1、题型一几何图形的折叠与动点问题题型一几何图形的折叠与动点问题压轴题型精讲练压轴题型精讲练目录目录（河南（河南中考中考）类型1 动点或图形的相对位置不定型 考点2 特殊图形的形状不定型 考点3 含参、范围或最值型考考法法 考考法法 动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型11.1.主动点、被动点的定义主动点、被动点的定义:如图,在矩形ABCD中,点E为边BC上的动点,将ABE沿直线AE折叠,点B的对应点为B,其中点B的位置随点E的位置的变化而变化,故定义点E为主动点,点B为被动点.2.2.分类分类:1.1.探究某点落在特殊位置问题探究某点落在特殊位置问题被动点落在特殊位置上被
2、动点落在特殊位置上动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型12.2.图形的相对位置不确定图形的相对位置不确定动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型13.解题技巧:因为这类折叠问题中的折痕通常经过某一定点,所以常利用辅助圆确定某点折叠后的对应点的位置.4.图解:如图,点E为矩形ABCD的边BC上的动点,将ABE沿直线AE折叠,则点B的对应点B落在以点A为圆心、AB长为半径的圆上.动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1例1 如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E
3、为射线DC上的一个动点,把ADE沿AE折叠,当点D的对应点D刚好落在矩形的对称轴上时,线段DE的长为_.【思路分析】1.画图分析.(1)步骤1:根据条件确定被动点的位置.点A是定点,点E是主动点,点D为被动点,线段AD为定长,折叠后点D到定点A的距离等于定长5,所以点D的运动轨迹是圆的一部分;动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1如图(1),以点A为圆心、AD长为半径作A;作出矩形ABCD的两条对称轴,A与这两条对称轴的交点即为被动点D(由图(1)可知有三种情况).动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1(2)步骤2:根据被动点的位置确定主动点的位
4、置.根据折叠的性质可知,DAE=DAE,所以点E在DAD的平分线上,DAD的平分线与射线DC的交点即为点E.2.分情况讨论.(1)情况1:点D落在对称轴PQ上.确定被动点D的位置(根据条件定被动),如图(2);动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1确定主动点E的位置(根据被动定主动),如图(3);动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1确定解法.解法一(“一线三直角”模型法):如图(4),过点D作CD的垂线,分别交CD,AB于点F,G,则FD=DG=,DF=AG.在RtAGD中,AD=5,DG=,动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型
5、类型类型1动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1解法二(“勾股定理”法):如图(4),过点D作CD的垂线,分别交CD,AB于点F,G,则FD=DG=,DF=AG.在RtAGD中,AD=5,DG=,动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1(2)情况2:点D落在对称轴MN上,且在直线AB上方.确定被动点D的位置(根据条件定被动),如图(5);动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1确定主动点E的位置(根据被动定主动),如图(6);动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相
6、对位置不定型类型类型1确定解法.解法一(“一线三直角模型”法):如图(7),由折叠的性质得AD=AD=5,ADE=D=90.由轴对称的性质,得AN=DM=4.在RtAND中,由勾股定理得ND=3,DM=5-3=2.易证ANDDME,动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1解法二(“勾股定理”法):如图(7),由折叠的性质得AD=AD=5,ADE=D=90.由轴对称的性质,得AN=DM=4.在RtAND中,由勾股定理得ND=3,DM=5-3=2.设DE=DE=y,则EM=4-y.在RtDME中,22+(4-y)2=y2,解得y=,即DE=.动点或图形的相对位置不定型动点或图
7、形的相对位置不定型类型类型1(3)情况3:点D落在对称轴MN上,且在直线AB下方.确定被动点D的位置(根据条件定被动),如图(8);动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1确定主动点E的位置(根据被动定主动),如图(9);动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1确定解法.解法一(“一线三直角”模型法):如图(10),过点D作AD的垂线,交DA的延长线于点R,过点E作ESRD于点S,易知四边形DRSE是矩形,ES=DR,DE=RS.动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1在RtARD中,由勾股定理得AR=3,ES=DR=5+3=8
