1、8.1.3向量数量积的坐标运算1.1.平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2.【思考】【思考】向量数量积的坐标表示公式有什么特点向量数量积的坐标表示公式有什么特点?应用时应注应用时应注意什么意什么?提示提示:公式的特点是公式的特点是“对应坐标相乘后再求和对应坐标相乘后再求和”,在解在解题时要注意坐标的顺序题时要注意坐标的顺序.2.2.向量的模与夹角的坐标表示向量的模与夹角的坐标表示(1)(1)向量模的公式向量模的公式:设设a=(x=(x1
2、 1,y,y1 1),),则则|a|=.|=.两点间的距离公式两点间的距离公式:若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则|=|=_._.(2)(2)向量的夹角公式向量的夹角公式:设两非零向量设两非零向量a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),cos),cos=2211xyAB 222121(xx)(yy)121222221122x xy y.|xyxya ba b【思考】【思考】|的计算公式与解析几何中两点间的距离公式一的计算公式与解析几何中两点间的距离公式一样吗样吗?为什么为什么?提示提示:|的计算公式与
3、解析几何中两点间的距离公的计算公式与解析几何中两点间的距离公式是完全一致的式是完全一致的,实际上实际上|即为即为A,BA,B两点间的距离两点间的距离.AB AB AB 3.3.两个向量垂直的条件两个向量垂直的条件设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则abx x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0.=0.【素养小测】【素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)(1)若若a=(m,0),=(m,0),则则|a|=m.|=m.()(2)(2)已知已知a=(x=(x1 1,y,y1 1),),
4、b=(x=(x2 2,y,y2 2),),abx x1 1x x2 2-y-y1 1y y2 2=0.=0.()(3)(3)若若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),且且 为钝角为钝角,则则x x1 1y y1 1+x+x2 2y y2 20.0.()提示提示:(1)(1).若若a=(m,0),=(m,0),则则|a|=|m|.|=|m|.(2)(2).abx x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0.=0.(3)(3).为钝角为钝角,则则x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 20.0.2.2.向量向量a=(1,-1),=(1,
5、-1),b=(-1,2),=(-1,2),则则(2(2a+b)a等于等于()A.-1A.-1B.0B.0C.1C.1D.2D.2【解析】【解析】选选C.C.因为因为a=(1=(1,-1),-1),b=(-1,2),=(-1,2),所以所以2 2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),则则(2(2a+b)a=(1,0)=(1,0)(1,-1)=1.(1,-1)=1.3.3.已知平面向量已知平面向量a=(3,1),=(3,1),b=(x,-3),=(x,-3),且且ab,则则x x等于等于 ()A.-3A.-3B.-1B.-1C.1C.1D.3
6、D.3【解析】【解析】选选C.C.因为向量因为向量a=(3,1=(3,1),),b=(x,-3),=(x,-3),且且ab,所以所以3x+13x+1(-3)=0,x=1.(-3)=0,x=1.4.4.已知向量已知向量a=(2,4),=(2,4),b=(-1,1),=(-1,1),则则|a-b|=|=()A.A.B.3 B.3 C.3C.3D.D.【解析】【解析】选选B.B.因为向量因为向量a=(2,4=(2,4),),b=(-1,1),=(-1,1),所以所以a-b=(3,3),=(3,3),则则|a-b|=3 .|=3 .1022622332类型一数量积的坐标运算类型一数量积的坐标运算【典例
7、】【典例】1.(20191.(2019岳阳高一检测岳阳高一检测)已知向量已知向量a=(2,1),=(2,1),b=(-1,k),=(-1,k),a(2(2a-b)=0,)=0,则则k=k=()A.-12A.-12B.-6B.-6C.6C.6D.12D.122.2.已知向量已知向量 =(2,1),=(2,1),点点C(-1,0),D(4,5),C(-1,0),D(4,5),则向量则向量 在在 上投影的数量为上投影的数量为()A.A.B.-3 B.-3 C.C.D.3 D.3 3.(20193.(2019泰安高一检测泰安高一检测)已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为1,1,点点E
