1、渗透数学思想渗透数学思想 发展数学思维发展数学思维【新闻】n2017年6月7日，有两台机器参加全国高考数学考试。n仅用了10分钟和22分钟完成，得了134分和105分。机器的学习量与记忆力远超人类，人工智能最有可能替代甚至超越人类通过死记硬背大量做题获得的知识。【案例案例】二战中美军飞机返回后留下弹孔，机二战中美军飞机返回后留下弹孔，机身弹孔比引擎上的多，军方认为，应该保护身弹孔比引擎上的多，军方认为，应该保护机身，加装装甲。机身，加装装甲。亚伯拉罕亚伯拉罕.瓦尔德却说：需要加装装甲的不应瓦尔德却说：需要加装装甲的不应该是留有弹孔的部分，而恰恰应该装在没有该是留有弹孔的部分，而恰恰应该装在没有
2、弹孔的地方，即飞机的引擎。弹孔的地方，即飞机的引擎。n亚伯拉罕亚伯拉罕.瓦尔德（哥伦比亚大学统计学教授）瓦尔德（哥伦比亚大学统计学教授）n飞机各部分受到损坏的概率均等，但是引擎罩上的飞机各部分受到损坏的概率均等，但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少，为什么？胜利返航的飞机引弹孔却比其余部位少，为什么？胜利返航的飞机引擎上的弹孔少，是因为引擎被击中的飞机未能返回擎上的弹孔少，是因为引擎被击中的飞机未能返回。机身千疮百孔仍能返回，充分说明机身可以经受。机身千疮百孔仍能返回，充分说明机身可以经受打击。打击。n军官的假设：返航飞机是所有飞机的随机样本。军官的假设：返航飞机是所有飞机的随机样本。n瓦尔德拥有
3、的空战知识远不及军官，但他瓦尔德拥有的空战知识远不及军官，但他却看到了军官们无法看到的问题。却看到了军官们无法看到的问题。n思维习惯思维习惯“你的假设是什么？合理吗？你的假设是什么？合理吗？”问题的基本框架问题的基本框架“幸存者偏差幸存者偏差”现象现象，是指忽略数据筛选过程的逻辑陷阱，从，是指忽略数据筛选过程的逻辑陷阱，从而得出错误的结论。而得出错误的结论。n2018新课标全国新课标全国II卷高考作文卷高考作文n“二战二战”期间，为了加强对战机防护，英美军方调查了作战期间，为了加强对战机防护，英美军方调查了作战后幸存飞机上的弹痕的分布，决定哪里弹痕多就加强哪里，后幸存飞机上的弹痕的分布，决定哪
4、里弹痕多就加强哪里，然而统计学家沃德力排众议，指出更应该注意弹痕少的部位然而统计学家沃德力排众议，指出更应该注意弹痕少的部位，因为这些部位收到重创的战机，很难有机会返航，而这部，因为这些部位收到重创的战机，很难有机会返航，而这部分数据被忽略了，事实证明，沃德是正确的。分数据被忽略了，事实证明，沃德是正确的。n要求：综合材料内容及含意，选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题：不要套作，不得抄袭：不少于800字。n（青海、甘肃、吉林、宁夏、内蒙古、黑龙江、新疆、海南、辽宁、陕西、重庆）n义务教育阶段义务教育阶段数学学科的数学学科的核心词核心词n 数数 感感 符号意识符号意识 空间观念空间观念 几何
5、直观几何直观 数据分析观念数据分析观念 运算能力运算能力 推理能力推理能力 模型思想模型思想 n高中阶段数学学科的核心素养高中阶段数学学科的核心素养 数学抽象数学抽象 逻辑推理逻辑推理 数学建模数学建模 直观想象直观想象 数学运算数学运算 数据分析数据分析知识知识立意立意 能力能力立意立意 素养素养立意立意【问题问题】n渗透数学思想，发展数学思维渗透数学思想，发展数学思维n中学教师需要具备些什么？n怎样做才能更有效？【案例】一次函数的图像n教学流程教学流程n出示（或者通过问题情景得到）一个一次函数的关系式；n学生列表、描点、连线发现它的图像是一条直线；n再出示一个一次函数的关系式，同样的操作后
6、学生发现它的图像也是一条直线.n师生得到一致的结论：一次函数图像是一条直线.学生：“老师，一次函数图像为什么是一条直线？”【讨论】你将如何处理呢？n思路思路1 先选择满足函数关系式的两点确定直线，然后再检验发现其他满足关系式的点也在这条直线上；n思路思路2 取满足条件的三点，求任意两点组成的直线的斜率，发现斜率是一样的，所以三点共线；n思路思路3 在函数y=kx+b的图像上任取两点，相应纵坐标的增量与横坐标的增量之比是定值，也就是k不变，所以函数y=kx+b的图像是直线.（初三或高中的知识）师：举了两个特殊的例子就确认一次函数图像是一条直线了举了两个特殊的例子就确认一次函数图像是一条直线了 吗