8、.易证ARDDSE,=,即 ,DS=6,DE=RS=4+6=10.动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1解法二(“勾股定理”法):如图(10),过点D作AD的垂线,交DA的延长线于点R,过点E作ESRD于点S,易知四边形DRSE是矩形,ES=DR,DE=RS.在RtARD中,由勾股定理得AR 3,ES=DR=5+3=8.设DE=DE=z,则DS=ME=z-4.根据勾股定理可知ES2+DS2=DE2,即82+(z-4)2=z2,解得z=10.动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1例2 如图,在RtABC中,ACB=90,BAC=60,BC=,点D是
9、射线BC上一动点,作ABD关于直线AD的对称图形,其中点B的对称点为E,连接BE,若CBE=15,则线段BD的长为_.【思路分析】1.画图分析.(1)步骤1:根据条件确定被动点的位置.点A是定点,点D是主动点,点E为被动点,线段AB为定长,作轴对称变换后,点E到定点A的距离等于AB的长,所以点E的运动轨迹是圆的一部分;动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1如图(1),以点A为圆心、AB长为半径作A;作射线BP,使CBP=15,则射线BP与A的交点(非点B)即为被动点E.(由图(1)可知有两种情况).动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1(2)步骤
10、2:根据被动点的位置确定主动点的位置.根据轴对称的性质可知,DAE=DAB,所以点D在EAB的平分线上,EAB的平分线与射线BC的交点即为点D.2.分情况讨论.(1)情况1:射线BE在射线BC的下方.确定被动点E的位置(根据条件定被动),如图(2);动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1确定主动点D的位置(根据被动定主动),如图(3);动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1确定解法.如图(4),在RtABC中,ACB=90,BAC=60,BC=,AB=2,ABC=30.由轴对称的性质可得,AE=AB,EAD=BAD,AEB=ABE=30+15=4
11、5,BAE=90,BAD=BAE=45.动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1过点D作DFAB于点F,则ADF=DAF=45,AF=DF.设DF=AF=x,则BF=DF=x,BD=2DF=2x.AB=AF+BF,2=x+x,解得x=-1,BD=2x=2 -2.动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1(2)情况2:射线BE在射线BC的上方.确定被动点E的位置(根据条件定被动),如图(5);动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1确定主动点D的位置(根据被动定主动),如图(6);动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型
12、类型类型1确定解法.如图(7),在RtABC中,ACB=90,BAC=60,BC=,AB=2,ABC=30.CBE=15,ABE=15=DBE.设AD,BE交于点H.点E,B关于直线AD对称,ADBE.易证ABHDBH,BD=AB=2.动点或图形的相对位置不定型动点或图形的相对位置不定型类型类型1解决动点或图形的相对位置不定型问题的步骤解决动点或图形的相对位置不定型问题的步骤1.确定被动点的位置:借助辅助圆确定被动点的位置及所有可能的情况;2.确定主动点的位置:在每种情况中,根据被动点的位置确定主动点的位置;3.确定解法:借助勾股定理、相似三角形或三角函数等,分情况进行求解.高分技法高分技法特
13、殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2这类问题是指特殊图形的边、角或对角线不确定,包括:(1)折叠后所得直角三角形中,不确定哪个内角是直角;(2)折叠后所得等腰三角形中,不确定哪条边是底边;(3)折叠后所得相似三角形中,不确定哪组角是对应角或哪组边是对应边;(4)折叠后所得四边形中,不确定所给的线段是边还是对角线.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(一)单动点的等腰三角形的形状不定型解题技巧:先利用“两圆一线”,确定等腰三角形的第三个顶点(即动点)的位置,再结合图形自身特点,寻求解题方法.图解:如图,在直线l上找一点C,使以点A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形.方法
14、:作“两圆一线”,“两圆”为分别以点A,B为圆心、AB的长为半径的圆,“一线”为线段AB的垂直平分线,它们与直线l的交点,即为要找的点C.一、等腰三角形的形状不定型一、等腰三角形的形状不定型特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2例3 如图,在矩形ABCD中,AD=13,AB=24,点E是边AB上的一个动点,将CBE沿直线CE折叠,得到CBE,连接AB,DB,若ADB为等腰三角形,则BE的长为_.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2【思路分析】1.画图分析.(1)步骤1:根据条件确定被动点的位置.点C是定点,点E是主动点,点B为被动点,线段BC为定长,折叠后点B到定点C
15、的距离等于线段BC的长,所以点B的运动轨迹是圆的一部分;如图(1),以点C为圆心、BC长为半径作C;作线段AD的垂直平分线,分别以点A,D为圆心、AD的长为半径作圆,这“两圆一线”与C在BC左侧的交点即为点B.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(2)步骤2:根据被动点的位置确定主动点的位置.根据折叠的性质可知,BCE=BCE,所以点E在BCB的平分线上,BCB的平分线与边AB的交点即为点E.2.分情况讨论.(1)情况1:DB=AD,且点B在CD下方.确定被动点B的位置(根据条件定被动),如图(2);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定主动点E的位置(根据被动定
