1、ch03消费选择与需求-(2)Choice&Demand 最优选择最优选择 偏好与需求函数偏好与需求函数 一个税收的例子一个税收的例子:从量税从量税vs.所得税所得税 比较静态分析比较静态分析 间接效用函数间接效用函数 支出函数支出函数2022-10-4最优选择最优选择由预算线和无差异曲线共同决定由预算线和无差异曲线共同决定 三个变量：价格、收入和偏好三个变量：价格、收入和偏好 最优的消费品组合是预算线和无差异曲最优的消费品组合是预算线和无差异曲线相切的那一个组合，或线相切的那一个组合，或21-PPMRS 2022-10-4最优选择最优选择AGDu1u3u2FX XY Y最优选择最优选择B20
2、22-10-4最优选择最优选择存在最优解条件：存在最优解条件：形状良好的偏好（形状良好的偏好（well-behaved preference）或凸形的无差异曲线）或凸形的无差异曲线 有内部（有内部（interior）最优解）最优解2022-10-4例外情况例外情况无差异曲线无差异曲线预算线预算线折拗的嗜好：折拗的嗜好：无差异曲线无差异曲线在最优消费在最优消费上没有切线上没有切线2022-10-4例外情况例外情况无差异曲线无差异曲线最优选择最优选择非最优选择非最优选择预算线预算线相切是必要相切是必要条件而不是条件而不是充分条件充分条件（三个切点，（三个切点，两个最优点两个最优点)ACB2022-
3、10-4例外情况例外情况Y0XX*EU1U2U3MRSPMRSPX X/P/PY Y增加增加X X消费，直到消费，直到把预算用完把预算用完2022-10-4说明说明 倘若倘若MRSPMRSPX X/P/PY Y，则，则消费者增加消费者增加X X消费消费，减少，减少Y Y消费消费，若，若MRSPMRSPX X/P/PY Y永远永远存在，则消费者一直增加存在，则消费者一直增加X X消消费，直到预算用完为止，如费，直到预算用完为止，如E E点点所所示示 结果，消费者最适选择将只消费结果，消费者最适选择将只消费X X，Y Y的消费量为零，称为角点解。的消费量为零，称为角点解。2022-10-4偏好与需
4、求函数偏好与需求函数 最优组合就是消费者实际消费的组合，最优组合就是消费者实际消费的组合，即需求。即需求。给定消费者偏好，消费者的需求由消费给定消费者偏好，消费者的需求由消费品的价格和消费者的收入决定。品的价格和消费者的收入决定。将价格、收入与选择联系起来的关系式将价格、收入与选择联系起来的关系式就是需求函数。就是需求函数。l给定价格和收入，消费者为实现效用最大化给定价格和收入，消费者为实现效用最大化而对某商品作出需求量选择，这是马歇尔而对某商品作出需求量选择，这是马歇尔需求函数。需求函数。2022-10-4偏好与需求函数偏好与需求函数效用函数与需求函数：效用函数与需求函数：完全替代完全替代
5、完全互补完全互补 中性商品和憎恶品中性商品和憎恶品 不可细分商品不可细分商品 中凸（中凸（concave）偏好）偏好 Cobb-Douglas效用函数效用函数2022-10-4偏好与需求函数偏好与需求函数X1X2无差异曲线无差异曲线预算线预算线最优选择最优选择X*=m/p1X1=m/p1 当当p1pp2 2完全替代品的完全替代品的MRSMRS固定，最固定，最可能发生角点解：可能发生角点解：若无差异曲线若无差异曲线比预算线更陡峭，比预算线更陡峭，角点出现在横轴；角点出现在横轴；反之，角点出现反之，角点出现在纵轴。在纵轴。完全替代情况下的完全替代情况下的 最优选择最优选择2022-10-4偏好与需
6、求函数偏好与需求函数 无差异曲线无差异曲线预算线预算线最优选择最优选择完全互补品完全互补品：X1=X2=X=m/(p1+p2)最优选择最优选择总是处在总是处在对角线上对角线上2022-10-4偏好与需求函数偏好与需求函数X1=m/p1中性物品和劣等品中性物品和劣等品X2=02022-10-4偏好与需求函数偏好与需求函数最优选择最优选择最优选择最优选择预算线预算线预算线预算线A:A:需求需求0 0单位单位B:B:需求需求1 1单位单位（1，m-p1),(2,m-2P1),(3,m-3P1).2022-10-4偏好与需求函数偏好与需求函数 偏好与需求函数偏好与需求函数 一个最优化的数学分析框架一个
