1、2.1.2 2.1.2 空间中直线与直线之间空间中直线与直线之间的位置关系的位置关系1.1.熟练掌握异面直线定义；（熟练掌握异面直线定义；（重点重点）2.2.理解掌握空间两直线的位置关系理解掌握空间两直线的位置关系;3.3.熟练掌握平行公理熟练掌握平行公理4 4，并会简单应用，并会简单应用;（重点重点）4.4.理解掌握等角定理及其推论理解掌握等角定理及其推论;5.5.熟练掌握异面直线所成角定义；熟练掌握异面直线所成角定义；6.6.掌握求两异面直线所成角的方法掌握求两异面直线所成角的方法.（难点难点）立交桥立交桥ABCD六角螺母六角螺母两条直两条直线既不线既不平行也平行也不相交不相交mmm图图1
2、 1图图2 2llm一、空间两直线的位置关系一、空间两直线的位置关系 从图中可见，直线从图中可见，直线 l 与与 m 既不相交，也不平行、空既不相交，也不平行、空间中两直线之间的这种关系称为间中两直线之间的这种关系称为异面直线异面直线.lPl 的两条直线叫做的两条直线叫做异面直线异面直线.（既不相交也不平行的两条直线）（既不相交也不平行的两条直线）不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内1.1.异面直线异面直线注：概念应理解为注：概念应理解为:“经过这两条直线无法作出一个平面经过这两条直线无法作出一个平面”.或或:“:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线不可能找到一个平面同时经过这两条直线”
3、注意注意:分别在某两个平面分别在某两个平面内的两条直线不一定内的两条直线不一定 是异是异面直线面直线,它们可能相交它们可能相交,也也可能平行可能平行.判断：判断：直线直线m和和l是异面直线吗是异面直线吗?lm m m ml(1)(1)(2),(2),则则 a a与与b b是异面直线是异面直线,ab(3)a,b(3)a,b不同在平面不同在平面内内,则则a a与与b b是异面直线是异面直线不是不是是是错错错错异面直线的画法异面直线的画法:ab通常用一个或两个平面来衬托异面直线通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平不同在任何一个平面内面内的特点的特点abab下图是一个正方体的展开图，如果
4、将它还原成正方体，那下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么么ABAB、CDCD、EFEF、GHGH这四条线段所在直线是异面直线的有几这四条线段所在直线是异面直线的有几对？对？HGFEDCBA三对三对ABAB与与CDCDABAB与与GHGHEFEF与与GHGH从有无公共点的角度：从有无公共点的角度：有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点-相交直线相交直线在同一平面内在同一平面内-相交直线相交直线从是否共面的角度从是否共面的角度没有公共点没有公共点-平行直线平行直线异面直线异面直线不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内-异面直线异面直线平行直线平行直线空间两条直线的位置关系空间两条直
5、线的位置关系 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行那么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？在空间中，是否有类似的规律？如图如图,长方体长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,BBAA,BBAA,DDAA,DDAA,那么那么BBBB与与DDDD平行吗平行吗?ABCDBCDA公理公理4 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行.公理公理4 4实质上是说实质上是说平行具有传递性平行具有传递性，在平面、空间这个性质，在平面、空间这个性质都适用都适用.公理公理4 4作用：作用
6、：判断空间两条直线平行的依据判断空间两条直线平行的依据.abcbac符号表示：符号表示：设空间中的三条直线分别为设空间中的三条直线分别为a,b,c,a,b,c,若若2.2.空间两平行直线空间两平行直线空间四边形：空间四边形：如图，顺次连接不共面的四点如图，顺次连接不共面的四点A A、B B、C C、D D所组成的四边形所组成的四边形叫做空间四边形叫做空间四边形ABCD.ABCD.ABCD相对顶点相对顶点A A与与C C，B B与与D D的连线的连线ACAC、BDBD叫叫做这个空间四边形的对角线做这个空间四边形的对角线.例例1 1：如图，空间四边形：如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E E
7、、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点的中点.求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形.AB DEFGHC EHEH是是ABDABD的中位线的中位线 EH BDEH BD且且EH=BDEH=BD同理，同理，FG BDFG BD且且FG=BDFG=BDEH FGEH FG且且EH=FGEH=FG四边形四边形EFGHEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形.证明：证明：连接连接BDBD1212解题思想：解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
