1、 数学学科知识与能力（中学）精讲班 教师资格（统考）数学学科知识与能力（中学）精讲班教师资格（统考）第一部分 数学学科知识I 大学数学专业基础课程第一部分 数学学科知识I 大学数学专业基础课程第一章 数学分析第一章 数学分析一 两个重要极限第一个问题 求极限0sinlim11lim 1xxxxxex 100ln 1lim 1,lim1xxxxxex 变形：一 两个重要极限第一个问题 求极限 1123221+2lim2xxxxA eB eC eD e 例题1：名师解析；112111221+211limlim 1122211(lim 1)lim 122xxxxxxxxxxxexx 名师答案：A第一
2、个问题 求极限名师解析；名师答案：A 第一个问题 求极限 222+lim101xxxxABC eD e 例题2：名师解析；2212+1+1limlim1111lim 1111xxxxxxxxxxexx 【16年下真题】名师答案：C第一个问题 求极限名师解析；【1 6 年下真题】名师答案：C 第一个问题 求极限 11lim1011nnnABCeDe 例 题 3：名师解析；【16年上真题】名师答案：B11()()2()21011lim 1lim 11lim 11nnnnnnnnnnen 第一个问题 求极限名师解析；【1 6 年上真题】名师答案：B 第一个问题 求极限 102lim 1201xxxA
3、BCeD e 例题4：名师解析；名师答案：D 1122200lim 12lim 12xxxxxxe 第一个问题 求极限名师解析；名师答案：D 第一个问题 求极限二 最高次幂法第一个问题 求极限10110100.lim.0,mmmnnxma xa xab xb xbmnamnbmn 时时时二 最高次幂法第一个问题 求极限 第一个问题 求极限 21+2+.+1lim10122nnnABCD 例 题 5：名师答案：D名师解析；22221111+2+.+12limlim1lim22nnnnnnnnnnn 第一个问题 求极限名师答案：D 名师解析；三 等价无穷小的替换常用的等价无用小的替换：前提：必须是
4、当x0时的因式才能使用第一个问题 求极限 2 sin tan arcsin arctan1 ln 11cos21 ln11 xxaxxxxxexxxaxaxax 三 等价无穷小的替换第一个问题 求极限例题6第一个问题 求极限 22001 limsin2 limcotxxxxxx名师解析:2222000001 limlim1sincos2limcotlimlim cos1sinxxxxxxxxxxxxxxx 例题6 第一个问题 求极限名师解析:四 洛必达法则条件；未定式法则；第一个问题 求极限;00 ,limlimlimxgxfxgxfxgxf 四 洛必达法则第一个问题 求极限名师解析：202l
5、imxxxeexx20002lim2lim2lim02xxxxxxxxxeexxeexee 例7 求第一个问题 求极限名师解析：例7 求第一个问题 求极限名师解析：20ln11limxxxx202000ln11limln1lim1111limlim2212xxxxxxxxxxxxxx x 例8 求第一个问题 求极限名师解析：例8 求第一个问题 求极限名师解析：当 时与 是等价无穷小的是0 xx00200()sin;();();()lnxxAxxB eCxxDxx0 xx名师答案：A【17年上真题】0000000200sinlim1;limlim0 xxxxxxxxxxexxxxxxxx 例9第
6、一个问题 求极限名师解析：当 时与 名师解析：320limsinxxx()0;()1;();()2ABCD名师答案：A332200limlim0sinxxxxxx 例10第一个问题 求极限名师解析：名师答案：A 例1 0 第一个问题 求极限名师解析：13111lim1xxxex()2;()0;();()ABCD不存在但不是名师答案：C13111111lim1lim1xxxxxexxe 例11第一个问题 求极限名师解析：名师答案：C 例1 1 第一个问题 求极限名师解析：201sin 21limxxxx2000001sin 21lim2cos 212 1sin 2lim2cos 21sin 2l
