1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题1.理解空间角、空间距离的概念.2.会用向量法求空间角.3.会用向量法求空间距离.高中数学 选择性必修第一册 人教A版1.直线外一点到直线的距离如图,直线l的单位方向向量为u,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(au)u.在RtAPQ中,由勾股定理,得点P到直线l的距离PQ=.AP AP AQ22|-|APAQ 22-()aa u用空间向量研究距离如图,已知平面的法向量为n,A是平面内的定点,P是平面外一点,过点P作平面的垂线l,交平面于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面的距离PQ=.AP|nn|AP nn|AP|nn 2.平面外一点到平面的距离
2、空间角向量求法空间角的范围异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为,其方向向量分别是u,v,则cos=|cos|=直线与平面所成的角设直线AB与平面所成的角为,直线AB的方向向量为u,平面的法向量为n,则sin=|cos|=|u vu v|u vu v0,2|u nu n|u nu n0,2用空间向量研究空间角续表空间角向量求法空间角的范围两个平面的夹角若平面,的法向量分别是n1,n2,则平面与平面的夹角即为向量n1,n2的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为,则cos=|cos|=1212|nnn n1212|nnn n0,21.直线与平面所成的角和该直线的方向向量与平面的法向量的夹角互
3、余.()提示:当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是锐角时,直线与平面所成的角与其互余.2.若一条直线在某一平面外,则该直线上任一点到平面的距离d必为一个正数.()提示:直线在平面外也有可能与平面相交.当直线与平面相交时,该说法不成立.3.平面的斜线与平面所成的角是锐角.()4.直线与平面所成角的范围是.()5.若两个平面的法向量分别为n1,n2,则这两个平面的夹角与两个法向量的夹角一定相等.()提示:也可能互补.6.设n是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,则点B到的距离为d=.()提示:当A在平面内,B在平面外时结论才正确.0,2|AB|nn 判断正误，正确的画“”，错误的画“”。用空间向
4、量研究距离问题用向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题,即利用待定系数法求出垂足的坐标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法.(2)直接套用点线距公式求解.注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.点面距、线面距、面面距的求解方法线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.点面距的求解步骤:(1)过已知点求出该平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.两条异面直线之间的距离也可以转化
5、为点到平面的距离.已知正方形ABCD的边长为1,PD平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.思路点拨思路一:(1)先建立合适的空间直角坐标系,再作DH平面PEF,垂足为H,由线面垂直关系求得的坐标,从而求出的模,即点D到平面PEF的距离.(2)设AH平面PEF,求出|即可.思路二:(1)求出平面PEF的法向量n,利用公式d=求点D到平面PEF的距离.(2)由AC平面PEF,将直线AC到平面PEF的距离转化为点A到平面PEF的距离求解.DH DH AH|DE|nn 解析解法一:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
6、则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E,F .11,021,1,02=,=,=(0,0,1),作DH平面PEF,垂足为H,则=x+y+z=,其中x+y+z=1,=,=,=x+y+-z=x+y-z=0.同理,=x+y-z=0,又x+y+z=1,x=y=,z=.=,|=.因此,点D到平面PEF的距离为.(2)设AH平面PEF,垂足为H,则,由(1)知=,DE 11,02DF1,1,02DP DH DE DFDP 11,22xyxy zPE 11,-12PF 1,1,-12DH PE 121212xy54DH PF 54417917DH 669,17 17 17DH 3 1717
7、3 1717AHDH DH 669,17 17 17所以设=(2,2,3)=(2,2,3)(0),则=+=+(2,2,3)=.=42+42-+92=0,即=.=(2,2,3)=,|=.又AC平面PEF,AC到平面PEF的距离为.解法二:(1)由解法一建立的空间直角坐标系知=,=,=,设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),则解得令x=2,则n=(2,2,3),AHEHEA AH10,-,0212,2-,32AHEH117AH117223,17 17 17AH17171717EF 1 1-,02 2PE 11,-12DE 11,02EF0,PE0nn11-0,221-0,2xyxy z,3,2
8、yxzx点D到平面PEF的距离d=.(2)AC平面PEF,直线AC到平面PEF的距离即点A到平面PEF的距离.又=,点A到平面PEF的距离d=.直线AC到平面PEF的距离为.|DE|nn|21|4493 1717AE 10,02|AE|nn 11717171717利用空间向量求空间角利用向量法求空间角时,要注意空间角的范围与向量夹角范围的区别.1.两异面直线所成角的向量求法(1)取定基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法.在由公式cos=求向量a、b的夹角时,关键是求出ab及|a|与|b|,一般是把a、b用一个基底表示出来,再求有关的量.(2)用坐标法求异面直线的夹
9、角的方法:建立恰当的空间直角坐标系;找到两条异面直线的方向向量并写出其坐标形式;利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.2.求直线与平面的夹角的方法与步骤方法一:求出直线在平面内的射影的方向向量,将直线与平面的夹角转化为两向量夹角计算.|a ba b方法二:利用平面的法向量求直线与平面的夹角,基本步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量;(3)求平面的法向量n;(4)计算:设线面角为,则sin=.3.两个平面夹角的向量求法设n1,n2分别是平面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角,用坐标法的解题步骤如
10、下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系;(2)求法向量:在建立的坐标系下求两个面的法向量n1,n2;(3)计算:cos=.AB|AB|AB|nn 1212|nn|n|n利用空间向量解决空间角的探索性问题1.利用向量解决与空间角有关的探索性问题的步骤(1)假设存在(或结论成立);(2)建立空间直角坐标系,列出空间点的坐标;(3)构建有关向量;(4)结合空间向量,利用空间角的计算公式列方程求解;(5)作出判断.2.空间角的探究性问题要注意两个方面(1)空间角的正确表示,即利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间角时要注意两者的准确转化,如线面角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量
11、夹角余弦值的绝对值等;(2)利用方程判断存在性时,要特别注意题中的条件限制.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,ABAC,M,N,Q分别是CC1,BC,AC的中点,点P在线段A1B1上运动,且=(0,1).(1)证明:无论取何值,总有AM平面PNQ;(2)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC的夹角为60?若存在,试确定点P的位置,若不存在,请说明理由.1AP11AB 解析(1)证明:如图,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),M,N,Q,则=(1,0,0)
12、,由=(1,0,0)=(,0,0),可得点P(,0,1),所以=,=.又=,所以=0+-=0,=0+-=0,所以,.即AMPN,AMPQ,又PNPQ=P,且PN,PQ平面PNQ,所以AM平面PNQ,所以无论取何值,总有AM平面PNQ.10,1,21 1,02 210,0211AB 1AP11AB PN 11-,-122PQ 1-,-12AM 10,1,2AM PN 1212AM PQ 1212AM PN AM PQ(2)设n=(x,y,z)是平面PMN的法向量,由(1)得=,=(1,0,0),则即得令x=3,所以n=(3,1+2,2-2).取平面ABC的一个法向量m=(0,0,1).假设存在符合条件的点P,则|cos|=cos60=,化简得42-14+1=0,解得=或=(舍去).综上,存在点P,且当A1P=时,满足平面PMN与平面ABC的夹角为60.NM0,PN0,nn 111-0,22211-0,22xyz xy z12,32-2,3yxzx22|2-2|9(12)(2-2)127-3 5473 547-3 54NM 1 1 1-,2 2 211AB 解题反思对几何体中的空间角与距离的有关探究,属于计算型问题,此类问题多通过求角、求距离等基本方法把这些探究性问题转化为关于某个参数的方程,根据方程解的存在性来解决.
