1、第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院3）微观对称类型）微观对称类型本节重点本节重点1）基本的对称操作；）基本的对称操作；2）宏观对称类型；）宏观对称类型；第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院1、对称的概念、对称的概念第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院镜像镜像(面面)旋转旋转中心反演中心反演第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院对称对称就是物体相同部分
2、有规律的重复，即物体中相同部分，通过一就是物体相同部分有规律的重复，即物体中相同部分，通过一定定对称操作对称操作(如如旋转旋转、中心反演中心反演、镜面镜面)可以发生重复；也就是说相可以发生重复；也就是说相同部分通过一定操作彼此可以重合起来，使图形恢复原来的形象。同部分通过一定操作彼此可以重合起来，使图形恢复原来的形象。对称操作对称操作是指凭借是指凭借对称要素对称要素能够使对称物体中的各个相同部分，能够使对称物体中的各个相同部分，作有规律重复的变换动作。作有规律重复的变换动作。对称要素对称要素则是指在进行对称操作时所凭借则是指在进行对称操作时所凭借的几何要素的几何要素点、线、面等。即点、线、点、
3、线、面等。即点、线、面等对称要素保持不动。面等对称要素保持不动。对称定义对称定义点：点：中心点；中心点；线线：旋转轴线；：旋转轴线；面面：镜面：镜面第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院2、晶体对称性的判定、晶体对称性的判定由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的规则排列反映在晶体由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的规则排列反映在晶体的宏观形态上，晶体表现出宏观对称性。的宏观形态上，晶体表现出宏观对称性。对于外表面具有很多晶面晶体，往往不能直接判别它对称特征，对于外表面具有很多晶面晶体，往往不能直接判别它对称特征，必须经过必须经过测角
4、测角和和投影投影以后，才可对晶体对称规律进行分析研究。以后，才可对晶体对称规律进行分析研究。晶体的极射赤平投影晶体的极射赤平投影第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院通过对大量晶体进行测角和投影，归纳成通过对大量晶体进行测角和投影，归纳成32种典型的种典型的宏观宏观对称类对称类型。型。由于在由于在宏观对称类型宏观对称类型，全部对称要素相交于一点，全部对称要素相交于一点(晶体中心晶体中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，因此在进行对称操作时至少有一点不移动，因此称之为称之为点群点群。该点群中的对称操作中不包括该点群中的对称操作中不包
5、括平移平移。而若对称操作中包括平移，。而若对称操作中包括平移，共构成了共构成了230中中微观微观的对称类型。所有以上的对称类型都源于以的对称类型。所有以上的对称类型都源于以下基本对称操作的组合。下基本对称操作的组合。3、基本的对称操作、基本的对称操作1）对称操作的变换对称操作的变换-线性变换线性变换和刚体一样，晶格中任何两点间的距离，在操作前后应保持不和刚体一样，晶格中任何两点间的距离，在操作前后应保持不变，在数学上表示，这些操作就是熟知的变，在数学上表示，这些操作就是熟知的线性交换线性交换。第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院),
6、(321xxxX 经过某一对称操作，把晶体中任一点经过某一对称操作，把晶体中任一点 变为变为 可以用线性变换来表示。可以用线性变换来表示。),(321xxxXx1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,x3)若采用矩阵表示线性变换若采用矩阵表示线性变换：AXX 333231232221131211aaaaaaaaA321xxxX321xxxX第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院由于操作前后，两点间的距离保持不变，即由于操作前后，两点间的距离保持不变，即232221232221xxxxxxXXAXAX而而321321232221xx
7、xxxxxxxXXxxx232221IAA同理同理XXXXXX又又AXX 其中其中I是单位矩阵，所以得出是单位矩阵，所以得出A为正交矩阵为正交矩阵。第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院如令如令 代表矩阵代表矩阵A的行列式，则的行列式，则A1AAIAA又又AA 12A1A2）简单对称操作的变换关系简单对称操作的变换关系转动转动将某一图形绕将某一图形绕X1转过转过角，该图形角，该图形中任一点（中任一点（x1,x2,x3)变为另一点变为另一点（x1,x2,x3)，则变换关系有：，则变换关系有：(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)1X3