7、最优化的数学分析框架2022-10-4偏好与需求函数偏好与需求函数2022-10-4偏好与需求函数偏好与需求函数2.拉格朗日法：拉格朗日法：L(x1,x2,)=u(x1,x2)+(m-p1x1-p2x2)0),(1121pxxxu0),(2221pxxxu0),(221121xpxpmxxu2211PMUpMU10/4/202218MRSPPMUMU2121dmdxpdxpxpdxpdxMUdxMUdu)(221122112211iipMU 用于第用于第i种商品上的货币边际效用种商品上的货币边际效用最优选择是预算约束线最优选择是预算约束线与无差异曲线的切与无差异曲线的切点点的经济意义：消费者有
8、效配置资源时货币的边际效用的经济意义：消费者有效配置资源时货币的边际效用证明：证明：即：即：dmdu2022-10-419需求价格需求价格(消费者愿付最高价格消费者愿付最高价格)iiMUpaytowillingP)(其中，其中，是将消费者由商品获得的主观是将消费者由商品获得的主观边际效用转换为客观货币单位的因子边际效用转换为客观货币单位的因子2022-10-4一个例子：从量税一个例子：从量税vs.所得税所得税 从量税和预算线：从量税和预算线：所得税和预算线：所得税和预算线：mXPXtP*)(2211*-*12211tXmXPXP政府税收均为政府税收均为R R*=tX=tX1 1*2022-10
9、-4一个例子：从量税一个例子：从量税vs.所得税所得税无差异曲线无差异曲线征收从量税征收从量税后的预算约束后的预算约束斜率斜率=（p1+t)/p2从量税后从量税后最优选择最优选择最优最优选择选择征收收入税征收收入税后预算约束后预算约束斜率斜率=p1/p2收入税后收入税后最优选择最优选择2022-10-4比较静态分析比较静态分析收入变化对需求的影响（收入变化对需求的影响（+）给定价格，预算线平移给定价格，预算线平移价格变化对需求的影响（价格变化对需求的影响（-）给定收入，预算线旋转给定收入，预算线旋转 说明：均给定偏好说明：均给定偏好2022-10-4收入变化：正常商品收入变化：正常商品无差异曲
10、线无差异曲线最优选择最优选择预算线预算线两种商品随着两种商品随着收入增加而增收入增加而增加，均为正常加，均为正常商品商品0mx2022-10-4收入变化：低档商品收入变化：低档商品无差异曲线无差异曲线预算线预算线最优选择最优选择商品商品1随着收入随着收入增加而减少，增加而减少，为低档商品为低档商品01mX2022-10-4收入变化收入变化 收入提供曲线（收入提供曲线（income offer curve）：联结不同收入水平下的最优）：联结不同收入水平下的最优组合的曲线，也叫收入扩张路径组合的曲线，也叫收入扩张路径（income expansion path）。）。恩格尔曲线：反应一个商品的需求
11、与收恩格尔曲线：反应一个商品的需求与收入关系的曲线。入关系的曲线。2022-10-4Units of good YOUnits of good XB1I1B3I3I2B2B4I4Income-consumption curveor Income-offer curve2022-10-4B1B2B3I3I2I1Income-consumptioncurveBreadIncomeCDsCDsQ3Q2Q1Q1abcEngel curveY3Q3cY2Q2bY1aQ1Engel curveY3Q3c2022-10-4完全替代完全替代p1P2P1P22022-10-4需求曲线：完全互补需求曲线：完全互补
12、X1=m/(p1+p2)2022-10-4间接效用函数间接效用函数nnnXPXPXPmXXXUU 221121)(,(直接效用函数）直接效用函数）),(*),(*212111mpppXXmpppXXnnnn10/4/202242间接效用函数间接效用函数间接效用函数）间接效用函数）入目标函数：入目标函数：将上述最优消费量，带将上述最优消费量，带)(,(),(),(2121211mpppmpppXmpppXUnnnn mxptsxumpnRx.)(max),(基本模型：2022-10-4间接效用函数间接效用函数间接效用函数的性质：间接效用函数的性质：V(p,m)V(p,m)对于价格和收入是零次奇次