7、？吗？生1：指着y=2x+1的图象，认为y每次增加的幅度是x的2倍 加1，增加的幅度是一样的，所以它的图象应该是一条 直线而不可能是折线段.（从变量的角度思考函数的问题 ，而且这一解决问题的思路在有了解析几何的知识后）生2：燃香的图片放在坐标系里看会更清晰一些.于是师生共同完成了下面的过程：于是师生共同完成了下面的过程：n【讨论】n1.“为什么一次函数图像是一条直线？”明显是个难点，但不是重点，我们应该如何对待这样的课堂现象呢？n2.改进设计与原设计都设计了探究，差别在哪里？中小学数学学科的价值是什么？中小学数学学科的价值是什么？数学教师的作用？数学教师的作用？你要给学生留下些什么？你要给学生
8、留下些什么？互动互动【案例案例】内角和内角和180度度 你是怎么想到要研究内角和？性质是怎么获得你是怎么想到要研究内角和？性质是怎么获得的？的？【案例案例】相似多边形的性质（二）（北师大版八相似多边形的性质（二）（北师大版八年级）年级）问题问题如何发现如何发现、提出提出、分析、解决分析、解决？思考什么思考什么、怎么思考怎么思考？n 在学校学习的数学知识工作后没有机会用，一在学校学习的数学知识工作后没有机会用，一两年后，很快忘记了，然而，不管从事什么工作两年后，很快忘记了，然而，不管从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的，唯有深深铭刻在心中的数学的精神数学的精神、数学的思数学的思维方法维方法、研究方
9、法研究方法、推理方法推理方法和和看问题的着眼点看问题的着眼点等，却随时随地地发生作用，使他们终生受益。等，却随时随地地发生作用，使他们终生受益。米山国藏米山国藏 数学的精神、思想和方法数学的精神、思想和方法 n 真正有价值的教育是真正有价值的教育是使学生透彻理解一些普遍使学生透彻理解一些普遍的原理，这些原理适用于各种不同的具体事例的原理，这些原理适用于各种不同的具体事例。在。在随后的实践中，这些成人将会忘记你教他们的那些随后的实践中，这些成人将会忘记你教他们的那些特殊细节，但他们潜意识里的判断力会使他们想起特殊细节，但他们潜意识里的判断力会使他们想起如何将这些原理应用于具体的情况，直到你摆脱了
10、如何将这些原理应用于具体的情况，直到你摆脱了教科书，烧掉了你的听课笔记，忘记了你为考试而教科书，烧掉了你的听课笔记，忘记了你为考试而背熟的细节，这时，你学到的知识才有价值。背熟的细节，这时，你学到的知识才有价值。【英英】怀特海怀特海教育的目的教育的目的 许多世纪以来，数学是被看作训练“推理”能力的最佳学科，为什么在中小学有这么多数学课呢？无论过去还是现在，对于这个问题最普遍的回答是：“它教你思考”。国际展望：九十年代的数学教育 数学核心素养数学核心素养数学数学思维思维让让学生学生学习思考学习思考教师要教师要教思考教思考教师需要具备什么？教师需要具备什么？理解数学 理解教学 理解学生 理解技术
11、（章建跃）（章建跃）n课程性质课程性质认识数学是一门怎样的课认识数学是一门怎样的课n课程目标课程目标数学课对学生发展的作用数学课对学生发展的作用n课程实施课程实施如何教数学课如何教数学课n课程评价课程评价是否实现课程的目标是否实现课程的目标 （义务阶段数学课程标准（义务阶段数学课程标准（2011年版）年版）n 中学教师首先需要具备课程意识中学教师首先需要具备课程意识n数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所必需的数学知识和能力，而且要让他们具有必需的数学知识和能力，而且要让他们具有数学的思维，并能数学的思维，并能应用数学的思维应用数学的思维去分析和去分析和解
12、决生活、工作和科学研究中的问题解决生活、工作和科学研究中的问题。义务阶段数学课程标准（2011年版）【案例案例】教学教学“自然数按能否被自然数按能否被2整除分为偶数和奇数整除分为偶数和奇数”时，时，让学生按从小到大的顺序列举偶数和奇数，并形成让学生按从小到大的顺序列举偶数和奇数，并形成下列板书，然后引导探究偶数和奇数的特点。下列板书，然后引导探究偶数和奇数的特点。n自然数自然数：偶数与奇数：偶数与奇数【中考试题中考试题】某体育用品店为推销某一品牌运动某体育用品店为推销某一品牌运动服，先做了市场调查，得到数据如表：服，先做了市场调查，得到数据如表：n以以x作为点的横坐标，作为点的横坐标，p作为纵
13、坐标，把上表中的数据，作为纵坐标，把上表中的数据，在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，判断得的图形，判断p与与x的函数关系，并求出的函数关系，并求出p与与x的函数的函数式。式。n这道题仅通过表中的四组数据，无法判断这道题仅通过表中的四组数据，无法判断p与与x的函数的函数关系的具体表达式，满足上述四组数据的函数表达式关系的具体表达式，满足上述四组数据的函数表达式可能很多，因而根本不能求出其解。可能很多，因而根本不能求出其解。n事实上，就题目提供统计信息看，事实上，就题目提供统计信息看，p与与x的关系是随的关系是随机关系，是不确