16、主动),如图(3);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定解法.如图(4),过点B作CD的垂线,分别交AB,CD于点N,M.易知D和C的半径相等,BC=BD,DM=CM=12.在RtBCM中,BM=5,BN=13-5=8.CBM+NBE=90,CBM+BCM=90,NBE=BCM,cosNBE=cosBCM,即 ,BE=,BE=.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(2)情况2:DB=AD,且点B在CD上方.确定被动点B的位置(根据条件定被动),如图(5);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定主动点E的位置(根据被动定主动),如图(6);特殊图形
17、的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定解法.如图(7),过点B作CD的垂线,分别交AB,CD于点N,M.易知CM=12,BC=13,在RtBMC中,BM=5,BN=5+13=18.EBN+MBC=90,BCM+MBC=90,BCM=EBN,cosBCM=cosEBN,即 ,BE=,BE=.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(3)情况3:DB=AB,且点B在线段AD的垂直平分线上.确定被动点B的位置(根据条件定被动),如图(8);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定主动点E的位置(根据被动定主动),如图(9);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型
18、类型2确定解法.如图(10),过点B作CD的垂线,分别交AB,CD于点Q,P,则BP=BQ=,sinPCB=,PCB=30.QBE+PBC=90,PCB+PBC=90,QBE=PCB=30,BE=,BE=.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(二)双动点的等腰三角形的形状不定型解题技巧:先大致确定图形形状,再利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角三角形,最后利用相似三角形、“同(等)角的同种三角函数值相同”或勾股定理进行求解.图解:如图(1),在矩形ABCD中,点P在对角线AC上从点A向点C运动,同时点Q在CB上从点C向点B运动,两点的运动速度相同,何时CPQ是等腰三角形?特殊
19、图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2方法:如图(2),QP=QC,过点Q作QEAC于点E,则cosQCE=cosACB,所以 ;如图(3),CP=CQ;如图(4),PC=PQ,过点P作PFBC于点F,则cosPCF=cosACB,所以 .特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2例4 如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E是AB上一动点,点F是AD上一动点(不与点D重合),连接EF,把AEF沿直线EF折叠,使点A的对应点A总落在DC边上,连接CE.若AEC是以AE为腰的等腰三角形,则AF的长为_.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2【思路分析】1.情况
20、1:AC=AE.(1)画图分析.确定被动点A和主动点E的位置:在CD上取一点A,以点A为圆心、AC为半径作圆,交AB于点E,再以点E为圆心、AE为半径作圆,当该圆经过点A时,点A和点E的位置即可确定,如图(1);确定主动点F的位置:根据AEF=AEF,可知EF是AEA的平分线,作AEA的平分线,即可确定点F的位置.图（1）特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(2)确定解法.如图(2),连接AA,过点E作EGCD于点G,则EG=1.AC=AE=AE,AB=CD,BE=AD.设AF=AF=x,BE=AD=y,则DF=1-x,AE=AE=AC=2-y,CG=y,AG=2-2y.易证DA
21、A=FEA,tanDAA=tanFEA,即 易证DFA=GAE,tanDFA=tanGAE,即 由可得2y-y2=1-2y+2y2,解得y1=1,y2=,x1=1(不合题意,舍去),x2=,AF=.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型22.情况2:AE=CE.(1)画图分析.确定被动点A和主动点E的位置:由EC=EA=EA,可知点E在线段AC的垂直平分线上,作出线段AC的垂直平分线,即可确定点E的位置,再以点E为圆心、CE长为半径作圆,该圆与CD的交点(非点C)为点A,如图(3);确定主动点F的位置:根据AEF=AEF,可知EF是AEA的平分线,作AEA的平分线,即可确定点F的位置
22、.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(2)确定解法.如图(4),连接AA,过点E作EHCD于点H,则AH=CH,EH=1.设AF=AF=x,AD=y,则DF=1-x,AC=2-y,AH=CH=1-,AE=DH=y+1-=1+.易证DAA=FEA,tanDAA=tanFEA,即 ,x=y+.易证DFA=HAE,tanDFA=tanHAE,即 ,x=1 .由可得 ,解得y=,x=,AF=.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2二、直角三角形的形状不定型(一)单动点的直角三角形的形状不定型解题技巧:先利用“两线一圆”,确定直角三角形第三个顶点(即动点)的位置,再结合图形自
