差分,记为记为 2A=(A).即：即：2an=an+1-an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可以定义一般地，可以定义n阶差分阶差分.例例1 用计算机计算存款模型的各阶差分用计算机计算存款模型的各阶差分.(*首先计算首先计算20年内的存款清单年内的存款清单*)r=0.07;a0=1000;an_:=(1+r)an-1;money1=Tablen,an,n,0,20;TableFormJoin年份年份,存款额存款额,money1(*其次计算各阶
7、差分其次计算各阶差分*)dan_:=an+1-an;d2an_:=dan+1-dan;d3an_:=d2an+1-d2an;diff=Tablen,an,dan,d2an,d3an,n,0,9;TableFormJoinN,An,Dan,D2an,D3an,diff dif1=Transposediff;TableFormdif13/dif12,dif14/dif13,dif15/dif14 由由 an+1-an=b,n=0,1,2,得得 an-a0=n b.如果如果a0=c,则有则有 an=n b+c.一般地一般地,差分方程差分方程 k an=b 的解是的解是:an=ck nk+ck-1nk
8、-1+c1n+c0,其中其中 ck=b/k!.验证如下：验证如下：an_:=c4n4+c3n3+c2n2+c1n+c0;dan_:=an+1-an;d2an_:=dan+1-dan;d3an_:=d2an+1-d2an;d4an_:=d3an+1-d3an;d3an/Simplifyd4an/Simplify 一阶线性差分方程一阶线性差分方程 an+1=an+b 的通解是：的通解是：对一阶线性差分方程对一阶线性差分方程 an+1=an+b,若若|1,则则 an逐渐远离平衡解逐渐远离平衡解 b/(1-)(发散型不动点发散型不动点).1,1,1,bccnbann 由由 a0=x,an+1=(1+r
9、)an+x,n=0,1,2,3,得通解得通解:将将 a0=x,=1+r,b=x 代入代入,得得 c=x(1+r)/r,因此方程的特解因此方程的特解是是:1bcannnnnnarrxrrxa1)1(,1)1(11 将将 a18=30000,r=0.1 代入计算出代入计算出 x=586.41.由由 a0=60000,an+1=(1+r)an-x,n=0,1,2,3,将将 =1+r,b=-x 代入得到方程的特解代入得到方程的特解:rrxraannn1)1()1(0 若在第若在第N个月还清贷款，令个月还清贷款，令 aN=0,得得:1)1()1(0NNrrrax 将将 a0=60000,r=0.01,N
10、=25*12=300 代入计算出代入计算出 x=631.93.若小王采取分期付款方式，每月要付若小王采取分期付款方式，每月要付300元元.如果采用贷款如果采用贷款方式，类似于上一模型，将方式，类似于上一模型，将 a0=8000,r=0.15/12,N=36 代入计算代入计算出出 x=277.32.比较两种支付方式，他应该选择消费贷款方式。比较两种支付方式，他应该选择消费贷款方式。13世纪意大利著名数学家世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作算盘书在他的著作算盘书中记载着这样一个有趣的问题：中记载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一一对刚出生的幼兔经
11、过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔个月后可以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数，问一年之若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？后共有多少对兔子？月份月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 总数总数 1 1 2 3 5 8 13 21 将兔群总数记为将兔群总数记为 fn,n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列，经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系：满足下列递推关系：f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,这个数列称为这个数列称为Fibonacci数列数列.F
12、ibonacci数列是一个十分有趣数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.Fibonacci数列的一些实例数列的一些实例.1.蜜蜂的家谱蜜蜂的家谱 2.钢琴音阶的排列钢琴音阶的排列 3.树的分枝树的分枝 4.杨辉三角形杨辉三角形(*计算计算Fibonacci数列的前数列的前20项，并作图项，并作图*)F0=F1=1;Fn_:=Fn-1+Fn-2;fib=TableFi,i,0,20 tu1=ListPlotfib,PlotStyle-PointSize0.018;(*取对数后再观察，可以发现图像近似一条直线取对数后再观察，