14、定数学的问题，而不是确定性数学中机关系，是不确定数学的问题，而不是确定性数学中的函数关系。的函数关系。n【讨论讨论】n案例的启示？案例的启示？n一只木桶的水容量，不是取决于那块桶帮最长的木一只木桶的水容量，不是取决于那块桶帮最长的木板，板，而是取决于那块最短的木板。一个人某方面素而是取决于那块最短的木板。一个人某方面素质的缺失，有时会影响其他能力的发挥。质的缺失，有时会影响其他能力的发挥。n一堂好课，不仅与执教老师先进的一堂好课，不仅与执教老师先进的教育理念教育理念、巧妙、巧妙的设计、高超的调控能力有关，根本上还取决于他的设计、高超的调控能力有关，根本上还取决于他的的数学学科素养数学学科素养。
15、启示启示n数学教师数学教师创造思考的环境，创造对知识的理解创造思考的环境，创造对知识的理解。n教师的学科深度直接影响你的教学高度。教师的学科深度直接影响你的教学高度。n数学课程内容的再创造、教学法的加工，必须先数学课程内容的再创造、教学法的加工，必须先理解数学，理解数学，数学学科素养数学学科素养是基石。是基石。数学教师的数学学科素养数学教师的数学学科素养n扎实的数学专业基础；扎实的数学专业基础；n 全面把握数学学科知识；全面把握数学学科知识；n 准确把握教材的新特征，明确重点、难点准确把握教材的新特征，明确重点、难点与关键与关键n数学是研究数学是研究数量关系数量关系和和空间形式空间形式的科学。
16、数学源于对现实的科学。数学源于对现实世界的世界的抽象抽象，基于抽象结构，通过符合运算、形式推理、，基于抽象结构，通过符合运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中的事物本质、关系与规模型构建等理解和表达现实世界中的事物本质、关系与规律。律。n数学是思维的科学数学是思维的科学，数学教学是思维的教学数学教学是思维的教学n数学是一门数学是一门语言语言，它有自己一套独立的符合系统和严谨的，它有自己一套独立的符合系统和严谨的表达方式表达方式-阅读、表达的工具。阅读、表达的工具。u 数学学科数学学科 n 数学教学中存在三种思维活动数学教学中存在三种思维活动n教师的思维活动教师的思维活动n学生的思维活动
17、学生的思维活动n数学家的思维活动数学家的思维活动（教材教材）读懂教材读懂教材【案例案例】“实数实数”教材的阅读和教学教材的阅读和教学思考思考问题问题1 1 章引言说了什么？章引言说了什么？为什么要学，学什么，怎么学。为什么要学，学什么，怎么学。问题问题2 2 这一章的结构是怎样的？为什么这样安排？这一章的结构是怎样的？为什么这样安排？结构：算术平方根结构：算术平方根平方根平方根立方根立方根实数实数实实数的运算数的运算编写意图：从具体到抽象，先让学生感受到编写意图：从具体到抽象，先让学生感受到“已知一个正已知一个正数的平方求这个数数的平方求这个数”是可以进行的，但会出现与有理数不是可以进行的，但
18、会出现与有理数不一样的数，建立引入新的符号表示这种新数的心向，然后一样的数，建立引入新的符号表示这种新数的心向，然后类比有理数及其运算引入实数及其运算。类比有理数及其运算引入实数及其运算。引入算术平方根概念要做哪些事引入算术平方根概念要做哪些事n背景（现实问题、数学问题）：背景（现实问题、数学问题）：n具体实例共同特征的归纳；具体实例共同特征的归纳；n定义：内涵、要素（算术平方根的意义）定义：内涵、要素（算术平方根的意义）-符号符号表示、读法表示、读法性质性质n问题问题1：算术平方根的性质是什么？：算术平方根的性质是什么？n问题问题2；为什么要讲根号；为什么要讲根号2？如何使学生认识它？如何使
19、学生认识它？n形、数结合，利用已有的数，在与有理数的比形、数结合，利用已有的数，在与有理数的比较中认识新数。较中认识新数。平方根平方根重复与拓展重复与拓展从数学内部提出问题（已知一个正数的平方从数学内部提出问题（已知一个正数的平方已知已知一个数的平方）；一个数的平方）；n具体实例共同特征的归纳；具体实例共同特征的归纳；n定义：内涵、要素（平方根的意义）定义：内涵、要素（平方根的意义）符号表示符号表示、读法、读法性质性质n思考思考1 1：如何使学生在算术平方根的基础上发现和：如何使学生在算术平方根的基础上发现和提出问题？提出问题？n思考思考2 2：从哪些角度理解平方根概念？：从哪些角度理解平方根