23、身特点,寻求解题方法.图解:如图,在直线l上找一点C,使ABC为直角三角形.方法:作“两线一圆”,“两线”为分别过点A,B的AB的垂线,“一圆”为以AB为直径的圆,它们与直线l的交点,即为要找的点C.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2二、直角三角形的形状不定型例5 2020开封一模如图,在RtABC中,C=90,A=30,AB=8,点D,E分别为AC,BC的中点,点F为AB边上一动点,将A沿着直线DF折叠,点A的对应点为点G,且点G始终在直线DE的下方,连接GE,当GDE为直角三角形时,线段AF的长为_.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2【思路分析】1.画图分析
24、.(1)步骤1:根据条件确定被动点的位置.点D是定点,点F是主动点,点G为被动点,线段AD为定长,折叠后点G到定点D的距离等于线段AD的长,所以点G的运动轨迹是圆的一部分;如图(1),以点D为圆心、AD长为半径作D;作线段DE的“两线一圆”,即分别过点D,E作DE的垂线,以DE为直径作圆,这“两线一圆”与D在直线DE下方的交点即为点G.(2)步骤2:根据被动点的位置确定主动点的位置.根据折叠的性质可知,ADF=GDF,所以点F在ADG的平分线上,ADG的平分线与边AB的交点即为点F.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型22.分情况讨论.(1)情况1:GDE=90,即DGDE.确定被
25、动点G的位置(根据条件定被动),如图(2);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定主动点F的位置(根据被动定主动),如图(3);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定解法.在RtABC中,A=30,AB=8,AC=ABcosBAC=8cos 30=4 ,AD=2 .如图(4),设DG与AB交于点H.点D,E分别为AC,BC的中点,DEAB,DGAB.又DAH=30,DH=,ADH=60,ADF=GDF=30=DAF,AF=DF=2.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(2)情况2:当DEG=90,即DEEG时,DE=AB=4,DG=AD=2 ,DE
26、DG,过点E的DE的垂线与D无交点,如图(5),故此情况不存在.(3)情况3:DGE=90,即DGEG.确定被动点G的位置(根据条件定被动),如图(6);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定主动点F的位置(根据被动定主动),如图(7);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定解法.如图(8),DG=DC,DE=DE,DCE=DGE=90,DCEDGE,GDE=CDE=30,ADF=GDF=60.又A=30,AFD=90,AF=ADcos A=2 cos 30=3.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(二)双动点的直角三角形的形状不定型解题技巧:先大
27、致确定图形形状,再利用“相似”、“同(等)角的同种三角函数值相同”或勾股定理进行求解.图解:如图(1),在矩形ABCD中,点P在对角线AC上从点A向点C运动,同时点Q在CB上从点C向点B运动,两点的运动速度相同,何时CPQ是直角三角形?特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2方法:如图(2),CQP=90,由cosPCQ=cosACB,得 ;如图(3),CPQ=90,由cosQCP=cosACB,得 .特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2例6 2020郑州适应性测试如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,对角线AC,BD相交于点O,点E是AD边上一动点(不与点A,D
28、重合),将AEO沿直线EO折叠,点A落在点F处,线段EF,OD相交于点G.若DEG是直角三角形,则线段DE的长为_.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2【思路分析】1.画图分析.(1)如图(1),过点O作OHAD于点H,则点O到EF的距离等于OH的长,故以点O为圆心、OH的长为半径作圆,交AC于点M,该圆与直线EF相切.以点O为圆心、OA的长为半径作圆;(2)过 上一点作小圆O的切线,该切线与AD的交点为E,与 的交点为F,与BD的交点为G;(3)根据RtDGE中DGE=90或DEG=90,分情况画出图形.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型22.分情况讨论.(1)情
29、况1:DGE=90,即EFBD.确定点E,F,G的位置:过BD与小圆O的交点作小圆O的切线,该切线与AD交于点E,与 交于点F,切点即为点G,如图(2).特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(2)情况2:DEG=90,即EFAD.确定点E,F,G的位置:在小圆O的右侧作一条竖直的与小圆O相切的直线,交AD于点E,交BD于点G,交 于点F,如图(4).特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定解法.如图(5),易知HE=OH=,DE=DH-HE=.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2三、相似三角形的形状不定