7、im21sin 2cos 22sin 211sin 2limcos 221sin 21sin 212sin 21sin 2cos 21lim21sin 2cos 22xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 例12 求第一个问题 求极限名师解析：例1 2 求第一个问题 求极限名师解析：设函数3ln 1sin;fxxaxbxx gxkx如果f（x）和g（x）在 时是等价无穷小，求a,b,k0 x 30202030ln 1sinlim1(sincos)1lim10131(2cossin)1(1)lim206221(3sincos)1(1)2lim163xxxxxaxbxxkxabx
8、xxxaakxbxxxxabbkxxxxxkk 例13第一个问题 求极限名师解析：设函数如果f（x）和g（x）在 名师解析：1lim1xxx e()1;()0;()1;()ABCD 名师答案：C100lim111limlim1xxttttx eetxte设【13年下真题】例14第一个问题 求极限名师解析：名师答案：C【1 3 年下真题】例1 4 第一个问题 五 左（右）极限左极限：右极限：极限存在的条件：左极限=右极限第一个问题 求极限 -0-0 xxlimf x=A或f x=A +0+0 xxlimf x=A或f x=A五 左（右）极限第一个问题 求极限 x0 x-1,x0判断极限limf
9、x 是否存在？若存在则求出极限值。名师答案：不存在名师解析：11lim11limlim000 xxxfxxx第一个问题 求极限名师答案：不存在名师解析：第一个问题 求极限一、函数连续的定义1、函数在某点处连续的充要条件在该点有定义，既在该点有函数值左极限=右极限=该点函数值第二个问题 函数的连续性一、函数连续的定义第二个问题 函数的连续性2、判断函数在某点连续的步骤判断函数在该点是否有意义，并求出函数值求函数在该点的极限，包括左极限和右极限判断左右极限值与函数值是否相等第二个问题 函数的连续性2、判断函数在某点连续的步骤第二个问题 函数的连续性 第二个问题 函数的连续性 1xe,x0处的连续性
10、。名师解析；-+1xx0 x01lime=limxsin=f 0=0，故在xx=0 处连续。第二个问题 函数的连续性1yx名师解析：名师答案：D函数 0000000lim11limlim10lim1111lim111lim11lim1xxxxxxxxfxfxfxxxxxxx A 无定义 B 不连续C 可导 D 连续但不可导在x=0处 例2第二个问题 函数的连续性名师解析：名师答案：D 函数A 无定义 23,11,13,12xxfxa xxx 名师解析：1211lim 33lim()33lim 333xxxxf xfxa在x=1处连续，则a=例3 设函数第二个问题 函数的连续性名师解析：在x=1
11、 处连续，则a=例3 设函数第二个问题 二、间断点第一类间断点：左右极限都存在。包括：可去间断点（左右极限相等）跳跃间断点（左右极限不等）例如：第二个问题 函数的连续性 x=0sinx是f x=的可去间断点；xx是f x=的跳跃间断点x二、间断点第二个问题 函数的连续性第二类间断点：左右极限至少一个不存在。包括：无穷间断点（该点处函数极限为无穷大）震荡间断点（在趋于该点时函数值来回震荡）例如：第二个问题 函数的连续性 x=01是f x=的无穷间断点；x1是f x=sin的震荡间断点x第二类间断点：左右极限至少一个不存在。第二个问题 函数的 x例4：x=0是函数y=的xA 可去间断点B 跳跃间断
12、点C 无穷间断点D 震荡间断点 名师答案：B第二个问题 函数的连续性第二个问题 函数的连续性 第二个问题 函数的连续性 22x-2x例5：讨论函数f x=的间断点及其类型，x+x-6并求渐近线。名师；x=2为第一类间断点中的可去间断点x=-3为第二类间断点中的无穷间断点。x=-3是垂直渐近线，y=1是水平答案渐进线。第二个问题 函数的连续性 2221lim,10111nnxxn xnn 设其简单点是例6：f=ABCD第二个问题 函数的连续性名师答案：A第二个问题 函数的连续性名师答案：A一、导数的概念以及求导 第三个问题 求导数和微分 0000000000lim,xxxxxxxfxxfxfxx
13、dfxdyfxydxdxfxfxxfx ，导数的定义：表示方法：几何意义：为函数在点处切线的斜率。一、导数的概念以及求导 第三个问题 求导数和微分左右导数定义第三个问题 求导数和微分 +000000+00limlimxxfxxfxfxxfxxfxfxx 左导数：右导数：左右导数定义第三个问题 求导数和微分 第三个问题 求导数和微分 000033,lim36912hfxhfxhfxhABCD 例1：若则名师解析；00000000000000003lim3lim3lim3lim3312hhhhf xhf xhhf xhf xhf xf xhf xhf xf xhf xhhfxfx 名师答案：D 第
