1、一、梯度复习:沿任意方向 l 的方向导数存在,001()()cosniiif xf xxl且有若 n 元函数 f 在点 可微，0 x则函数在该点12(cos,cos,cos)lne为l 方向上其中的单位向量。方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：00012()()(),nf xf xf xgxxx0(),lf xg el 0()maxf xglcos(,)lgg e 001()()cosniiif xf xxl12(cos,cos,cos)lne当与 的方向一致时，legg1.定义定义0(),grad f x即00()()grad f xf
2、 x 0(),f x或或其中称为向量微分算子或 Nabla算子.00012()()(),nf xf xf xgxxx设函数则称向量12()(,)nuf xf x xx在点 可微，0 x00012()()(),nf xf xf xxxx为函数 f(gradient),在点 处的梯度向量，简称梯度0 x记作00012()()(),nf xf xf xxxx12,nxxx 其中称为向量微分算子或 Nabla算子.它本身没有意义，将 作用于函数 f 就得到一向量，即0()f x00012()()(),nf xf xf xxxx同样可定义二元函数),(yxf),(yxP),(,),(),(yxfyxfy
3、xffyxgrad在点处的梯度 注：1.方向导数可以表示成：000()(),(),llf xgradf xef xel 2.若记，则利用梯度可将12(,)ndxdx dxdxf 在点 x 处的全微分写成：()(),df xf x dx 方向导数公式001()()cosniiif xf xxl例1.求二元函数22uxxyy在点 P（-1，1）处沿方向1(2,1)5le 的方向导数，并指出u 在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u 沿哪个方向减小的最快？沿着哪个方向u 的值不变化？解：(1,1)(1,1)(1,1)(,)(2,2)(3,3)uuxyuxyyx(1,1)(1,
4、1)13,(63)55luuel (1)方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向，方向导数的最大值为(1,1)3 2.uu 沿梯度的负向即的方向减小的最快。1(1,1)21(1,1)2量为(2)(3)下面求使 u 的变化率为零的方向.令(cos,sin)le则：(1,1)(1,1),3cos3sinluuel 3 2sin()4令0ul得,44，此时u 的值不变化。例例2.设函数设函数解:(1)点P处切平面的法向量为0)1(0)1()1(2zyx032 yx在点 P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即zyxzyxf2),(2)求函数 f 在点 P(1,1,1)沿增加最快方向的方
5、向导数.(1)求等值面 2),(zyxf)0,1,2(2)函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0,1,2()(Pfn思考:f 在点P处沿什么方向变化率为0?注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多)(Pf2.梯度的运算法则梯度的运算法则ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad)(3)uvvuvugradgradgrad)(4)uufufgradgrad)()()6(00)1(cc或grad为常数）c(ucuc)(或vuvu)(或uvvuvu)(或uufuf)()(或2)()5(vvuuvvugra
6、dgradgrad2)(vvuuvvu或uufufgradgrad)()()6(uufuf)()(或证明：设12()(,)nuu xu x xx由一元函数的链式法则，有()f u12()()(),nf uf uf uxxx12(),(),()nuuuf uf uf uxxx12(),()nuuuf uf uuxxx例例3.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证:xrf)()(rf yrf)()(rf gradrzrfzrf)()(xrrf)(222zyxxPxOzy,)(ryrf 试证rxrf)(.)()(rerfrfradg处矢径 r 的模,rixrf)(jyrf)(kzrf
7、)()(1)(kzjyixrrfrrrf1)(rerf)(例例4.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu),(zyxP试证证:利用例3的结果 这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.Eugrad)4(2rerqE 场强rerqu4gradrerq24Ererfrf)()(grad二、高阶偏导数1.定义如果 n 元函数()uf x的偏导函数()if xx在点 对变量 的偏导数存在，则称这个偏导0 xjx数为f 在点 先对变量 再对变量 的二阶偏导0 xixjx数，记为：020()()jijix xf xfxxxx 或0()ijx xfx或(2)
8、0()ijfx其中1,1injn 例如：二元函数 z=f(x,y)的二阶偏导数共有四个，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy按求导顺序不同,有22xz);,(yxfxx2zy x ),(yxfyx2(,);y xzfx yx y x其中 和 为二阶混合偏导数。(,)x yfx y(,)yxfx y类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶)(y1nnzy x 偏导数为11nnxz二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。yxe22例
9、例5.求函数求函数yxez2.23xyz解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy反例：反例：),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0,0
10、22 yx,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理定理.例如,对三元函数 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)证明 例例6.证明函数证明函数22222)(yxxy22222)(yxxy22lnyxz满足拉普拉斯02222yzxz证：xz22xz2222yzxz方程22yxx22222)(2yxxxyx0yz22yxy22yz22222)(2yxyyyx22222)(yxyx22222)(yxyx例例7.证明函数证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：xu22xu利用对称性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0