20、概念？n思考思考3 3：如何使学生发现平方根的性质？：如何使学生发现平方根的性质？n思考思考4 4：开平方运算与数系扩充的关系是什么？：开平方运算与数系扩充的关系是什么？立方根立方根重复与拓展重复与拓展思考思考1：如何使学生在学习平方根的基础上发现：如何使学生在学习平方根的基础上发现和提出问题？和提出问题？思考思考2：“立方根立方根”的教学与的教学与“平方根平方根”的教学的教学可以有哪些不同？是否可以让学生自学可以有哪些不同？是否可以让学生自学 （章建跃，章建跃，深化数学课程改革落实数学深化数学课程改革落实数学核心素养，核心素养，2017-112017-11，天津师范大学），天津师范大学）【案
21、例案例】相似多边形的性质（二）（北师大版八相似多边形的性质（二）（北师大版八年级）年级）【案例案例】设设 111,1ccacbbcbaabaabc求的值的值 n数学思想数学思想是指对数学知识的本质和数学规律是指对数学知识的本质和数学规律的理性认识，是从某些数学内容和对数学认的理性认识，是从某些数学内容和对数学认识过程中提炼上升的识过程中提炼上升的数学观点数学观点；n数学方数学方法则是从数学的角度提出问题、解决法则是从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种问题的过程中所采用的各种方式、手段、途方式、手段、途径等；径等；n“数学思想方法数学思想方法”是指对数学内容的本质认识，是指对数学内
22、容的本质认识，是数学的指导思想和一般方法、手段和途径。是数学的指导思想和一般方法、手段和途径。n【案例案例】函数值域函数值域n教师对教学内容所蕴含的数学思想方法的教师对教学内容所蕴含的数学思想方法的认识水平，决定了理解数学的高度，最终认识水平，决定了理解数学的高度，最终决定了你教学所达到的高度。决定了你教学所达到的高度。n弗赖登塔尔：没有一种数学的思想，以它被发现时弗赖登塔尔：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火
23、热的发明变成冰冷的美丽一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。n 教材是教材是“教学法的颠倒教学法的颠倒”【问题问题】n为什么美国水平很低的基础教育却支撑奠定为什么美国水平很低的基础教育却支撑奠定了水平很高的高等教育？了水平很高的高等教育？n为什么孔子的学生中没有出柏拉图？为什么孔子的学生中没有出柏拉图？n苏格拉底的启发式：苏格拉底的启发式：产婆术产婆术n 平等、开放的探讨问题式对话平等、开放的探讨问题式对话n孔子的启发式孔子的启发式n 语录式的封闭式对话语录式的封闭式对话【案例案例】瑞典小学数学教育代表团的学术瑞典小学数学教育代表团的学术交流活动中瑞教师观点的差异交流活动中瑞教师观点的差异n观摩
24、课教师出了一道题：观摩课教师出了一道题：“鸡兔共鸡兔共20头头，54 腿，鸡兔各多少个？腿，鸡兔各多少个？”n教师如何教学生学会思考？教师如何教学生学会思考？数学的题目是无法穷尽的，但是指导着思维数学的题目是无法穷尽的，但是指导着思维方向的数学思想方法，是可以逐一研究和掌方向的数学思想方法，是可以逐一研究和掌握的，我们可以用有限去解决无限。握的，我们可以用有限去解决无限。授人以鱼，更要授人以渔授人以鱼，更要授人以渔n 该如何教学生思考？该如何教学生思考？n数学思想方法为学生提供了有关如何学习、数学思想方法为学生提供了有关如何学习、如何思考的策略性知识。如何思考的策略性知识。n教师示之以思维之道
25、教师示之以思维之道，教给学生思维的方法教给学生思维的方法，数学思想方法数学思想方法是切入点是切入点。数学教学中存在三种思维活动：数学教学中存在三种思维活动：n教师的思维活动教师的思维活动n学生的思维活动学生的思维活动n数学家的思维活动数学家的思维活动（或隐或显存在于教材或隐或显存在于教材）n选拔教师试题选拔教师试题（王尚志）n从你做过的题里挑出两个，用最简洁的语言概括其思路？解决的关键在哪里？n这道题要考学生什么？能考出来吗？n这道题出的好吗？n分析这道题是怎么出出来的？n为什么要出这样的试题？n数学知识数学知识数学思维活动的结果数学思维活动的结果n数学教学数学教学数学思维活动或再现数学思维数