14、三个问题 求导数和微分名师解析；名师答案：D名师解析：00001lim;24hhfxfxhfx求,4A B，-2 C,2 D,4名师答案：B0000000000001lim24121lim22421lim222lim22hhhhhfxhfxhfxhfxhfxhfxfxhfxh 例2 已知第三个问题 求导数和微分名师解析：名师答案：B 例2 已知第三个问题 求导数和微名师解析：02001limhfhffh 求1,22A B，1 C,D,0名师答案：A 00202 lim2022hfhffh 例3 已知第三个问题 求导数和微分名师解析：名师答案：A 例3 已知第三个问题 求导数和微 2200lim
15、2,01,0200,0201,0200,02xfxfxxxffffffff 在处连续，且则例4：设ABCD第三个问题 求导数和微分名师答案：D第三个问题 求导数和微分名师答案：D 2-22,111,1xxxfxfxxx 例5：设则在处A 不连续B 连续，但不可导C 连续,且有一阶导数D 有任意阶导数第三个问题 求导数和微分名师答案：C第三个问题 求导数和微分名师答案：C 第三个问题 求导数和微分 322221,333 13 1fxxfxAxBxCxDx 例6：如果则名师答案：D 第三个问题 求导数和微分名师答案：D 第三个问题 求导数和微分 231x233xxfxxABCD 函数的图像与 轴交
16、点的个数0；1；2；例7：【12年下真题】名师答案：B 第三个问题 求导数和微分【1 2 年下真题】名师答案：B 第三个问题 求导数和微分 ,fxL LxABCD 若是上的可导奇函数，则f偶函数；奇函数非奇非偶函数；可能是奇函数，可能是偶函数例8：【12年下真题】名师答案：A 第三个问题 求导数和微分【1 2 年下真题】名师答案：A二 微分定义 第三个问题 求导数和微分 0;,d xyfxdy dyfxdx 自变量x的增量称为自变量的微分，记做函数的微分记做可微和。在一可导是元函数中，等价的。二 微分第三个问题 求导数和微分 sinsincoscossinsincosd xxA xxB xxd
17、xCxxx dxDxxx dx 例9：第三个问题 求导数和微分名师答案：C第三个问题 求导数和微分名师答案：C 23-510 xxyydyyy xdx 例10：求由方程所确定的隐函数的导数。65dyxydxx 名师；答案 第三个问题 求导数和微分第三个问题 求导数和微分sinxyx 例11 求函数的导数sin11coslnsinsincoslnxdyxxxy dxxdyxxxxdxxlny=sinxlnx名师解析：第三个问题 求导数和微分名师解析：第三个问题 求导数和微分一、切线与法线方程第四个问题 导数的应用 001yfxfxxxyfxxxfx 切线方程为:法线根据导数的几方程:何意义，为一
18、、切线与法线方程第四个问题 导数的应用 32-1,1,2fxxx例1：求函数在点处的切线和法线方程。530;5110 xyxy名师答案;第四个问题 导数的应用第四个问题 导数的应用 222z9,1,2 2xy设设球球平平面面方方程程求求它它在在，平平面面方方程程例2：点处的切。022221zyx【12年下真题】第四个问题 导数的应用名师解析：【1 2 年下真题】第四个问题 导数的应用名师解析：31,1,321;4142;3fxxxA yxB yxC yxD yx例3：求函数在点处的切线方程。名师答案;B【12年下真题】第四个问题 导数的应用【1 2 年下真题】第四个问题 导数的应用二、单调性判
19、别第四个问题 导数的应用 0000yfxyfxyyyy 设函数可导，导函数为,则有：1 当时，函数单调递增：时为严格单调递增。2 当时，函数单调递减：时为严格单调递减。二、单调性判别第四个问题 导数的应用 第四个问题 导数的应用 3,00a bxaxb 例4：设,则方程的正根个数A 0B 1C 2D 3名名师师答案;A 第四个问题 导数的应用 第四个问题 导数的应用 ,00,0,0,fxa ba bxa bfxf afxa bf bfxa bf bfxa bf bfxa bf b 例5：若函数在上连续，在内可导，且时，,又,则A在上单调递增，且B在上单调递减，且C在上单调递减，但的正负无法判断