13、可以发现图像近似一条直线.*)lgf=Logfib;tu2=ListPlotlgf,PlotStyle-PointSize0.018;(*使用线性函数对数据进行拟合使用线性函数对数据进行拟合*)fx_=Fitlgf,1,x,x tu3=Plotfx,x,0,21,PlotStyle-RGBColor0,0,1;Showtu3,tu2 通过计算可知，通过计算可知，fn 0.465577 e 0.478438n.Fibonacci 数列满足递推关系数列满足递推关系 fn+2=fn+1+fn，称为二阶线性差，称为二阶线性差分方程分方程.通过前面的计算，可以猜测通过前面的计算，可以猜测 fn 具有指数
14、形式具有指数形式.不妨设不妨设 fn=n,代入差分方程，得代入差分方程，得 2-1=0.其解记为其解记为 1,2.得到差分方程的通解为得到差分方程的通解为:fn=C1 1n+C2 2n.r=Solvex2-x-1=0,x;a=x/.r1;b=x/.r2;F1n_:=c1 an+c2 bn;cc=SolveF10=1,F11=1,c1,c2/Simplify F1n/1/Simplify 对给定数列对给定数列a0,a1,an,，以，以an为系数构造一个形式幂级为系数构造一个形式幂级数：数：G(x)=a0+a1x+a2x2+an xn+称为数列称为数列an的的(也称为也称为).有限数列有限数列 的
15、生成函数是的生成函数是 G(x)=(1+x)n.nnnnnCCCC,210 .无穷数列无穷数列 的生成函数是的生成函数是 G(x)=ex.,!1,!21,!11,1n .以以G(x)=为生成函数的数列是为生成函数的数列是an=2n-1.)21)(1(xxx 设设Fibonacci 数列的生成函数是数列的生成函数是:F(x)=f0+f1x+f2x2+fn xn+,其中其中 fn+2=fn+1+fn.由由 ，得得 .nnnnnnxfxxxfxf2112202011022nnnnnnnnnxfxxfxxf 从而得从而得 .再由再由 f0=f1=1,得得:)()()(2010 xFxfxFxxffxF
16、.11)(),()1)(1)(22xxxFxFxxFxxxF 在受环境制约的情况下，生物种群的增长变化行为比较复在受环境制约的情况下，生物种群的增长变化行为比较复杂杂.例如在池塘内，环境可供例如在池塘内，环境可供1000条鱼生存条鱼生存.在鱼的数量远远在鱼的数量远远低于此数时，鱼群的增长接近于指数增长低于此数时，鱼群的增长接近于指数增长.但当鱼的数量接近但当鱼的数量接近生存限时，由于生态环境逐渐恶化，鱼群的增长逐渐变慢，生存限时，由于生态环境逐渐恶化，鱼群的增长逐渐变慢，几乎停止增长几乎停止增长.如果鱼群数量超过了生存限，由于环境不堪重如果鱼群数量超过了生存限，由于环境不堪重负，鱼群会出现负增
17、长负，鱼群会出现负增长.这种现象可以用这种现象可以用logistic方程进行刻画方程进行刻画.pn+1-pn=k pn(N-pn)池塘中鱼的数量满足差分方程池塘中鱼的数量满足差分方程 pn+1-pn=0.001 pn(1000-pn)选择不同的初值，观察鱼群数量的变化趋势选择不同的初值，观察鱼群数量的变化趋势.px_:=2x-0.001x2;picta_:=Moduledata1,data1=NestListp,a,30;ListPlotdata1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.018 pict0;pict1;pict500;pict1000;pict1
18、500;学校有两名同学在星期一返校时患了流感，假设流感的学校有两名同学在星期一返校时患了流感，假设流感的传染率为传染率为0.002，问两周之后全校，问两周之后全校400名学生中会有多少人感染名学生中会有多少人感染过流感？过流感？记记 an 为到第为到第n 天时感染过流感的学生人数天时感染过流感的学生人数.假定流感患者的假定流感患者的增加速度与流感患者同尚未感染流感的接触次数增加速度与流感患者同尚未感染流感的接触次数an(400-an)成正成正比比.因此，因此，an满足满足logistic方程方程 an+1-an=0.002 an(400-an)p1x_:=x+0.002x(400-x);pic
19、t1a_:=Moduledata1,data1=NestListp1,a,14;ListPlotdata1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.018 pict12;logistic方程是非线性方程，其标准形式为方程是非线性方程，其标准形式为:an+1=r an(1-an),下面通过实验观察迭代数列的收敛性下面通过实验观察迭代数列的收敛性.logisticr_,a_,n_:=Modulep,data,tu1,tu2,px_:=r x(1-x);data=NestListp,a,n;tu1=ListPlotdata,PlotStyle-PointSize0.01