8、E是是ABAB边上的动点边上的动点,则则 的值为的值为_;_;的最大值为的最大值为_._.AB AB CD 3 22553 22DE CB DE DC 【思维【思维引】引】1.1.利用数量积的坐标运算列出方程利用数量积的坐标运算列出方程,解解方程可得方程可得.2.2.依据向量投影的定义计算依据向量投影的定义计算.3.3.建立适当的坐标系求解建立适当的坐标系求解.【解析】【解析】1.1.选选D.2D.2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由由a(2(2a-b)=0,)=0,得得(2,1)(2,1)(5,2-k)=0,(5,2-k)=0,所
9、以所以10+2-k=0,10+2-k=0,解得解得k=12.k=12.2.2.选选C.C.因为点因为点C(-1,0),D(4,5),C(-1,0),D(4,5),所以所以 =(5,5),|=5 .=(5,5),|=5 .又又 =(2,1),=(2,1),所以所以 =2=25+15+15=15,5=15,所以向量所以向量 在在 上的投影的数量为上的投影的数量为 CD CD 2AB AB CD CD AB AB CD153 2.2|CD|5 2 3.3.以射线以射线AB,ADAB,AD为为x x轴轴,y,y轴的正方向建立平面直角坐标轴的正方向建立平面直角坐标系系,则则A(0,0),B(1,0),C
10、(1,1),D(0,1),A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设设E(t,0),E(t,0),t0,1,t0,1,则则 =(t,-1),=(0,-1),=(t,-1),=(0,-1),所以所以 =(t,-1)=(t,-1)(0,-1)=1.(0,-1)=1.DE CB DE CB 因为因为 =(1,0),=(1,0),所以所以 =(t,-1)=(t,-1)(1,0)=t1,(1,0)=t1,故故 的最大值为的最大值为1.1.答案答案:1 11 1DC DE DC DE DC 【内化【内化悟】悟】1.1.要求两向量的数量积需要求哪些量要求两向量的数量积需要求哪些量?提示提示:
11、可以求两向量的模与夹角可以求两向量的模与夹角,也可以直接求两向量也可以直接求两向量的坐标的坐标.2.2.已知两个向量的数量积怎样求所含参数已知两个向量的数量积怎样求所含参数?提示提示:利用数量积的公式列出关于参数的方程利用数量积的公式列出关于参数的方程(组组),),解解方程方程(组组)即可即可.【类题【类题通】通】1.1.进行数量积运算时进行数量积运算时,要正确使用公式要正确使用公式ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2及向量的坐标运算及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联并注意与函数、方程等知识的联系系.2.2.向量数量积的运算有两种思路向量数量积的运算有两种思路:
12、一种是基向量法一种是基向量法,另另一种是坐标法一种是坐标法,两者相互补充两者相互补充.如果题目中的图形是等如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐一般选择坐标法标法.【习练【习练破】破】1.(20191.(2019全国卷全国卷)已知已知 =(2,3),=(3,t),=(2,3),=(3,t),|=1,|=1,则则 =()A.-3A.-3B.-2B.-2C.2C.2D.3D.3AB AC BC AB BC 【解析】【解析】选选C.C.因为因为 =(1,t-3),=(1,t-3),又因为又因为|=1,|=1,即即1 12 2+(t-3)+
13、(t-3)2 2=1=12 2,解得解得t=3,t=3,所以所以 =(1,0),=(1,0),故故 =2.=2.BCACAB BC BC AB BC 2.2.已知已知a=(2,-1),=(2,-1),b=(3,2),=(3,2),若存在向量若存在向量c,满足满足ac=2,=2,bc=5,=5,则向量则向量c=_.=_.【解析】【解析】设设c=(x,y),=(x,y),因为因为ac=2,=2,bc=5,=5,所以所以 解得解得 所以所以c=.=.答案答案:2xy 23x2y 5，9x74y,7，9 4()7 7，9 4()7 7，【加练【加练固】固】(2019(2019石家庄高一检测石家庄高一检
14、测)已知已知ABCABC是边长为是边长为2 2的等边的等边三角形三角形,P,P为平面为平面ABCABC内一点内一点,则则 的最小值的最小值是是()A.-2A.-2B.B.C.C.D.-1D.-1PA(PBPC)3243【解析】【解析】选选B.B.以以BCBC所在的直线为所在的直线为x x轴轴,BC,BC的垂直平分线的垂直平分线ADAD为为y y轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系,如图如图.可知可知A(0,),B(-1,0),C(1,0).A(0,),B(-1,0),C(1,0).设设P(x,y),P(x,y),则则 =(-x,-y),=(-1-x,-y),=(-x,-y),=(-1-x,