30、型解题技巧:此类问题一般已知一组对应角,再分两种情况讨论.方法一:根据对应角相等分类求解;方法二:根据对应线段成比例分类求解.例7 2018河南B卷如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,点F为射线AD上一动点,AEF与AEF关于EF所在直线对称,连接AC,分别交EA,EF于点M,N,AB=2 ,AD=2.若EMN与AEF相似,则AF的长为_.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2【思路分析】1.画图分析.(1)点E是定点,点F是主动点,点A,M,N均为被动点,线段AE为定长,易知AE=AE,所以点A的运动轨迹是以点E为圆心,AE的长为半径的圆的一部分,EF,EA分别与AC交于点
31、N,M.(2)以点E为圆心、AE的长为半径作E.(3)根据EMN与AEF相似,可知EMN与AEF相似,则可分两种情况:NME=90,即EAAC(如图(1);MNE=90,即EFAC(如图(2).特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型22.分情况讨论.(1)情况1:NME=90,即AEAC.确定被动点A,M的位置,如图(3);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定主动点F、被动点N的位置,如图(4);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(2)情况2:MNE=90,即EFAC.确定主动点F、被动点N的位置,如
32、图(6);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定被动点A,M的位置,如图(7);特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2四、特殊四边形的形状不定型解题技巧:此类问题一般已知一条线段为定线段,再分两种情况讨论.情况一:该线段为特殊四边形的边;情况二:该线段为特殊四边形的对角线.例8 如图,在RtABC中,BCA=90,BAC=30,BC=1,点P为AB边上一动点(不与点A,B重合),点M为AC的中点,连接PC,PM,作PCM关于直线PM的对称图形,点C的对应点为C,连接AC,当以点A,M,P,C为顶点的四边形为平行四边形
33、时,BP的长为_.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2【思路分析】1.画图分析.(1)点M是定点,点P是主动点,点C为被动点,线段MC为定长,由折叠的性质可知MC=MC,所以点C的运动轨迹是以点M为圆心、MC的长为半径的圆的一部分;(2)如图(1),以点M为圆心、MC的长为半径作M.(3)根据以点A,M,P,C为顶点的四边形为平行四边形,可知分两种情况讨论:AM为平行四边形的边;AM为平行四边形的对角线.特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型22.分情况讨论.(1)情况1:定线段AM是平行四边形的边,即PCMA.确定主动点P的位置:PC CM,四边形CMCP是平行四边形
34、.又MC=MC,四边形CMCP是菱形,CP=CM.过点C作AB的垂线,点C到垂足之间的距离为 AC=CM,该垂足即为点P,如图(2).确定被动点C的位置:过点P作AC的平行线,该线与M的交点(位于点P右侧)即为点C,如图(3).特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2(2)情况2:定线段AM是平行四边形的对角线,即APMC.确定被动点C的位置:APCM,过点M作AB的平行线,该线与M在右下侧的交点即为点C,如图(5).特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2确定主动点P的位置:连接AC,过点M作AC的平行线,该线与AB的交点
35、即为点P,如图(6).特殊图形的形状不定型特殊图形的形状不定型类型类型2含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3一、含参问题解题技巧:解决含参问题,关键是根据题意画出各种情况的图形,再利用相似三角形、三角函数或勾股定理列出关于参数的方程进行求解.例9 如图,在边长为a的正方形ABCD中,点E为射线DA上一动点(不与点A重合),连接CE,以直线CE为对称轴作点D的对称点D,连接DE,DC,DA,DB.当ABD是以AD为底边的等腰三角形时,AE=2,则a的值为_.含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3【思路分析】1.画图分析.(1)点C是定点,点E是主动点,点D是被动点,线段CD为定
36、长,由轴对称变换可知DC=DC,所以点D的运动轨迹是以点C为圆心、CD的长为半径的圆的一部分.(2)如图(1),以点C为圆心、CD的长为半径作C.由AD是等腰三角形的底,可知AB=BD,故以点B为圆心、AB的长为半径作圆,该圆与C的交点即为点D.含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型32.分情况讨论.(1)情况1:BA=BD,且点D在BC的左侧.确定被动点D的位置(根据条件定被动),如图(2).含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3确定主动点E的位置(根据被动定主动):作DCD的平分线,该线与AD的交点即为点E,如图(3).含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3含参、范围