26、学思维活动或再现数学思维活动活动n数学思想方法的作用，主要体现在它为学生数学思想方法的作用，主要体现在它为学生提供了有关如何学习、如何思考的策略性知提供了有关如何学习、如何思考的策略性知识。识。n数学思想方法是数学思维教学的抓手数学思想方法是数学思维教学的抓手n数学是思维的体操，我们需要基于思维的数数学是思维的体操，我们需要基于思维的数学教学！学教学！n 怎样的教学才是基于思维的教学？怎样的教学才是基于思维的教学？n当前教学主要问题：当前教学主要问题：以练代思以练代思 n 数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所必需的数学知识和能力，而且要让他们具有必需的数
27、学知识和能力，而且要让他们具有数学的思维，并能数学的思维，并能应用数学的思维应用数学的思维去分析和去分析和解决生活、工作和科学研究中的问题。解决生活、工作和科学研究中的问题。n义务教育义务教育数学课标（数学课标（2011版）对版）对数学思维数学思维提提出的教学要求为出的教学要求为：建立初步的数感和符号感建立初步的数感和符号感，发展数学，发展数学抽象思维抽象思维和和形象思维形象思维；经历观察经历观察、实验、猜想、证明、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展等数学活动过程，发展合情推理合情推理能力和初步的能力和初步的演绎推理演绎推理能力。能力。新课标中关于数学思维的要求新课标中关于数学思维的要求n推
28、理能力的发展应贯穿在整个数学学习过推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。程中。n观察、尝试、估算、观察、尝试、估算、归纳、类比归纳、类比、画图等、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理合情推理能力；能力；n 演绎推理演绎推理用于证明结论的正确性。用于证明结论的正确性。n 数学发现中最重要的方法是归纳和类比数学发现中最重要的方法是归纳和类比 关于数学思维的认识关于数学思维的认识n脑对客观事物能动的、间接的和概括的脑对客观事物能动的、间接的和概括的思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人反映，包括反映，包括逻辑思维逻辑思维和和形象思维形象思维
29、，但，但通常通常是指逻辑思维是指逻辑思维。n思维的工具是语言；思维的工具是语言；n思维的形式是概念、判断、推理等；思维的形式是概念、判断、推理等；n思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。合等。n数学思维有两个方向数学思维有两个方向（方面方面）归纳归纳、演绎演绎n在对某一数学领域或对象的探索认知过程中在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，从具体事例的实验、分析中归纳其本质，从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；获得数学猜想、命题等；n用逻辑推理、数理分析去研讨认知的本质，用逻辑推理、数理分析去研讨认知的本质，证明猜想，发现新的性质
30、证明猜想，发现新的性质。n张景中数学家的眼光张景中数学家的眼光n归纳与演绎的关系归纳与演绎的关系，是不是一定水火不容是不是一定水火不容呢？呢？例证法的基本原理例证法的基本原理n等式等式（x+1）(x-1)=x2-1(1)n如何证明呢如何证明呢？展开展开。n如果取如果取 x=0,x=1,x=2x=0,x=1,x=2，两边相等，就表明，两边相等，就表明(1)(1)是恒等式是恒等式，你同意吗？你同意吗？n原因：如果（原因：如果（1 1）不是恒等式，就是一个次数不超过二次的方程，这种）不是恒等式，就是一个次数不超过二次的方程，这种方程方程最最多有两个根；现在竟然有了多有两个根；现在竟然有了3 3个根，
31、那它就不是二次方程一次方个根，那它就不是二次方程一次方程了，所以，一定是恒等式。程了，所以，一定是恒等式。n同理，要判断一个次数为同理，要判断一个次数为3 3的等式是不是恒等式，只要取的等式是不是恒等式，只要取4 4个不同值代个不同值代入验算，依次，入验算，依次，n n次等式用次等式用n+1n+1个值代入。这是因为个值代入。这是因为n n次方程至多有次方程至多有n n个个根，如果居然有根，如果居然有n+1n+1个值都能使它两端相等，那么它一定是恒等式。个值都能使它两端相等，那么它一定是恒等式。n例如例如x3+1=x3+1=（x+1x+1）(x2-x+1)(x2-x+1)是恒等式是恒等式n只要取