15、-y),=(1-x,-y).=(1-x,-y).所以所以 =(-2x,-2y).=(-2x,-2y).所以所以 =2x=2x2 2-2y(-y)-2y(-y)3PA 3PBPCPBPCPA(PBPC)3=2x=2x2 2+2 .+2 .当点当点P P的坐标为的坐标为 时时,取得最小值为取得最小值为 .2333(y)222 3(0,)2PA(PBPC)32类型二用坐标运算解决数量积的性质问题类型二用坐标运算解决数量积的性质问题角度角度1 1向量的模问题向量的模问题【典例】【典例】已知向量已知向量a=(x,y),=(x,y),b=(-1,2),=(-1,2),且且a+b=(1,3),=(1,3),
16、则则|a-2-2b|等于等于_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维【思维引】引】先求出向量先求出向量a-2-2b的坐标的坐标,再用模长公式再用模长公式求其长度求其长度.【解析】【解析】a+b=(x-1,y+2)=(1,3),=(x-1,y+2)=(1,3),所以所以x=2,y=1,x=2,y=1,所以所以a=(2,1).=(2,1).所以所以a-2-2b=(4,-3),=(4,-3),所以所以|a-2-2b|=5.|=5.答案答案:5 5224(3)角度角度2 2向量的夹角和垂直问题向量的夹角和垂直问题【典例】【典例】已知已知a=(1,1),=(1,1),b=(0,-2),=(0,-2),
17、当当k k为何值时为何值时(1)k(1)ka-b与与a+2+2b垂直垂直.(2)k(2)ka-b与与a+b的夹角为的夹角为120120.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维【思维引】引】利用垂直的条件、夹角公式列出方程求利用垂直的条件、夹角公式列出方程求解参数即可解参数即可.【解析】【解析】因为因为a=(1,1),=(1,1),b=(0,-2),=(0,-2),所以所以k ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),a+2+2b=(1,1)+=(1,1)+(0,-4)=(1,-3).(0,-4)=(1,-3).a+b=(1,1)+(0,-2
18、)=(1,-1).=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).(1)(1)因为因为k ka-b与与a+2+2b垂直垂直,所以所以k-3k-6=0,k-3k-6=0,所以所以k=-3.k=-3.即当即当k=-3k=-3时时,k,ka-b与与a+2+2b垂直垂直.(2)(2)因为因为|k|ka-b|=,|=,|a+b|=,|=,(k(ka-b)(a+b)=(k,k+2)=(k,k+2)(1,-1)=k-k-2=-2,(1,-1)=k-k-2=-2,而而k ka-b与与a+b的夹角为的夹角为120120,所以所以cos 120cos 120=即即 22k(k2)221(1)2(k)()|k|ababa
19、b ab，22122k(k2)2，化简整理化简整理,得得k k2 2+2k-2=0,+2k-2=0,解得解得k=-1k=-1 .即当即当k=-1k=-1 时时,k,ka-b与与a+b的夹角为的夹角为120120.33【素养【素养探】探】用向量数量积的坐标运算解决向量的夹角与垂直问题用向量数量积的坐标运算解决向量的夹角与垂直问题时时,常常需要根据题目条件列方程求参数的值常常需要根据题目条件列方程求参数的值,突出体突出体现了数学运算的核心素养现了数学运算的核心素养.若本例条件改为若本例条件改为“a=(4,3),=(4,3),b=(-1,2),=(-1,2),且且(a-b)(2)(2a+b),”),
20、”求求a与与b的夹角的余弦值和实数的夹角的余弦值和实数的值的值.【解析】【解析】因为因为ab=4=4(-1)+3(-1)+32=2,2=2,|a|=5,|=5,|b|=|=所以所以coscos=因为因为a-b=(4+,3-2),2=(4+,3-2),2a+b=(7,8),=(7,8),又又(a-b)(2)(2a+b),),224322(1)25，22 5.|255 5a ba b所以所以(a-b)(2(2a+b)=7(4+)+8(3-2)=0,)=7(4+)+8(3-2)=0,所以所以=.=.529【类题【类题通】通】1.1.向量模的问题的解题策略向量模的问题的解题策略(1)(1)字母表示下的
21、运算字母表示下的运算,利用利用|a|2 2=a2 2将向量模的运算转将向量模的运算转化为向量的数量积的运算化为向量的数量积的运算.(2)(2)坐标表示下的运算坐标表示下的运算,若若a=(x,y),=(x,y),则则|a|=.|=.22xy2.2.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)(1)求向量的数量积求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积这两个向量的数量积.(2)(2)求模求模.利用利用|a|=|=计算两向量的模计算两向量的模.(3)(3)求夹角余弦值求夹角余弦值.由公式由公式cos=cos=求夹
22、角余弦值求夹角余弦值.22xy121222221122x xy yxyxy(4)(4)求角求角.由向量夹角的范围及由向量夹角的范围及cos cos 求求的值的值.3.3.非零向量非零向量a,b垂直问题的解决方法垂直问题的解决方法涉及非零向量涉及非零向量a,b垂直问题时垂直问题时,一般借助一般借助abab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0来解决来解决.【发散【发散拓】拓】1.1.线段垂直的坐标关系线段垂直的坐标关系设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),C(x),C(x3 3,y,y3 3)是坐标平面内的三个点是坐标平面内的三个点