20、8,DisplayFunction-Identity;tu2=ListPlotdata,PlotJoined-True,PlotStyle-RGBColor0,0,1,DisplayFunction-Identity;Showtu1,tu2,DisplayFunction-$DisplayFunction;(*初值初值 r=0.7,a0=0.2*)logistic0.7,0.2,30;容易看出，迭代数列单调收敛于容易看出，迭代数列单调收敛于0.(*初值初值 r=2.9,a0=0.2*)logistic2.9,0.2,30;迭代数列上下振荡，趋向于不动点迭代数列上下振荡，趋向于不动点(r-1)/
21、r.(*初值初值 r=3.4,a0=0.2*)logistic3.4,0.2,30;经过一段时间的调整，迭代数列开始接近在经过一段时间的调整，迭代数列开始接近在0.42和和0.82之间振之间振荡荡.这类振荡称为这类振荡称为.(*初值初值 r=3.55,a0=0.2*)logistic3.55,0.2,30;出现了周期为出现了周期为4的振荡，称为的振荡，称为.通过以上的观察可以发现，当参数通过以上的观察可以发现，当参数 r 变化时，相应的迭代数变化时，相应的迭代数列从收敛到唯一的不动点列从收敛到唯一的不动点(1-循环循环)到到2-循环再到循环再到4-循环，这样的循环，这样的分裂行为称为分裂行为称
22、为.(*初值初值 r=3.7,a0=0.2*)logistic3.7,0.2,30;此时没有稳定的周期性此时没有稳定的周期性.迭代数列在区间迭代数列在区间(0,1)内振荡，而且内振荡，而且表现出对初始条件非常敏感的依赖性，这种状态称为表现出对初始条件非常敏感的依赖性，这种状态称为.设设 f(x)是定义在实数域上的实值函数，如果存在是定义在实数域上的实值函数，如果存在 x*，使得，使得 f(x*)=x*，则称，则称 x*为为 f(x).如果所有附近的点在迭代过程如果所有附近的点在迭代过程中都趋于某个不动点，则称该不动点为中都趋于某个不动点，则称该不动点为，或称为，或称为；如果所有附近的点在迭代过
23、程中都远离它而去，则称该项点为如果所有附近的点在迭代过程中都远离它而去，则称该项点为(不稳定点不稳定点).如果如果 f(a1)=a2,f(a2)=a3,f(ak)=a1,并且并且 aj a1,j=2,3,k,则则a1,a2,ak 构成一个构成一个.a1称为称为，a1,a2,ak 称为一个称为一个.为了观察为了观察 r 对迭代格式对迭代格式 an+1=r an(1-an)的影响，将区间的影响，将区间(0,4以步长以步长 r 离散化离散化.对每个离散的对每个离散的 r 值进行迭代，忽略前值进行迭代，忽略前50个迭个迭代值，把点代值，把点(r,a51),(r,a52),(r,a100)显示在坐标平面
24、上显示在坐标平面上.这样形这样形成的图形称为成的图形称为,它反映了混沌与分叉的基本特性它反映了混沌与分叉的基本特性.Feign_,x0_:=Moduleplist=,a,i,temp,pilist=,Fora=1,a=n,a+,temp=x0;plist=;Fori=1,i=50,i+,temp=4*a*temp(1-temp)/n;Fori=51,i RGBColor1,0,0,PointSize0.008,DisplayFunction-Identity;Showpilist,DisplayFunction-$DisplayFunction;Feig500,0.2;对迭代格式对迭代格式 a
25、n+1=4 an(1-an),n=1,2,使用初值使用初值0.21进行迭代，记录前进行迭代，记录前100次的迭代数据次的迭代数据.把把0,1区间区间十等分，统计迭代数列中落在各个小区间内的项数，做出统计十等分，统计迭代数列中落在各个小区间内的项数，做出统计表表.迭代数列在迭代数列在0,1区间内分布均匀吗？任取区间区间内分布均匀吗？任取区间(0,1)内的一些内的一些初值重复这一实验，总结实验结果初值重复这一实验，总结实验结果.对迭代格式对迭代格式 an+1=3.45 an(1-an),n=1,2,重复上述实验，实验结果有区别吗？你能解释这个现象吗？重复上述实验，实验结果有区别吗？你能解释这个现象
26、吗？statisticr_,a_,n_:=Modulep,data,i,j,count,x,head,body,px_:=r x(1-x);data=NestListp,a,n;head=;body=;Forj=0,j10,j+,countj=0;AppendTohead,Nj/10;Fori=2,i=Lengthdata,i+,x=Floor10datai;countx+;Forj=0,jcol1,col2;ll=Linea,0,a,pa;Dob=pa;c=pb;ll=Appendll,Linea,b,b,b,Lineb,b,b,c,Lineb,c,c,c,Linec,c,c,pc;a=c,k,1,n;g1=Showg0,Graphicsll iterpict0.7,0.2,5;iterpict2.9,0.2,5;iterpict3.4,0.2,5;iterpict3.55,0.2,5;iterpict3.7,0.2,5