20、D在上单调递增，但的正负无法判断名名师师答案;D【14年下真题】第四个问题 导数的应用【1 4 年下真题】三、函数的极值与最值第四个问题 导数的应用 00000000000,00,00,yfxxxfxxxfxxxfxfxfxxxfxxxfxfxfxxfxfxfx 函数在点可导，且1 当时，;而当时，则为的极大值2 当时，;而当时，则为的极小值；3 在点的两侧不编号，则不是的极值三、函数的极值与最值第四个问题 导数的应用名师解析：证明；设高位h，底面半径为 r，表面积S22222222222224202VVr hhrSrrhVrrrVrrVSrhrr 例6 用铁皮做一个容积为V的圆柱形的有盖桶，
21、证明当圆柱的高等于底面直径的时候使用的铁皮面积最小 第四个问题 导数的应用名师解析：证明；设高位h，底面半径为 r，表面积S 例6 用铁lnxyx例7 求函数 名师解析：21)01ln12)0ln3)0 xxxyxexexyy 且的单调增加区间第四个问题 导数的应用例7 求函数 3239yxxx例8 求函数 名师解析：2121)R2)3690310313)y6 x6f112015yxxxxxxf 的极大值第四个问题 导数的应用例8 求函数 四 曲线的凹凸性及拐点第四个问题 导数的应用 ,0,0,yfxa ba bfxyfxa ba bfxyfxa b 设函数在内存在二阶导数，则1 如果在内,则
22、曲线在上是凹的；2 如果在内,则曲线在上是凸的。四 曲线的凹凸性及拐点第四个问题 导数的应用24624yxxx名师解析：的凸区间 321)2064844812023),2;2,2,2,4)360004803600Ryxxyxxfff 例9 求 第四个问题 导数的应用名师解析：的凸区间例9 求 335yxx名师解析：21)R2)333)y6 x0 x04),0;0,1601600,5yxff 的拐点 例10 求函数 第四个问题 导数的应用名师解析：的拐点例1 0 求函数 六、微分中值定理（忽略）1、罗尔定理第四个问题 导数的应用 ,0yfxa ba bf af ba bf 如果函数满足下列条件：
23、1 在闭区间上连续2 在开区间上可导3则在开区间内至少存在一点，使六、微分中值定理（忽略）第四个问题 导数的应用2、拉格朗日中值定理第四个问题 导数的应用 ,yfxa ba ba bf bf afba （）1 如果函数满足下列条件：1 在闭区间上连续；2 在开区间上可导则在开区间内至少存在一点，使2、拉格朗日中值定理第四个问题 导数的应用 （）（）2 如果函数y=f x 在区间 a,b 内可导，且导数恒等于0，则函数y=f x 在区间a,b 内是常数。3 如果函数f x 与g x 在区间 a,b 内可导，且导数相等，则f x 与g x 只相差一个常数。第四个问题 导数的应用第四个问题 导数的应
24、用3、柯西定理第四个问题 导数的应用 -ff bf agg bg a 如果函数f x 与g x 满足下列条件：1 在闭区间 a,b 上连续2 在开区间 a,b 上可导3 在开区间 a,b 内g x 0则在开区间 a,b 内至少存在一点，使3、柯西定理第四个问题 导数的应用第四个问题 导数的应用 ,0000fxa ba ba bffff 例11：若在上连续，在内可导，则在内A 至少存在一点，使B 至多存在一点，使C 一定不存在一点，使D 不一定存在一点，使名名师师答案;D第四个问题 导数的应用一、常数项级数的概念与基本性质（一）基本概念第五个问题 有关级数的问题 1211211.1,2.nnnn
25、nnnknnnkuuuuSuuuunSu 无穷级数：若无穷级数前n项和数列收敛，则称级数收敛。否则发散。一、常数项级数的概念与基本性质第五个问题 有关级数的问题（二）基本性质2.级数去掉、加上、改变有限项收敛性不变。3.收敛级数任意加括号仍收敛，且和不变。第五个问题 有关级数的问题 111,nnnnnnnuvkulv 1.设有两个收敛级数则 也收敛.1lim0.nnnnuu 4.若收敛，则（二）基本性质第五个问题 有关级数的问题（三）几个重要的级数第五个问题 有关级数的问题011nnaqqq 1.等比级数:当时收敛;当时发散.1111pnn 2.p-级数:当p时收 敛;当p时发散.（三）几个重