13、的；对于价格和收入是零次奇次的；V(p,m)V(p,m)对于收入对于收入m m严格递增严格递增 V(p,m)V(p,m)对价格对价格p p严格递减；严格递减；满足罗伊恒等式（满足罗伊恒等式（Roys identity)Roys identity)2022-10-4间接效用函数间接效用函数证明：证明：V(p,m)V(p,m)对于价格和收入是零次奇次的对于价格和收入是零次奇次的mxptsxumpnRx .)(max),(tmxtptsxutmtpnRx.)(max),(),(),(),(00mpmpttmtpt对于10/4/202245间接效用函数间接效用函数证明：证明：V(p,m)V(p,m)对
14、收入严格递增对收入严格递增mxptsxumpnRx .)(max),(),(*)(maxmpXxxunRx是是极极大大化化的的消消费费计计划划中中的的 10/4/202246 按照按照envelope theorem(envelope theorem(包络定理）包络定理）对对v(p,m)v(p,m)求关于求关于m m的偏导，只需对极的偏导，只需对极大化的大化的Max u(x)Max u(x)求关于求关于m m的导数。的导数。间接效用函数间接效用函数2022-10-4间接效用函数间接效用函数)()(),(pxmxUxL ),2,1(0*)(*)*,(*nipxxuxxLiii *)*,(),(m
15、xLmmpv10/4/202248),2,1(0*)(*)*,(*nipxxuxxLiii 由由是递增的是递增的关于关于，（故故严格为正严格为正严格递增保证）严格递增保证）由由又又得得0)0),(0*)(0*)(*)(mmpmmpvpuxxupxxuiiii 2022-10-4间接效用函数间接效用函数证明：证明：V(p,m)V(p,m)对价格对价格p p严格递减；严格递减；关于价格是递减的关于价格是递减的，（故故)0),(),(*mpxpxLpmpiii )()(),(pxmxUxL 10/4/202250间接效用函数间接效用函数 满足罗伊恒等式（满足罗伊恒等式（Roys identity)R
16、oys identity)0),(00 mpm 如如v(p,m)在点（在点（p0,m0)是可导的且是可导的且则有则有),2,1(),(),(),(0000000nimmppmpmpxii 10/4/202251间接效用函数间接效用函数 证明：证明：),(/),(/),(*),(*)*,(),()()(),(mpxmmppmpmmpxpxLpmppxmxUxLiiiii 说明消费者对物品说明消费者对物品i的马歇尔需求只是间接效用的马歇尔需求只是间接效用函数关于函数关于pi的偏导数与其关于的偏导数与其关于m的偏导数的比率的偏导数的比率2022-10-42121),(xxxxu 例例：设设效效用用函
17、函数数为为mxpxptsxx 221121.max 221121xpxpmxxL 02112122111 mpxxxL02122122112 mpxxxL2211xpxpmL 22112,2*pmxpmx 求解出：求解出：2022-10-45322112,2*pmxpmx *)*,(*2,1,25.0212121xxuxxmpp的值带入的值带入和和，把，把如果如果 22)2()2(),(5.025.015.021215.0 ppmpmpmmppv5.1125.025.1),(5.05.05.021 mppV元的所得税，则元的所得税，则如果政府征收如果政府征收的的效效果果是是相相同同的的征征商商
18、品品税税与与开开征征所所得得税税说说明明从从税税额额总总量量看看，开开元元政政府府的的税税收收总总量量为为元元，则则征征商商品品税税如如果果政政府府对对5.025.0225.022*25.011 xx大于开征所得税。大于开征所得税。者间接效用的负面影响者间接效用的负面影响说明开征商品税对消费说明开征商品税对消费5.141.115.022),(V5.0215.0 mpp2022-10-454的效用函数。的效用函数。）替代弹性（）替代弹性（它是著名的常（或不变它是著名的常（或不变，这里，这里例：函数例：函数)10)(),(/12121CESxxxxu )()(),(2211/12121xpxpmx