8、解立体几何时最主要、最常用的一种方法。在平面上在平面上,我们容易证明我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.在空间中在空间中,结结论是否仍然成立呢论是否仍然成立呢?观察思考：观察思考：如图如图,ADC,ADC与与ADCADC、ABCABC与与ABCABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补角相等或互补
9、.ABCDEF定理的推论定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角那么这两组直线所成的锐角(或直角或直角)相等相等.三、两条异面直线所成的角三、两条异面直线所成的角如图所示，如图所示，a、b是两条异面直线，是两条异面直线，在空间中在空间中 一点一点O，过过O点分别作点分别作 a、b的平行线的平行线 a和和 b，abPabO 则这两条线所成则这两条线所成的锐角的锐角（或直角），（或直角），称为称为异面直线异面直线a，b所成的角所成的角.？任选任选Oa平平移移若两条异面直线所成角为若两条异面直线所成角为9090，则称它们互
10、相垂直，则称它们互相垂直.异面直线异面直线a a与与b b垂直也记作垂直也记作ab.ab.异面直线所成角异面直线所成角的取值范围：的取值范围：02（，例例2 2 如图，已知正方体如图，已知正方体ABCDABCDABCD.ABCD.（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解解:（1 1）由异面直线的定义可知，）由异面直线的定义可知，与直线与直线BABA成异面直线的有直线成异面直线的有直线BCBC，AD,CC,D
11、D,DC,DCAD,CC,DD,DC,DC,AB BC CD DA A BB C C D D A (3)(3)直线直线与直线与直线 垂直垂直.AA（2 2）由）由 可知，可知，为异面直线为异面直线 与与 的夹角的夹角,=45 =45所以异面直线所以异面直线 与与 的夹角为的夹角为4545 .BACCBACC/BBCCB BAB BA分别分别1.1.判断判断:（1 1）平行于同一直线的两条直线平行）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2 2）垂直于同一直线的两条直线平行）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3 3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
12、平行平行.（）（4 4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条条.（）（5 5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等这两个角相等.（）（6 6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）2.2.填空：填空：1.1.空间两条不重合的直线的位置关系有空间两条不重合的直线的位置关系有 、三种三种.2.2.没有公共点的两条直线可能是没有公共点的两条直线可能是 直线，也有可
13、能直线，也有可能是是 直线直线.3.3.和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系有关系有 .4 4、过已知直线上一点可以作、过已知直线上一点可以作 条直线与已知直线条直线与已知直线垂直垂直.平行平行相交相交异面异面平行平行异面异面无数无数相交、异面相交、异面ABGFHEDC32322 23.3.如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGHABCD-EFGH中中,AB=,AD=,AE=2.,AB=,AD=,AE=2.(1)(1)求求BCBC和和EGEG所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)(2)求求AEAE和和BGBG所成的角是多少度
14、所成的角是多少度?2 32 3解答：解答：(1)GFBC(1)GFBC EGFEGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtRtEFGEFG中，求得中，求得EGF=45EGF=45BCBC与与EGEG所成角为所成角为4545，o o(2)BFAE(2)BFAE FBGFBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtRtBFGBFG中，求得中，求得FBG=60FBG=60AEAE与与BGBG所成角为所成角为6060.o oABGFHEDC32322不同在任何一个平面内的两条直线叫做不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线异面直线.异面直线的定义异面直线的定义:相交直线相交直线平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系异面直线的画法异面直线的画法用平面来衬托用平面来衬托异面直线所成的角异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角公理：公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行异面直线的求法异面直线的求法:一作一作(找找)二证三求二证三求空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补这两个角相等或互补等角定理：等角定理：不能因为第一次飞翔遇到了乌云风暴，从此就怀疑没有蓝天彩霞。