26、要的级数第五个问题 有关级数的问题 11111lim0limlim0;lim.nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa 例1:设为正项级数,则下列结论中正确的是()A 若,则都收敛;B 若存在非零常数,使得,则发散;C 若收敛,则 D 若发散，则存在非零常数,使得名师答案：B第五个问题 有关级数的问题名师答案：B 第五个问题 有关级数的问题 211111111!nnnnnnnnn 例2 下列中不的是 级数收敛A.B.C.D.名名师师答案;C【16年上真题】第五个问题 有关级数的问题【1 6 年上真题】第五个问题 有关级数的问题 2112111111nnnnnnnnnn 例3 下列
27、中发散的是 级数A.B.C.D.名名师师答案;C【17年上真题】第五个问题 有关级数的问题【1 7 年上真题】第五个问题 有关级数的问题1、比较判别法 大收敛 小收敛 小发散 大发散 二 正项级数第五个问题 有关级数的问题1、比较判别法二 正项级数第五个问题 有关级数的问题 2、比值判别法第五个问题 有关级数的问题2 、比值判别法第五个问题 有关级数的问题三、交错级数形如 的级数称为交错级数.第五个问题 有关级数的问题1-1110,lim0(-1).nnnnnnnnnuuuuru Leibniz判别法,则交错级数收敛,且余项若:且:且三、交错级数第五个问题 有关级数的问题 四、绝对收敛与条件收
28、敛第五个问题 有关级数的问题四、绝对收敛与条件收敛第五个问题 有关级数的问题五、幂级数第五个问题 有关级数的问题00()()()nnnnnuxuxaxx 中，当时为幂级数五、幂级数第五个问题 有关级数的问题求幂级数收敛域的方法:先求收敛半径：注意：看清题目到底是让求收敛域 还是收敛区间。再讨论端点的收敛性.对标准型幂级数第五个问题 有关级数的问题求幂级数收敛域的方法:先求收敛半径：注意：看清题目到底是 1nnx 例4 函数级数 的收敛区间为A.-1,1B.-1,1C.-1,1D.-1，-1名名师师答案;A【15年下真题】第五个问题 有关级数的问题【1 5 年下真题】第五个问题 有关级数的问题1
29、12215 133531135nnnnnnnnnna xb xaxb 例5和半径则级数的收敛半径是 级数 的收敛,A.5B.C.D.名名师师答案;A第五个问题 有关级数的问题第五个问题 有关级数的问题11211211(nnnnnnnnnnnnnnaba babab例6设收敛，级数发散必发散必收敛必收敛+)必发散 级数A.B.C.D.名名师师答案;D第五个问题 有关级数的问题第五个问题 有关级数的问题例7 求幂级数2112nnnx的收敛域名师解析：第五个问题 有关级数的问题例7 一、概念1、原函数：2、不定积分：第六个问题 关于积分问题 FxfxdF xfx dxF xfx对于或,称函数为在该区
30、间内的原函数。fxF xCfxfx dxfx dxF xC 函数的全部原函数称为的不定积分，记为，即一、概念第六个问题 关于积分问题二、不定积分的性质 微分运算与积分运算互为逆运算（先积后微，形式不变，先微后积，差个常数）第六个问题 关于积分问题 kf x dxkf x dx 1212fxfxdxfx dxfx dx 二、不定积分的性质第六个问题 关于积分问题三、基本积分公式第六个问题 关于积分问题 110120ln13ln4sincoscossinxxxxkdxkxCdxCxx dxCdxxCxaa dxCe dxeCaxdxxCxdxxC 三、基本积分公式第六个问题 关于积分问题三、基本积
31、分公式第六个问题 关于积分问题 22225sectancoscot6sectanseccsccotcsc7arcsin1arctan1xdxxCxdxxCxxdxxCxxdxxCdxxCxdxxCx 三、基本积分公式第六个问题 关于积分问题四、不定积分的求法1、第一类换元法 第六个问题 关于积分问题四、不定积分的求法第六个问题 关于积分问题名师解析：2cos xdx 例1 第六个问题 关于积分问题名师解析：例1 1xxedxe11111ln 1xxxxxedxdeeedueCu名师解析：例2 第六个问题 关于积分问题名师解析：例2 21dxxx例3 名师解析：2111111lnln 1dxxx
32、dxxxdxdxxxxxc第六个问题 关于积分问题例3 名师解析：xedxx22()2xxxxedxed xxedxec 例4 第六个问题 关于积分问题名师解析：例4 2 第二换元积分法 解决对象；被积函数含有根号 解决思路；去掉根号 解决方法；简单根式代换第六个问题 关于积分问题 第二换元积分法第六个问题 关于积分问题例5 名师解析：dxx3131cxxxctttdttdttdtttdtttdxxtxxt33322223331ln-211ln-21111-1111331131第六个问题 关于积分问题例5 3、分部积分法 第六个问题 关于积分问题3、分部积分法第六个问题 关于积分问题第六个问题