37、或最值型含参、范围或最值型类型类型3含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3(2)情况2:BA=BD,且点D在BC的右侧.确定被动点D的位置(根据条件定被动),如图(5).含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3确定主动点E的位置(根据被动定主动):作DCD的平分线,该线与射线DA的交点即为点E,如图(6).含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3解法二:如图(7),BD=AB=BC=CD=CD,DBC是等边三角形,DCB=60,DCD=150,DCE=DCE=75.根据tan 75=2+,tanDCE=,可得 ,解得a=-1.含
38、参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3说明:熟记15或75角的正切值及其推导方法有助于快速解决问题.在RtABC中,ABC=30,AC=1,在CB的延长线上截取一点D,使BD=AB,连接AD,如图(1).含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3在RtADC中,ADC=15,AC=1,作AD的垂直平分线,交CD于点B,连接AB,如图(2).含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3(一)单动点范围问题解题技巧:此类问题一般先根据被动点的运动特征,作出辅助圆,利用辅助圆分析符合题意的运动过程,再分析临界情况,进而得到相关线段或角度的取值范围.例10 2020许昌二模如图,在RtAB
39、C中,ABC=90,AB=3,BC=4,点D是边AC上一动点(不与点A,C重合).连接BD,将ABD沿直线BD折叠,点A落在A处,当点A在ABC的内部(不含边界)时,AD长度的取值范围是_.二、范围问题含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3【思路分析】1.画图分析.(1)点B是定点,点D是主动点,点A是被动点,线段AB为定长,由折叠的性质可知AB=AB,所以点A的运动轨迹是以点B为圆心、AB的长为半径的圆的一部分.(2)如图(1),以点B为圆心、AB的长为半径作B,分别交AC,BC于点M,N.由点A在ABC的内部(不含边界)运动,故当点A在 上(不含点M,N)运动时符合题意.含参、范围
40、或最值型含参、范围或最值型类型类型32.分临界情况讨论.(1)临界情况1:当点A是B与AC的交点时,作ABA的平分线,该线与AC的交点即为点D,如图(2).含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3如图(3),BA=BA,BD平分ABA,BDAC.(2)临界情况2:当点A是B与BC的交点时,作ABA的平分线,该线与AC的交点即为点D,如图(4).含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3如图(5),易知ABD=ABD=ABC=45.过点D作DEAB于点E,则DE=BE.含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3(二)双动点范围问题解题技巧:连接定点和其对应点,作所连线段的垂直平分线
41、,则该线即为动直线,可根据对应点在某条线上的运动情况,确定所求线段的取值范围.图解:如图(1),点E,F分别为矩形ABCD的边AB,BC上的动点,将BEF沿直线EF折叠,使点B的对应点B落在边AD上,如何确定BE的取值范围?含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3方法:将点B看作AD上的动点,连接BB,作线段BB的垂直平分线,该线与AB,BC的交点分别为点E,F.如图(2),移动点B使直线EF经过点A,此时BE有最大值;如图(3),移动点B使直线EF经过点C,此时BE有最小值.含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3例11 如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=2 ,B=4
42、5,点E,F分别是边AB,BC上的动点(含端点),将BEF沿EF所在直线折叠,使点B落在直线AD上的点B处,则 DB的长的取值范围是_.含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3【思路分析】1.画图分析.(1)如图(1),连接BB,作线段BB的垂直平分线,该线与AB的交点为E,与BC的交点为F,此时点B相当于主动点,点E,F相当于被动点.(2)移动主动点B,随着点B的运动,找到直线EF的临界位置,即当直线EF经过点A时(如图(2)和当直线EF经过点C时(如图(3).含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型32.分临界情况讨论.(1)临界情况1:当点E与点A重合时,DB最短,如图(4),
43、此时 DB=AD-AB=AD-AB=2 -2.(2)临界情况2:当点F与点C重合时,DB最长,如图(5),过点C作CMAD于点M,D=B=45,CD=AB=2,DM=CM=.在RtBMC中,BC=2 ,CM=，BM=BD=MD+BM=.含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3三、最值问题(一)两点之间线段最短例12 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点M是AD边的中点,点N是AB边上的一动点,作AMN关于直线MN的对称图形,点A的对应点为A,连接AC.在MN上有一动点P,连接AP,CP,则APC周长的最小值是_.含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3【思路分析】1.画图