32、只要取x=0,1,2,3x=0,1,2,3代入，成立，说明说恒等式代入，成立，说明说恒等式n叫多点例证法叫多点例证法 不完全归纳法不完全归纳法n即不完全归纳推理，是根据考察的一类事物即不完全归纳推理，是根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而做出该类事物的部分对象具有某一属性，而做出该类事物都具有这一属性的一般性结论的归纳推理。都具有这一属性的一般性结论的归纳推理。n不完全归纳的结论只是猜想不完全归纳的结论只是猜想n例例1 代数式代数式 n2+n+41 n=1,2,3.n例例2 比较比较2n 与与 n2+2(nN*)的大小的大小n直至直至n=39都是质数，都是质数，n=40时，时，n2+n
33、+41=412n当当n=1,2,3,4 2n 52+2 当当n=6,26 62+2 猜想猜想2n n2+2(n 5)n例例3 任取一个大于任取一个大于2的自然数，反复进行以下两种计算的自然数，反复进行以下两种计算n（1）若是奇数，该数乘以）若是奇数，该数乘以3再加上再加上1，n（2）若是偶数，则将该数除以若是偶数，则将该数除以2 n 问结果？问结果？n 归纳法的推理模式归纳法的推理模式 基本的推理模式基本的推理模式 因果关系归纳推理的求同模式因果关系归纳推理的求同模式 因果关系归纳推理的共变模式因果关系归纳推理的共变模式n基本的推理模式基本的推理模式nS1具有（或不具有）性质具有（或不具有）性
34、质PnS2具有（或不具有）性质具有（或不具有）性质Pn.nSn具有（或不具有）性质具有（或不具有）性质Pn(S1,S2,Sn 是是 A类事物的部分对象）类事物的部分对象）n所以所以A 类事物具有性质类事物具有性质 P 因果关系归纳推理的求同模式因果关系归纳推理的求同模式 a,b,cA a,d,e A a,f,g A aA（？）（？）n【案例案例】已知两个边长相等的正方形，其中一个某顶点重已知两个边长相等的正方形，其中一个某顶点重合于另一个正方形的中心合于另一个正方形的中心o，绕，绕o旋转，不论转到任何位置，旋转，不论转到任何位置，两正方形重叠面积保持不变。正六边形亦如此。两正方形重叠面积保持不
35、变。正六边形亦如此。n归纳猜测：两个边长相等的正多边形使其中一个顶点位于归纳猜测：两个边长相等的正多边形使其中一个顶点位于另一个中心，并旋转，重叠部分面积不变的根本原因是多另一个中心，并旋转，重叠部分面积不变的根本原因是多边形的边数是偶数。边形的边数是偶数。n猜想：边长相等的两个正猜想：边长相等的两个正2n边形，让其中一个的一顶点位边形，让其中一个的一顶点位于另一个的中心，则不论怎样旋转其中的一个，两者的重于另一个的中心，则不论怎样旋转其中的一个，两者的重叠面积不变。叠面积不变。n因果关系归纳推理的共变模式因果关系归纳推理的共变模式 a1,b,cA1 a2,b,c A2 a3,b,c A3 a
36、A（？）（？）归纳注意：归纳注意：（1）中小学生所能做的所谓验证，往往只是举）中小学生所能做的所谓验证，往往只是举出有限实例，是一种不完全归纳。出有限实例，是一种不完全归纳。（2）注意用于归纳、）注意用于归纳、“验证验证”的实例要足够的实例要足够多和有足够代表性，多和有足够代表性，（3）要向学生说明）要向学生说明数学家已经对这个结论作数学家已经对这个结论作出了科学的证明出了科学的证明”，让学生感受到数学探究，让学生感受到数学探究讲求严谨性、科学性。讲求严谨性、科学性。数学教材中一些隐含规律性的内容，都适合数学教材中一些隐含规律性的内容，都适合引导学生通过列举若干实例，归纳发现其中引导学生通过列
37、举若干实例，归纳发现其中的规律并引发猜想。的规律并引发猜想。n完全数学归纳法完全数学归纳法n归纳法也称归纳推理，是指由个别到一般的推理归纳法也称归纳推理，是指由个别到一般的推理方法，即从两个或几个单称判断或特称判断（前方法，即从两个或几个单称判断或特称判断（前提）得出一个新的全称判断（结论）的推理。提）得出一个新的全称判断（结论）的推理。n完全数学归纳法是考察一类事物的全体对象，肯完全数学归纳法是考察一类事物的全体对象，肯定它们都具有某一属性，从而作出这类事物都有定它们都具有某一属性，从而作出这类事物都有这一属性的一般性结论的归纳推理方法。这一属性的一般性结论的归纳推理方法。穷举穷举：类分：类
38、分：圆周角定理圆周角定理 数学推理方法数学推理方法n必真推理必真推理 1 演绎法演绎法 从一般到特殊或个别的推理方法从一般到特殊或个别的推理方法 三段论推理方法三段论推理方法 2 完全归纳法完全归纳法n似真推理似真推理 1 不完全归纳法不完全归纳法 2 类比法类比法n 演绎法：演绎法：从一般到特殊或个别的推理方从一般到特殊或个别的推理方法。只要前提可靠，用演绎法推得的结论法。只要前提可靠，用演绎法推得的结论完全可靠，它是一种严格的推理方法。完全可靠，它是一种严格的推理方法。n三段论推理方法三段论推理方法n所谓三段论推理，就是从某类事物的全称所谓三段论推理，就是从某类事物的全称判断（大前提）和一