8、X2X第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)1X3X2X11xx)cos(cos22xxcos)sinsincos(cos2xsincos22tgxxsincos32xx)sin(cos23xxcos)sincoscos(sin2xcossin22tgxxcossin32xx则正交变换则正交变换321xxx321xxxcossin0sincos0001333231232221131211aaaaaaaaA第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工
9、程学院正交矩阵正交矩阵A为为cossin0sincos0001A1A中心反演中心反演 取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点（取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点（x1,x2,x3)变变为另一点（为另一点（-x1,-x2,-x3)，则变换关系如下，则变换关系如下11xx22xx33xx321xxx321xxx100010001第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院正交矩阵正交矩阵A为为1A100010001A镜像镜像X1X3X2(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)镜像对称操作是将图形的任一点镜像对称操作是将图形的任一点(
10、x1,x2,x3)变为另一点变为另一点(x1,x2,x3)，变换关系如下：变换关系如下：即以即以x3=0面作为镜面。面作为镜面。11xx 22xx 33xx第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院则正交变换则正交变换321xxx321xxx正交矩阵正交矩阵A为为1A100010001100010001A第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院3）基本的对称操作基本的对称操作n度旋转对称轴度旋转对称轴如果晶体绕某一对称轴旋转如果晶体绕某一对称轴旋转=2/n以后自身能重合，则称该轴为
11、以后自身能重合，则称该轴为n度旋转对称轴度旋转对称轴。由于晶体的对称操作并不涉及到晶格的平移，由于晶体的对称操作并不涉及到晶格的平移，在操作时应至少保持一点不同，所以采用双在操作时应至少保持一点不同，所以采用双转轴来推导晶体旋转对称轴，存在一定的局转轴来推导晶体旋转对称轴，存在一定的局限性，应采用单转轴推导方法。限性，应采用单转轴推导方法。A1 1ABB1 1 A B 由于晶格周期性的限制，晶体可能的转动讨论如下。由于晶格周期性的限制，晶体可能的转动讨论如下。第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院OBAA1B1如图如图A、O、B 是某
12、一晶列上相邻的三个格点，周期为是某一晶列上相邻的三个格点，周期为a。如果绕过如果绕过O 点垂直于晶列的转轴顺时针转点垂直于晶列的转轴顺时针转角，角，A转到转到A1，晶体晶体自身重合，则自身重合，则A1点必为一格点。点必为一格点。再绕过再绕过O 点的转轴逆时针转点的转轴逆时针转角，晶体恢复到未转动时的状态，角，晶体恢复到未转动时的状态，但此时但此时B处格点转到处格点转到B1点，则点，则B1处必为一格点。处必为一格点。可以知道可以知道AB/A1B1，平行晶列具有相同的周期，则有平行晶列具有相同的周期，则有第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程
13、学院|cos|211amaBAOBAA1B112/|cos|m其中其中m为正整数或零为正整数或零,2m,1cos2,1m,21cos35,34,32,3,0m,0cos23,2因为顺时因为顺时(或逆时或逆时)针转动针转动 分别等价于分别等价于逆时逆时(或顺时或顺时)针针转动转动 ，所以晶格转动的独立转角为所以晶格转动的独立转角为：35,23,343,2,323,2,32,2第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院3,2,32,2n26,4,3,2,1n晶体中允许的旋转对称轴只能是晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。度轴。