19、xxxL 解：解：0)(1111)/1(211 pxxxxL 0)(2121)/1(212 pxxxxL 02211 xpxpmL 2022-10-455)1/(2)1/(111)1/(1 ppmpx联结方程得：联结方程得：)1/(2)1/(122)1/(1 ppmpx将马歇尔函数写成：将马歇尔函数写成：定义参数定义参数,1/rrrrppmpmpx21111),(rrrppmpmpx21122),(2022-10-456 /121),(),(),mpxmpxmp （/12122111)()(1 rrrrppmpppmprrrrrrrrrppmppppm/121/12121)()(2022-10
20、-4570)(),(/121 rrrppmmp 0)(),(11)/1(21 rirrrimppppmp),()()()1(/),(/),()1(211/12111)/1(21ypxppmpppmpppmmppmpirrrirrrrirrri 2022-10-458支出函数支出函数 消费者消费者在某一特定效用水平下，选择支出最小之在某一特定效用水平下，选择支出最小之消费量消费量.(.(或为了达到一个特定的效用水平或为了达到一个特定的效用水平,最低的最低的支出额是多少支出额是多少)最小化支出是最大化效用问题的对偶最小化支出是最大化效用问题的对偶(dual)dual)uxutspx)(.)min(
21、：模型可写作模型可写作 为保持一个既定的效用水平，支出水平需要如何为保持一个既定的效用水平，支出水平需要如何随价格变化而调整。随价格变化而调整。2022-10-40X1e/P2e/P1U2E3XhX2h(p,u)X1h(p,u)E2E1X2*),(),(),(),(2211eupxpupxpupxpupehhh10/4/2022LagrangianLagrangian分析法分析法),(1011,1nnnXXXXUUXPXPMinn 0),(0010111 nnnnXXUUXUPXXUPX 2022-10-4支出函数支出函数)(,(),(),(),(),(010111102102111支支出出函
22、函数数代代入入目目标标函函数数：再再将将上上述述最最优优消消费费量量，获获得得最最优优消消费费量量：由由消消费费者者最最优优化化选选择择，UPPEUPPXPUPPXPUPPPXXUPPPXXnnnnonnnnn 2022-10-4 如果保持效用和其它商品的价格不变，如果保持效用和其它商品的价格不变，消费者支出最小化的选择和价格之间的消费者支出最小化的选择和价格之间的关系也确定了一种需求关系，被称为希关系也确定了一种需求关系，被称为希克斯需求函数。克斯需求函数。希克斯需求希克斯需求),(*,),(*(),(*1upPupxupXn 2022-10-40-p1/P2UX1h(p1,p2,u)-p1
23、/P2X1X2X2h(p1,p2,u)X1h(p1,p2,u)X2h(p1,p2,u)X1p1p1P1X1h(p1,p2,u)物品物品1的的希克斯需求希克斯需求2022-10-4 价格水平变化时价格水平变化时,为保持效用水平不变为保持效用水平不变,就必须调就必须调整名义收入整名义收入.改变消费者的名义收入以保持不变的效用水平的改变消费者的名义收入以保持不变的效用水平的机制称为补偿机制称为补偿.希克斯需求函数有时也称为补偿的需求函数希克斯需求函数有时也称为补偿的需求函数,即即通过变化价格和收入以便把消费者维持在某一固通过变化价格和收入以便把消费者维持在某一固定的效用水平而形成的需求函数定的效用水
24、平而形成的需求函数.注意注意:马歇尔需求中名义收入是不变的马歇尔需求中名义收入是不变的.希克斯需求希克斯需求2022-10-4支出函数性质支出函数性质 支出函数对价格是一次齐次的支出函数对价格是一次齐次的.(.(因为价因为价格同比例变化格同比例变化,会以相同比例改变支出，会以相同比例改变支出，证明略证明略)谢泼特引理谢泼特引理),(*)*,(),(upxxPxPupehiiii 2022-10-4谢泼特引理证明谢泼特引理证明),(),(),()(),min)(),()(min),(*upxxpxpupexuuxpxxpxuuxpxuxuxpupehiiiiRxn （处，有处，有在在2022-1