39、个特称判断（小前提判断（大前提）和一个特称判断（小前提）得出一个新的、较小的全称或者特称判）得出一个新的、较小的全称或者特称判断（结论）的推理。断（结论）的推理。n“拟三段论拟三段论”n大前提提供一个一般化原理（定理、公式大前提提供一个一般化原理（定理、公式、公理、法则等），小前提提出一个适合、公理、法则等），小前提提出一个适合一般性原理的特殊情形（具体问题），结一般性原理的特殊情形（具体问题），结论是特殊情形的结果（具体问题的结论）论是特殊情形的结果（具体问题的结论）例例：992-1=（99+1）（99-1）a2-b2=（a+b）（a-b）n 学生在数学活动中学生在数学活动中，其，其发现与数
40、学家的发发现与数学家的发现就思维过程而言，并没有什么本质差别，现就思维过程而言，并没有什么本质差别，因此，数学学科教学的任务是形成和发展那因此，数学学科教学的任务是形成和发展那些具有数学思维些具有数学思维(或数学家思维或数学家思维)特点的智力特点的智力活动结构，并且促进数学中的发现。活动结构，并且促进数学中的发现。学生数学思维的年龄特征学生数学思维的年龄特征7岁岁12岁小学生岁小学生：数学思维的基本特征是由数学思维的基本特征是由具体形象思维具体形象思维逐步逐步过渡过渡到到抽象思维抽象思维，但仍然，但仍然具有很大成分的具体形象性具有很大成分的具体形象性。13岁岁15岁初中生岁初中生：数学思维的基
41、本特征是数学思维的基本特征是经经验型的抽象思维验型的抽象思维逐步逐步过渡过渡到到理论型的抽象思理论型的抽象思维维，但仍然具有很大成分的经验性；，但仍然具有很大成分的经验性；16岁岁18岁高中生岁高中生：已基本形成已基本形成理论型的抽象理论型的抽象思维思维。学生数学思维的年龄特征学生数学思维的年龄特征n质变点质变点：初二初二年级年级经验型抽象经验型抽象思维向思维向理论型理论型抽象抽象思维发展思维发展n成熟期成熟期：16-17岁（高一年级第二学期到高岁（高一年级第二学期到高二年级第一学期）思维活动初步成熟，之后二年级第一学期）思维活动初步成熟，之后思维可塑性小，年龄差异显著性减小，个体思维可塑性小
42、，年龄差异显著性减小，个体差异显著性越来越大。差异显著性越来越大。n 中学生从具体运算占优势向形式运算占优势中学生从具体运算占优势向形式运算占优势。具体运算具体运算向向形式运算形式运算的第一个内容是的第一个内容是“用用字母表示数字母表示数”接着是接着是“列方程解应用题列方程解应用题”。学生数学思维的年龄特征学生数学思维的年龄特征数学思维训练的问题：数学思维训练的问题：n思维教学不得法思维教学不得法；n超出学生所能接受的水平，过早进行理论型超出学生所能接受的水平，过早进行理论型思维训练思维训练；n局限于少数的思维内容，重复进行经验型思局限于少数的思维内容，重复进行经验型思维训练。维训练。【案例案
43、例】指数运算法则教学指数运算法则教学学生数学思维的年龄特征学生数学思维的年龄特征n学生数学思维年龄特征的教学启示学生数学思维年龄特征的教学启示（1）数学思维教学应当依据学生的认知水平数学思维教学应当依据学生的认知水平确定相应的教学内容与教学目标。确定相应的教学内容与教学目标。n【案例案例】鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题n“遗传和生理成熟遗传和生理成熟是思维发生、发展的生物是思维发生、发展的生物前提；实践活动是思维发展的源泉。前提；实践活动是思维发展的源泉。”（朱（朱智贤、林崇德）智贤、林崇德）【案例案例】案例案例1 三角形内角和三角形内角和案例案例2 韦达定理韦达定理算法优化算法优化n从心理学维度看
44、，多数学生喜欢的方法；从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；n从教育学维度看，教师易教、学生易学的方法从教育学维度看，教师易教、学生易学的方法；n从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的方从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的方法。法。n一一对应思想一一对应思想:对应是人的思维对两个集合对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。本的概念。n小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思、数