44、分析.由轴对称变换可知MA=MA,点A在以点M为圆心、MA的长为半径的圆上运动,点N为主动点,点A,P为被动点,分三步确定动点位置:先判断点P的大致位置:由AP=AP,可知当A,P,C三点共线时,AP+PC有最小值,即AP+PC有最小值,最小值为AC的长,如图(1);含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3再定点A的位置:由点A在以点M为圆心、MA的长为半径的圆上运动,可知当M,A,C三点共线时,AC有最小值,最小值为MC-MA,如图(2);最后定主动点N的位置及被动点P的具体位置:作AA的垂直平分线或AMA的平分线,与AB的交点即为点N,MN与AC的交点为点P,如图(3).含参、范围或
45、最值型含参、范围或最值型类型类型3含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3“两点之间线段最短两点之间线段最短”最值问题的常见类型最值问题的常见类型1.两定一动(1)如图(1),在直线l两侧各有一个定点A,B,在直线l上求作点P,使得PA+PB的值最小.构图:连接AB,AB与直线l的交点即为点P,如图(2)所示.高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3(2)如图(3),在直线l同侧有两个定点A,B,在直线l上求作点P,使得PA+PB的值最小.构图:作点A关于直线l的对称点A,连接AB,AB与直线l的交点即为点P,如图(4)所示.高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、
46、范围或最值型类型类型3(3)如图(5),在直线l同侧有两个定点A,B,在直线l上求作点P,使得|PA-PB|的值最大.构图:连接BA并延长,BA的延长线与直线l的交点即为点P,如图(6)所示.高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3(4)如图(7),在直线l两侧各有一个定点A,B,在直线l上求作点P,使得|PA-PB|的值最大.构图:作点B关于直线l的对称点B,连接AB并延长,AB的延长线与直线l的交点即为点P,如图(8)所示.高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3(5)延伸:如图(9),在直线l同侧有两个定点A,B,在直线l上求作点P,使得|PA
47、-PB|的值最小.构图:连接AB,作线段AB的垂直平分线,该线与直线l的交点即为点P,此时|PA-PB|=0,如图(10)所示.高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型32.一定两动(1)如图(11),点P在AOB的内部,在OA上求作一点C,在OB上求作一点D,使PCD的周长最小.构图:分别作点P关于OA,OB的对称点P,P,连接PP,分别交OA,OB于点C,D,此时PCD的周长最小,最小值即为PP的长,如图(12)所示.高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3(2)如图(13),点P在AOB的内部,在OA上求作一点C,在OB上求作一点D,使PD+CD
48、的值最小.构图:作点P关于OB的对称点P,过点P作PCOA,交OB于点D,交OA于点C,此时PD+CD的值最小,最小值即为PC的长,如图(14).高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型33.两定两动如图(15),点P,Q在AOB的内部,在OA,OB上分别求作点C,D,使得四边形PCDQ的周长最小.构图:作点P关于OA的对称点P,作点Q关于OB的对称点Q,连接PQ,分别交OA,OB于点C,D,此时四边形PCDQ的周长最小,最小值为PQ+PQ,如图(16)所示.高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型34.两定点两定直线:在直线m,n上分别求作点P,Q,使
49、得PA+PQ+QB的值最小.(1)如图(17),A,B两点在两直线的外侧.构图:连接AB,分别交直线m,n于点P,Q,此时PA+PQ+QB的值最小,如图(18).高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3(2)如图(19),点B在两直线内侧,点A在两直线外侧.构图:作点B关于直线n的对称点B,连接AB,分别交直线m,n于点P,Q,此时PA+PQ+QB的值最小,最小值为AB的长,如图(20).高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3(3)如图(21),A,B两点都在两直线内侧.构图:作点A关于直线m的对称点A,作点B关于直线n的对称点B,连接AB,分别交
50、直线m,n于点P,Q,此时PA+PQ+QB的值最小,最小值为AB的长,如图(22).高分技法高分技法含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3(二)垂线段最短例13 2019平顶山三模如图,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=120,点E,F分别是边AB,BC上的动点,将BEF沿直线EF折叠,使点B的对应点B始终落在边CD上,则A,E两点之间的最大距离为_.含参、范围或最值型含参、范围或最值型类型类型3【思路分析】由折叠的性质,可知EB=EB,当BE的值最小,即BE的值最小时,AE的值最大.点E是边AB上的动点,点B是边DC上的动点,根据“垂线段最短”可确定当BEDC时,BE最小,最终将问