25、0-4支出函数性质支出函数性质 支出函数随价格上升非递减支出函数随价格上升非递减(随着价格随着价格上升上升,维持效用水平的最小支出要上升维持效用水平的最小支出要上升)0),(ipupe2022-10-4).,(),(),(),(,),(221131221121upeuphmpmpxxpxpmxxxxu计算预算约束例：利用效用函数)(),(2211312211xpxpmxxxL解：mxpxppxxpxx2211232221113122113121221152),(53),(pmmpxpmmpx求解得：2022-10-46931221165312211)2()3()5()52()53(),(),(
26、)2(ppmpmpmmpxump56522531)2()3(5),()3(uppupe数为：数的反函数，故支出函支出函数是间接效用函565225312565225211)2()3(2),()2()3(3),()4(uppupxuppupxpexhhihi由支出函数性质：2022-10-470效用最大化与支出最小化效用最大化与支出最小化的关系的关系对偶关系对偶关系 E(p,u*)=e(p,v(p,m)=m V(p,e(p,u)=u Xi(p,m)=xih(p,v(p,m)Xih(p,u)=xi(p,e(p,u)2022-10-4x2x1x2x1U=v(p,e(p,u)X1(p10,m)=x1h(
27、p10,u)X1(p11,u)X1(p11,m)图图示示对对偶偶关关系系X1(p1,m)Xh1(p1,u)2022-10-4例：某消费者具有间接效用函数：例：某消费者具有间接效用函数：v(pv(p1 1,p,p2 2,m)=m/(p,m)=m/(p1 1+p+p2 2)（1 1）求需求函数）求需求函数（2 2）求支出函数）求支出函数（3 3）求直接效用函数）求直接效用函数2022-10-42121),()1(ppmmppmmppmpmpxii),(),(),(根据罗伊恒等式：21212211)(1)(),(ppmppppmmpx21212212)(1)(),(ppmppppmmpxuppmpp
28、e)(),()2(2121函数是：数的逆函数，因此支出支出函数是间接效用函2121,min),()3(xxxxu互补的，效用函数是：由支出函数，两物品是2022-10-474效用最大化与支出最小化效用最大化与支出最小化的关系的关系马歇尔需求与希克斯需求的区别马歇尔需求与希克斯需求的区别马歇尔需求假设名义收入不变；希马歇尔需求假设名义收入不变；希克斯需求假设真实收入或效用水平克斯需求假设真实收入或效用水平不变；不变；经验研究主要依靠马歇尔需求；理经验研究主要依靠马歇尔需求；理论研究中用希克斯需求更为方便。论研究中用希克斯需求更为方便。2022-10-4mxpxptsxxxxuxxxxubaxxb
29、a 22112121,2121.),(max),(21例：例：2211pbabmxpbaamx)()(马歇尔需求：马歇尔需求：bababababappbambapbabmpbaammpp212121 )()()(),（效效用用函函数数：带带入入效效用用函函数数得得出出间间接接 2022-10-4),()()()()()(211121121111mppxpbaamppbambabappbambampbabababababababa ）（验证罗伊恒等式：验证罗伊恒等式：babababappbambampp2121 )(),（2022-10-4bxxxxutsxpxpa21221121 .min,支出最小化问题：支出最小化问题：baxxuppbxax212112 1,2MRSbaabahbabbahbpapuuppxbpapuuppx )(),()(),(211212121211需需求求为为：解解出出两两种种商商品品的的希希克克斯斯)()(),(babbaabaabaababaabppuuppe 21121支出函数：支出函数：2022-10-4