45、与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。另外在小学数学知识中存在着许多对应想。另外在小学数学知识中存在着许多对应关系。关系。学生数学思维的年龄特征学生数学思维的年龄特征（2）钻研教材，排出每章节思维训练点）钻研教材，排出每章节思维训练点 例如，在七年级第一学期例如，在七年级第一学期(即初一上即初一上)一元一一元一次方程、二元一次方程组等内容，排出了次方程、二元一次方程组等内容，排出了“归纳法归纳法”“”“类比法类比法”“”“演绎法演绎法”等思维训练等思维训练点。演绎法、点。演绎法、归纳法、分析法、综合法、比归纳法、分析法、综合法、比较法较法 类比法、分类法等思维方法分散在每类比法、分类法等思维方
46、法分散在每 节课。节课。学生数学思维的年龄特征学生数学思维的年龄特征（3）了解学生练习，找出学生的思维障碍）了解学生练习，找出学生的思维障碍 【案例案例】学生习作学生习作 学生数学思维的年龄特征学生数学思维的年龄特征（4）将思维过程物化）将思维过程物化学生数学思维的年龄特征学生数学思维的年龄特征（5）按照学生各年龄段数学思维发展的特征安）按照学生各年龄段数学思维发展的特征安排思维训练排思维训练学生数学思维的年龄特征学生数学思维的年龄特征（6）了解不同学生思维的差异与价值。）了解不同学生思维的差异与价值。【案例案例】在正方形内部有在正方形内部有2 000个点，连同正方形的个点，连同正方形的4个顶
47、点共有个顶点共有2004个点。在这个点。在这2004个点中，任意三个点中，任意三点都不在同一直线上。现在要把该正方形纸片全部点都不在同一直线上。现在要把该正方形纸片全部剪成三角形，这个三角形的每个顶点，都在这剪成三角形，这个三角形的每个顶点，都在这2004个点中取，并且这个点中取，并且这2004个点都是这种三角形的顶点，个点都是这种三角形的顶点，试问：试问：一共可以剪出多少个三角形？一共可以剪出多少个三角形？如剪成这些三角如剪成这些三角形需要要剪多少刀？（沿一条线剪开算一刀）形需要要剪多少刀？（沿一条线剪开算一刀）【题目题目】（1）?161814121n数学思想是指对数学知识的本质和数学规数学
48、思想是指对数学知识的本质和数学规律的理性认识，是从某些数学内容和对数律的理性认识，是从某些数学内容和对数学认识过程中提炼上升的学认识过程中提炼上升的数学观点数学观点。n数学方法则是从数学的角度提出问题、解数学方法则是从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种决问题的过程中所采用的各种方式、手段、方式、手段、途径等途径等学生数学思维的年龄特征学生数学思维的年龄特征n思维风格不是能力，而是个体运用能力的偏思维风格不是能力，而是个体运用能力的偏好。个体的数学思维的爱好、路线和策略等好。个体的数学思维的爱好、路线和策略等个体特征，构成了个体的数学思维风格。（个体特征，构成了个体的数学思维风格。
49、（斯滕伯格）斯滕伯格）n教师认识学生的思维特点，了解思维的优势教师认识学生的思维特点，了解思维的优势和不足，使学生形成自己思维风格，也兼顾和不足，使学生形成自己思维风格，也兼顾其他思维方式。其他思维方式。数学思维训练不应过分追求统一性数学思维训练不应过分追求统一性数学思维教学数学思维教学1 创设良好的思维情境创设良好的思维情境，激发思维动机，激发思维动机 积极思维的前提是良好的思维环境，情境积极思维的前提是良好的思维环境，情境创设的实质是创设的实质是激发激发思维。思维。如何创设？如何激发？如何创设？如何激发？解题解题思维情境思维情境 概念、公式概念、公式思维情境思维情境 n概念、公式概念、公式
50、思维情境思维情境教师作用：教师作用：如何抽象数学对象、如何发如何抽象数学对象、如何发现和提出数学问题现和提出数学问题？n【案例案例】n数学思维发生过程的合理性数学思维发生过程的合理性n在直角三角形在直角三角形ABC中中，C=90，a2+b2=c2，联想联想到一般情形到一般情形:若若C90，结论呢结论呢?n由此展开探究得到余弦定理由此展开探究得到余弦定理；若；若n3，an+bn与与cn 有有什么关系？什么关系？)3(ncbannn 【国际国际PISA测试测试】PISA即即“国际学生评价项目国际学生评价项目”，它是由经济合作，它是由经济合作组织组织(OECD)组织的一项大型国际学生学习质量比组织的
