1、平面向量的数量积的物理背景平面向量的数量积的物理背景及其含义及其含义向量的夹角向量的夹角 两个非零向量两个非零向量a 和和b，作，作 ，则，则 叫做向量叫做向量a 和和b 的夹角的夹角aOA bOB AOB)1800(OABab OABba若若 ，a 与与b 同向同向 0 OABba若若 ，a 与与b 反向反向 180 OABab 若若 ，a 与与b 垂直垂直 90 ba 记作记作.0,:范围是是同起点的两向量必须两向量的夹角定义注意复习回顾复习回顾问题问题1:一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的的作用下产生的位移位移s，那么力，那么力F 所做的功应当怎所做的功应当怎样计算？样计算？力做
2、的功：力做的功：W=|F|s|cos，是是F与与s的夹角。的夹角。位移位移SOAF一、向量数量积的物理背景一、向量数量积的物理背景问题问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。cosSFW|a|bcos ba功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义说明：说明：已知两个已知两个非零非零向量向量a 和和b，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把，我
3、们把数量数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即，即 cos|ba cos|baba （2）a b中间的中间的“”在向量的运算中不能省略，也不能在向量的运算中不能省略，也不能写写 成成ab，ab 表示向量的另一种运算（外积）表示向量的另一种运算（外积）。规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 00a（1）（3）向量的数量积的结果是一个数量。向量的数量积的结果是一个数量。问题问题3：影响数量积大小的因素有哪些？：影响数量积大小的因素有哪些？a b|a|b|cos这个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。这
4、个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。夹角夹角 的范围的范围 900 9018090的正负ba正正负负0数量积符号由数量积符号由cos 的符号所决定的符号所决定2 2、判断下列说法的正误，并说明理由、判断下列说法的正误，并说明理由错误错误 错误错误正确正确 。是锐角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)4(错误错误。是钝角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)3(正确正确 。是锐角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)1(。是钝角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)2(。是直角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)5(平面向量的数量积的运算性质平面
5、向量的数量积的运算性质问题问题4 4：设：设a与与b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，则，则ab等于多少？等于多少？反之成立吗？反之成立吗？ab ab0问题问题5 5：当：当a与与b同向时，同向时，ab等于什么？当等于什么？当a与与b反向时，反向时，ab等于什么？特别地，等于什么？特别地，aa等于什么？等于什么？当当a与与b同向时，同向时，abab；当当a与与b反向时，反向时，abab；aaa2a2或或a .aa问题问题6 6：ab与与ab的大小关系如何？为什么的大小关系如何？为什么？abab 问题问题7：对于向量：对于向量a，b，如何求它们的夹角，如何求它们的夹角？.cosbaba 12
6、,9,54 2,.ababab 例：已知求与的夹角（）（）a b|a|b|.（）（）ab a b=0.(判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)|.2或a aaaa a特别地，特别地，（）当（）当a与与b同向时，同向时，ab|a|b|；当当a与与b反向时，反向时，ab|a|b|.cos.a bab（）（）平面向量的数量积的运算性质平面向量的数量积的运算性质设向量设向量a、b为两非零向量，则为两非零向量，则1.5,4,120.ababa b 例 已知与 的夹角，求cosa ba b 解：5 4 cos12015 4()102 ,1:平行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330
7、cosBCADBCAD练习练习92ADBCAD或 BCAD.1:,60DAB3,AD4,ABABCD,图求中，在平行四边形如 CDAB.2a ab=b=aab bcoscosBACD60 DAAB.3 且方向相反平行与,.2CDAB180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB162ABCDAB或,60.3的夹角是与ADAB120的夹角是与 DAAB62134120cosDAABDAAB CDAB.2 DAAB.3BACD60120进行向量数进行向量数量积计算时量积计算时,既要考虑向既要考虑向量的模量的模,又又要根据两个要根据两个向量方向确向量方向确定其夹角定其夹角a ab=b
8、=aab bcoscos平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义向量向量a在在b方向上的投影方向上的投影是什么？是什么？投影一定是正数吗？投影一定是正数吗？|b|cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影bOBaOA ，作作，过点，过点B作作1BB垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为 ，则，则1B 1OB|b|cosOABab 1BacosC说明：说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABab 1BBOAab 1BOABab)(1B为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos
9、=0当当 =0 时投影为时投影为|b|当当 =180 时投影为时投影为-|b|.问题问题4 4：根据投影的概念，数量积：根据投影的概念，数量积ab=a|bcos的几何意义是什么？的几何意义是什么？数量积数量积ab等于等于a的模与的模与b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘积，或等于的乘积，或等于b的模与的模与a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘积的乘积.上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8|,4|32024练一练：练一练：类比实数的乘法运算律：()()()a bb
10、 aab ca bcabca ba c 交换律：结合律：分配律：数量积的运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积平面向量的数量积运算律运算律数量积运算不满足乘法结合律。数量积运算不满足乘法结合律。交换律：交换律：abba分配律：分配律：cbcacba)(思考：ab与ba相等吗？为什么？思考：对于非零向量a，b，c，(ab)c表示什么意义？(ab)c与 a(bc)相等吗？为什么？思考：对于向量a，b，c，(ab)c表示什么意义？它与acbc相等吗？为什么？问题问题8:8:我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算
11、律对向量是否也适用？对向量是否也适用？数乘结合律：数乘结合律：(a)b(ab)a(b)()(cbacba注：注：12 1A1BABOabCc2B1|cos|cosOBOBab 11|cosOAa1122|cosABABb 如图可知：如图可知：111112|cos|cos|cosOBOAABabab 12|cos|cos|coscabcac b()abca cb c ()abca cb c ()cabc ac b 判断下列命题或等式的正确与否 若b 0，a b=0，则a=0若a b=b c，(b 0)，则a=ca b0 b0 若若，a0那那么么a bb c b0ac 若若（），那那么么错误错误错
12、误错误错误错误（a b）c=a（b c）)()(cbacba则 222222(1)2(2)ababaa bbababab例、对 任 意 向 量，是 否 有 以 下 结 论：2222()()2(2)()()ababa aa bb ab aaa bbababa aa bb ab bab 2解：（1）（a+b）3646023.abababab例、已知，与 的夹角为，求222266cos6664cos606472aa bb baa bb baabb 解：（a+2 b）(a-3 b)=a4 34ababkakbakb例、已知，与 不共线，为何值时，向量与互相垂直？2222222+039,41 6.91
13、6034ak bak bak bak bakbabkk解：与互 相 垂 直 的 条 件 是（）()=0即小结小结1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是算不同的是，数量积的运算结果是数量数量而不是向量而不是向量.2.实数的运算性质与向量的实数的运算性质与向量的运算性质运算性质不不完全一致，应用完全一致，应用时不要似是而非时不要似是而非.3.常用常用a 求向量的求向量的模模.常用求向量的常用求向量的夹角夹角.a acosa bab