14、对 称 轴对 称 轴的度数的度数n2346符号符号对称轴度数的符号表对称轴度数的符号表晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院晶体中不存在晶体中不存在5度或度或6度以上的转轴。度以上的转轴。上述结果也可以直观的理解为：上述结果也可以直观的理解为：长方形、正三边形、正方形、正长方形、正三边形、正方形、正六边形可以在平面内周期性的重六边形可以在平面内周期性的重复排列，而不留空隙，但正五边复排列，而不留空隙，但正五边形却不能相互紧密排列做重复排形却
15、不能相互紧密排列做重复排列而不留空隙，因此晶体中不存列而不留空隙，因此晶体中不存在在5度的转轴。度的转轴。第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院n度旋转度旋转-反演轴反演轴若绕某一固定轴若绕某一固定轴u旋转旋转2/n角度以后，再经中心反演角度以后，再经中心反演(即即x-x，y-y，z-z)，晶体能够自身重合，则称晶体能够自身重合，则称u为为n度旋转度旋转-反演轴反演轴。这样的对称轴只有这样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的度度。为了区别于转轴，在轴的度次上加次上加“-”来表示旋转来表示旋转-反演轴。即反演轴。即
16、。12i112m21 6,4,3,2,1125436i 33第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院6=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 ABDCEFGHCADGFHEB正四面体既无四度轴也无对称心，正四面体既无四度轴也无对称心，是基本的对称操作。是基本的对称操作。4总上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种的基本对称操作，即总上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种的基本对称操作，即41，2，3，4，6，i，m，。第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院
17、所有点对称操作都可由这所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一个晶种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个体的全部对称操作构成一个群群，每个操作都是群的一个元素。对，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。称性不同的晶体属于不同的群。由由旋转、中心反演、镜象和旋转旋转、中心反演、镜象和旋转-反演点对称操作构成的群，反演点对称操作构成的群，全部对称要素相交于一点全部对称要素相交于一点(晶体中晶体中心心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，在进行对称操作时至少有一点不移动，称之为称之为点群点群。理论证明，所有晶体只有理论证明，所有晶体只有3232种点群，
18、即只有种点群，即只有32种不同的点对种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性宏观对称性。第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院如果考虑如果考虑晶格晶格平移，平移，多出以下两类微观对称操作类型多出以下两类微观对称操作类型：n度螺旋度螺旋轴和滑移反映面。轴和滑移反映面。n度螺旋轴度螺旋轴一个一个n度螺旋轴度螺旋轴u表示绕轴每转表示绕轴每转2/n角角度后，再沿该轴的方向平移度后，再
19、沿该轴的方向平移T/n 的的l倍，倍，则晶体中的原子和相同的原子重合。则晶体中的原子和相同的原子重合。其中，其中，l为小于为小于n 的整数，的整数，T为沿为沿u轴方轴方向上的周期矢量。晶体也只有向上的周期矢量。晶体也只有1，2，3，4，6度螺旋轴。度螺旋轴。n=4，l=1。如图如图4度螺度螺旋轴，由旋轴，由A A4 。1AA12A23A34A4Tu第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院滑移反映面滑移反映面一个一个滑移反映面滑移反映面表示经过该面的镜像操作后，再沿平行于该面的表示经过该面的镜像操作后，再沿平行于该面的某个方向平移某个方向
20、平移T/n 的距离，晶体中的原子和相同的原子重合。其的距离，晶体中的原子和相同的原子重合。其中，中，T是该方向上的周期矢量，是该方向上的周期矢量，n为为2或或4。如图表示一滑移反映面如图表示一滑移反映面MM。n=2AAA1A1A2A2MM第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院32种点群对应于晶体种点群对应于晶体32种宏观的对称性，再加上种宏观的对称性，再加上n度螺旋轴和滑度螺旋轴和滑移反映面平移对称操作，经过不同组合就可以导出移反映面平移对称操作，经过不同组合就可以导出230种种空间群空间群。每种空间群对应于一种特殊的晶体结构。每种空