33、 关于积分问题第六个问题 关于积分问题 fxsinx是例6 名师解析：已知的一个原函数，求 xfx dx (sin)cossinxfx dxxdfxxfxfx dxxfxxxxc 第六个问题 关于积分问题例6 例7 名师解析：xdxarcsincxxxxdxxxdxxxxxxxdxxxdx22221arcsin11121arcsin1arcsinarcsinarcsinarcsin第六个问题 关于积分问题例7 例8 dxxx2212名师解析：cxxdxdxxdxxx1arctan1111111221222第六个问题 关于积分问题例8 lnxxdx 例例9 求名师解析：2222222ln1ln2
34、1lnln211ln211ln22xxdxxdxxxx dxxxxdxxxxxc 第六个问题 关于积分问题名师解析：第六个问题 关于积分问题2xsin xdx 例例10 求名师解析：222222xsin1cos 2x211xcos 2221112xcos 222241112tcost2241111tcostsin 2cos 2224448xdxxdxxxdxxxdxtxxdtxxxdtxxc 设设第六个问题 关于积分问题名师解析：第六个问题 关于积分问题五、定积分概念第六个问题 关于积分问题 ,baf xa bf x dyfxabbxxaxx ：，在的定积分为为积分下限，为积分上几何意义轴所限
35、围成的面积。五、定积分概念第六个问题 关于积分问题 ,0000baf xa ba bf xf xf xf x 例11：设=0且在上连续，则上AB 必存在x使C 存在唯一的一点x使D 不一定存在点x使名师答案;D第六个问题 关于积分问题第六个问题 关于积分问题定积分的性质第六个问题 关于积分问题 123bbbaaabbbaaabcbaackfx dxkfx dxcdxc bafxg xdxfx dxg x dxfx dxfx dxfx dx -04052aaaaafxfx dxfxfx dxfx dx 若是奇函数，则若是偶函数，则定积分的性质第六个问题 关于积分问题 00220020sincos
36、appaaaaaafxAfx dxfx dxBfx dxfx dxCfx dxDfx dxfx dx 例12：设为连续函数，下列等式中，总是成立的是名师答案;D第六个问题 关于积分问题第六个问题 关于积分问题牛顿-莱布尼茨公式 第六个问题 关于积分问题 ,bbx aaF xfxa bfx dxF xF bF a 设函数是连续函数在区间上的一个原函数，则牛顿-莱布尼茨公式第六个问题 关于积分问题 120114212x dxABCD 例13：计算定积分：名师答案;B【14上年真题】第六个问题 关于积分问题【1 4 上年真题】第六个问题 关于积分问题 32216625425225694xx dxAB
37、CD 例14：计算定积分：名师答案;A【13下年真题】第六个问题 关于积分问题【1 3 下年真题】第六个问题 关于积分问题 111111;1,1111112,xxyyxyxyxxdt xtfxdtdtdtdtdtttttt 设证明在定义域内单调增加且例15：f【14上年真题】名师解析：1111012lnlnln1lnln1lnlnlnxyxyxxyyfxxdtxyxytdtyyttt 同理可得第二个式子第六个问题 关于积分问题【1 4 上年真题】名师解析：第六个问题 关于积分问题定积分的应用第六个问题 关于积分问题 22babaVy dxVx dy 1 绕x轴旋转:2 绕y轴旋转:定积分的应用
38、第六个问题 关于积分问题 212121124yxSSy 将平面曲线分别绕 轴和 轴旋转一周，所得旋转面分别是S 和在空间直角坐标系中写出S 和的方程求平面与S 所围成的立体的体积例16：y=x【17年真题】名师解析：222222224420022()812yzxxzxzydyy 1 绕x轴旋转:绕y轴旋转:y=第六个问题 关于积分问题【1 7 年真题】名师解析：第六个问题 关于积分问题所围成的图形绕x轴旋转一周所得体积22,2yxyx 例17 求由曲线 第六个问题 关于积分问题所围成的图形绕x 轴旋转一周所得体积例1 7 求由曲线第六个问题名师解析：第六个问题 关于积分问题名师解析：第六个问题 关于积分问题教师资格(统考)-第一部分学科知识-第一章数学分析