23、,则则 (x(x3 3-x-x1 1)(x(x2 2-x-x1 1)+(y)+(y3 3-y-y1 1)(y)(y2 2-y-y1 1)=0.)=0.ACAB 2.2.向量共线的条件向量共线的条件由由cos=cos=可知可知,若若=0=0或或180180,则则cos=cos=1,1,则有则有x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=,利用利用此结论也可以判断两向量此结论也可以判断两向量a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2)是否共是否共线线.121222221122x xy yxyxy22221122xyxy【延伸【延伸练】练】已知已知A(-2,
24、1),B(6,-3),C(0,5),A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则则ABCABC的形状是的形状是 ()A.A.直角三角形直角三角形B.B.锐角三角形锐角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形D.D.等边三角形等边三角形【解析】【解析】选选A.A.因为因为 =(8,-4),=(2,4),=(8,-4),=(2,4),所以所以 =8=82+(-4)2+(-4)4=0,4=0,所以所以 ,所以所以BAC=90BAC=90,故故ABCABC是直角三角形是直角三角形.AB AC AB AC ABAC 【习练【习练破】破】1.(20191.(2019全国卷全国卷)已知向量已知向量a=(2,3
25、),=(2,3),b=(3,2),=(3,2),则则|a-b|=|=()A.A.B.2B.2C.5 C.5 D.50D.5022【解析】【解析】选选A.A.由向量由向量a=(2,3),=(2,3),b=(3,2),=(3,2),可得可得a-b=(-1,1),(-1,1),所以所以|a-b|=|=22(1)12.2.2.求与向量求与向量a=(1,2),=(1,2),b=(2,1)=(2,1)夹角相等的单位向量夹角相等的单位向量c的的坐标坐标.【解析】【解析】设设c=(x,y),=(x,y),由由coscos=cos=cos,c为单位向量为单位向量,得得 解得解得 或或 所以所以c=或或c=.=.
26、22x2y2xy55xy1，2x22y2，2x22y,2 ，22()22，22(,)22【加练【加练固】固】1.(20191.(2019重庆高一检测重庆高一检测)设平面向量设平面向量a=(1,2),=(1,2),b=(-2,y),(-2,y),若若ab,则则|2|2a-b|等于等于()A.4A.4B.5B.5C.3 C.3 D.4 D.4 55【解析】【解析】选选D.D.由题知由题知y+4=0,y=-4,y+4=0,y=-4,b=(-2,-4),=(-2,-4),所以所以2 2a-b=(4,8),=(4,8),所以所以|2|2a-b|=4 .|=4 .52.2.已知已知a=(1,2),=(1,
27、2),b=(1,),=(1,),分别确定实数分别确定实数的取值范的取值范围围,使得使得:(1):(1)a与与b的夹角为直角的夹角为直角.(2)(2)a与与b的夹角为钝角的夹角为钝角.(3)(3)a与与b的夹角为锐角的夹角为锐角.【解析】【解析】设设a与与b的夹角为的夹角为,则则ab=(1,2)=(1,2)(1,)=1+2.(1,)=1+2.(1)(1)因为因为a与与b的夹角为直角的夹角为直角,所以所以ab=0,=0,所以所以1+2=0,1+2=0,所以所以=.=.12(2)(2)因为因为a与与b的夹角为钝角的夹角为钝角,所以所以cos 0cos 0且且cos-1,cos-1,所以所以ab00且
28、且a与与b不反向共线不反向共线.由由ab00得得1+20,1+20,故故 ,0,cos 0,且且cos 1,cos 1,所以所以ab00且且a,b不同向共线不同向共线.由由ab0,0,得得 ,由由a与与b同向共线得同向共线得=2,=2,所以所以的取值范围为的取值范围为 (2,+).(2,+).121(2)2，类型三用数量积的坐标运算解决平面几何问题类型三用数量积的坐标运算解决平面几何问题【典例】【典例】1.1.在四边形在四边形ABCDABCD中中,=(1,2),=(-4,2),=(1,2),=(-4,2),则四边形则四边形ABCDABCD的面积为的面积为()A.A.B.2 B.2 C.5C.5
29、D.10D.10AC BD 552.2.已知在正方形已知在正方形ABCDABCD中中,E,F,E,F分别是分别是CD,ADCD,AD的中的中点点,BE,CF,BE,CF交于点交于点P.P.求证求证:BECF.:BECF.【思维【思维引】引】1.1.先判断四边形先判断四边形ABCDABCD的对角线之间的关的对角线之间的关系系,再求其面积再求其面积;2.2.建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,求求 和和 的坐标的坐标,计算计算 =0.=0.BE CFBE CF 【解析】【解析】1.1.选选C.C.因为在四边形因为在四边形ABCDABCD中中,=(1,2),=(1,2),=(-4,2),=0,=(