21、间群对应于一种特殊的晶体结构。4、空间群、空间群空间群分为两类：一类称为空间群分为两类：一类称为简单空间群简单空间群或或点空间群点空间群；一类称为；一类称为复杂空间群复杂空间群或或非点空间群非点空间群。所谓所谓点空间群点空间群是由一个点群和一个平移群对称操作而成的。它的是由一个点群和一个平移群对称操作而成的。它的一般操作可以写成一般操作可以写成)|(321llltR第六节第六节 晶体的对称性晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院其中其中 表示点群对称操作，表示点群对称操作，代表平移对称操作。简单晶格代表平移对称操作。简单晶格所具有的空间群属于点空间群。此外，一
22、些复式晶格的空间群所具有的空间群属于点空间群。此外，一些复式晶格的空间群也属于点空间群。共有也属于点空间群。共有73种点空间群。种点空间群。R321lllt复杂空间群复杂空间群：复杂空间群的对称操作可以有更一般的形式：复杂空间群的对称操作可以有更一般的形式：)|(tR其中其中 表示点群操作，但表示点群操作，但 代表不是整数晶格矢量平移对称操作。代表不是整数晶格矢量平移对称操作。Rt第七节第七节 晶格结构的分类晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院baaccb与与与与与与,cba,分别为分别为取取 为晶胞的三个方向基矢，为晶胞的三个方向基矢，间的夹角。间的夹角
23、。,abc 按照基矢和基矢之间夹角的特点，晶体可按照基矢和基矢之间夹角的特点，晶体可以分为七大晶系；按照晶胞上格点的分布以分为七大晶系；按照晶胞上格点的分布特点，晶体结构又分为特点，晶体结构又分为14种种布喇菲格子。布喇菲格子。简单三斜简单三斜1 1、三斜晶系、三斜晶系：,cba第七节第七节 晶格结构的分类晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 090,cba2、单斜晶系、单斜晶系：3、三角晶系、三角晶系：0012090 cba简单单斜简单单斜底心单斜底心单斜三角三角第七节第七节 晶格结构的分类晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信
24、息工程学院4、正交晶系、正交晶系：090 ,cba5、四方晶系、四方晶系090 cba简单正交简单正交底心正交底心正交体心正交体心正交面心正交面心正交简单四方简单四方体心四方体心四方第七节第七节 晶格结构的分类晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院6、六角晶系、六角晶系：0012090 cba7、立方晶系、立方晶系：090 cba简单立方简单立方体心立方体心立方面心立方面心立方六角六角第七节第七节 晶格结构的分类晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院七个晶系七个晶系分别分别属于低、中、高级三个晶族属于低、中、高级三个晶族。
25、低级晶族的三斜晶系低级晶族的三斜晶系(无对称轴和对称面无对称轴和对称面)、单斜晶系、单斜晶系(二次轴和对称面各不多于一个二次轴和对称面各不多于一个)和和正交正交晶系晶系(二次轴或对称面多于一个二次轴或对称面多于一个)；属于中级晶族的四方晶系；属于中级晶族的四方晶系(有一个四次轴有一个四次轴)、三、三角角晶系晶系(有一个三次轴有一个三次轴)和六和六角角晶系晶系(有一个六次有一个六次轴轴)；属于高级晶族的；属于高级晶族的立方立方晶系晶系(有四个三次轴有四个三次轴)。另外，根据是否有高次轴以及有一个或多个高次轴，把另外，根据是否有高次轴以及有一个或多个高次轴，把32个宏观个宏观对称型归纳为低、中、高
26、级三个对称型归纳为低、中、高级三个晶晶族。依照依照低、中、高级三个晶低、中、高级三个晶族族，对称性提高。，对称性提高。第七节第七节 晶格结构的分类晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院a立方立方aaaaa三方三方三斜三斜abc正交正交abcabc单斜单斜aaac六方六方aac四方四方第七节第七节 晶格结构的分类晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院ABC解答解答：在布喇菲点阵中每一个阵点：在布喇菲点阵中每一个阵点具有完全相同的周围环境，而密排具有完全相同的周围环境，而密排六方晶胞内的原子与晶胞角上的原六方晶胞内的原子与晶胞角上的原子具有不同的周围环境（如原子子具有不同的周围环境（如原子A和和B）。）。在在AB原子的延长线上取原子的延长线上取BC=AB，然而然而C点却无原子点却无原子。问题问题：为什么密排六方结构不能称为一种布喇菲点阵？：为什么密排六方结构不能称为一种布喇菲点阵？