30、-4,2),=0,所以四边形所以四边形ABCDABCD的对角线互相垂直的对角线互相垂直,又因为又因为 所以该所以该四边形的面积四边形的面积:=5.:=5.AC BD AC BD 2222|AC|125|BD|(4)22 5 ，11|AC|BD|52 522 2.2.以以A A为坐标原点为坐标原点,AB,AD,AB,AD所在直线分别为所在直线分别为x x轴轴,y,y轴轴,建建立如图所示的平面直角坐标系立如图所示的平面直角坐标系,设设AB=2,AB=2,则则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).因
31、为因为 =(-1,2),=(-2,-1),=(-1,2),=(-2,-1),所以所以 =(-1)=(-1)(-2)+2(-2)+2(-1)=0,(-1)=0,所以所以 ,即即BECF.BECF.BE CFBE CF BECF【内化【内化悟】悟】用数量积的坐标运算可以解决哪些平面几何问题用数量积的坐标运算可以解决哪些平面几何问题?提示提示:(1)(1)证明垂直问题证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方如证明四边形是矩形、正方形等形等,常用向量垂直的等价条件常用向量垂直的等价条件:abab=0=0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0.=0.(2)(2)求夹角问题求夹角问题,常常
32、利用向量的夹角公式常常利用向量的夹角公式cos=cos=(3)(3)求线段的长度或证明线段相等求线段的长度或证明线段相等,可利用向量的线性可利用向量的线性运算、向量模的公式运算、向量模的公式|a|=.|=.121222221122x xy y.|xyxya ba b22xy【类题【类题通】通】用向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的步骤【习练【习练破】破】已知点已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)(1)求证求证:ABAD.:ABAD.(2)(2)要使四边形要使四边形ABCDABCD为矩形为矩形,求点求点C C的
33、坐标以及矩形的坐标以及矩形ABCDABCD两对角线所夹锐角的余弦值两对角线所夹锐角的余弦值.【解析】【解析】(1)(1)因为因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4),=(1,1),A(2,1),B(3,2),D(-1,4),=(1,1),=(-3,3),=(-3,3),所以所以 =1=1(-3)+1(-3)+13=0,3=0,所以所以 ,即即ABAD.ABAD.AB AD AB AD ABAD (2)(2)因为因为 ,四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形,所以所以 ,设设C C点的坐标为点的坐标为(x,y),(x,y),则由则由 =(1,1),=(x+1,y-4),=(1,1),=(
34、x+1,y-4),得得 解得解得 所以所以C C点的坐标为点的坐标为(0,5),(0,5),ABAD AB DC AB DC x11y41，x0y5，从而从而 =(-2,4),=(-4,2),=(-2,4),=(-4,2),且且 =8+8=16,=8+8=16,则则cos cos 所以矩形的两条对角线的夹角的余弦值为所以矩形的两条对角线的夹角的余弦值为 .AC BD|AC|2 5|BD|2 5.，AC BD AC BD164AC,BD205|AC|BD|，45类型四函数中的向量问题类型四函数中的向量问题【数学情境】【数学情境】求函数求函数f(x)=12 f(x)=12 的最大值的最大值.19x
35、5 x10【转化模板】【转化模板】1.1.观察此函数解析式的特征观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与不难发现其形式与两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似,建立向建立向量模型量模型,尝试利用尝试利用|ab|a|b|求解求解.2.2.设设a=(12,5),=(12,5),b=,=,则则ab=12 =12 (19x,x10)19x5 x10.3.3.已知向量已知向量a=(12,5),=(12,5),b=(),=(),求求ab的最大值的最大值.4.4.因为因为a=(12,5),=(12,5),b=(),=(),所以所以|a|=13,|=13,|b|=3,|=3,ab=12 =12 又因为又因为|ab|a|b|,|,所以所以|ab|13|133=39,3=39,19x,x1019x,x1019x5 x10，当且仅当当且仅当a,b共线时共线时,等号成立等号成立,即即12 12 =0,=0,解得解得x=.x=.即当即当x=x=时时,ab的最大值为的最大值为39.39.5.5.函数函数f(x)=12 f(x)=12 的最大值为的最大值为39.39.x105 19x1 9151691 91516919x5 x10
