1、2.1 离散系统的组成离散系统的组成 2.2 振动微分方程振动微分方程2.3 自由振动自由振动2.4 强迫振动强迫振动 2.5 隔振原理隔振原理2.6 非周期激励下的响应非周期激励下的响应构成机械振动系统的基本元素构成机械振动系统的基本元素 构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。惯性构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。恢复性就是能使物体位就是能使物体当前运动持续下去的性质。恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阻碍物体运动的性质。从能置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阻碍物体运动的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元
2、素，恢复性是贮存势能的元素，量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。阻尼是使能量散逸的元素。当物体沿当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力F，物体由此产生的加，物体由此产生的加速度和物体质量速度和物体质量m之间有下述关系之间有下述关系 质量的单位为质量的单位为kg。)1-(122dtxdmF 典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位移的函数，即该元件位移的函数，即Fs=Fs（x）
3、。）。当当Fs（x）是线性函数时，有）是线性函数时，有Fs=kx (1-2)比例常数比例常数k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为单位为N/m。阻尼力阻尼力Fd反映阻尼的强弱，通常是速度反映阻尼的强弱，通常是速度x的的函数，阻尼力可表示为函数，阻尼力可表示为 这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数c称为粘性称为粘性阻尼系数，单位阻尼系数，单位N.s/m。质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基本元件。模型的三个基本元件。)31(xcFd 自由度与广义坐标自由度与广义坐标 自由度数自由度数:完
4、全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。刚体在空间有刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；如飞机、轮船；质点在空间有质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；质点在平面有质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。自由度。质量元件质量元件 无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件 xmFm 平动：平动：力、质量和加速度的单位
5、分别力、质量和加速度的单位分别为为N、kg和和m/s 2。JTm转动：转动：力矩、转动惯量和角加速度的力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为单位分别为Nm、kg m 2和和rad/s 2 2.1 离散系统的组成离散系统的组成2.1 离散系统的组成离散系统的组成弹性元件弹性元件 无质量、不耗能，储存势能的元件无质量、不耗能，储存势能的元件 xkFs平动：平动：力、刚度和位移的单位分别为力、刚度和位移的单位分别为N、N/m和和m。tskT 转动：转动：力矩、扭转刚度和角位移的单力矩、扭转刚度和角位移的单位分别为位分别为Nm、Nm/rad和和rad 阻尼元件阻尼元件 无质量、无弹性、线性耗能元件无质量
6、、无弹性、线性耗能元件 xcFd平动：平动：力、阻尼系数和速度的单位分力、阻尼系数和速度的单位分别为别为N、N s/m和和m/s。tdcT 转动：转动：力矩、扭转阻尼系数和角速度力矩、扭转阻尼系数和角速度的单位分别为的单位分别为Nm、Nms/rad和和rad/s 2.1 离散系统的组成离散系统的组成等效弹簧刚度等效弹簧刚度 斜向布置的弹簧斜向布置的弹簧 2ecos/kxFkxx串联弹簧串联弹簧 并联弹簧并联弹簧 niikk1eniikk1e11niicc1eniicc1e11并联系统并联系统串联系统串联系统等效阻尼系数等效阻尼系数 传动系统的等效刚度传动系统的等效刚度 21 te1 t/ikk
7、传动系统的等效阻尼传动系统的等效阻尼 ct1e=ct1/i 221e1/iJJ等效质量等效质量 传动系统的等效惯量传动系统的等效惯量 2.2 振动微分方程振动微分方程 振动微分方程振动微分方程)(tFkxxcxm 方程的解方程的解 )()()(21txtxtx其中，其中，tx1为相应齐次方程的解为相应齐次方程的解 瞬态响应瞬态响应 tx2为方程的特解为方程的特解 稳态响应稳态响应或或零零初始条件初始条件的的解解 2.3 自由振动自由振动 振动微分方程振动微分方程设设 0 xkxcxm tsAtxe)(02kscsm特征方程特征方程 mkmcmcs222,142有有临界阻尼系数临界阻尼系数 km
8、c2c阻尼比或阻尼因子阻尼比或阻尼因子 kmccc2c定义定义12nn2,1s2.3 自由振动自由振动 讨论讨论(1)0方程的解方程的解 12nn2,1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应）（tRtxncos)(2n020)/(xxR0tanarc0tanarc0n000n00 xxxxxx2.3 自由振动自由振动 讨论讨论(2)12nn2,1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应方程的解方程的解 10)(cose)(dntRtxt2d0n020 xxxR0tanarc0tanarc00d0n000d0n0 xxxxxxxx221;122ndnddT2.3 自
9、由振动自由振动 讨论讨论(3)方程的解方程的解 12nn2,1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应1tstAAtx2e )(21tsxxxtxts)(e)(00000 xx）（00 xx）（2.3 自由振动自由振动 讨论讨论(4)12nn2,1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应tstsxsxsxxsstx21e)(e)(1)(01020021tstsAAtx2211ee)(00 xx）（00 xx）（1方程的解方程的解 2.3 自由振动自由振动 振动特性振动特性 无阻尼无阻尼 0 0：简谐运动简谐运动弱阻尼弱阻尼 0 1：衰减运动衰减运动小阻尼小阻尼2.3
10、 自由振动自由振动 振对数衰减率振对数衰减率 2112lnnnxx22242.4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励稳态响应稳态响应(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 M M 求解过程求解过程微分方程 的特解设为：，代入方程：复振幅；其中 为频率比。或：；令 称为动柔度，单位动态力产生的振动位移；亦即 （1）则 为静柔度。动柔度还可以写做以下形式：（2）tiFetfkxcxm)(tiXex2FikicmkFX2)1(122nFimXn2)1(1122)(HFX 21122ikHk12222222)2()1(2)2()1()1()(kikH求解过程求解过程或：（3）式中：（4）（5）写
11、成无量纲形式 （6）称为振幅放大因子。)()()(ieHH 222211kH2112)(tg222)2()1(11)(kH解的讨论解的讨论二、讨论二、讨论:图给出了以为横坐标，为纵坐标，在不同阻尼比下的一组曲线簇。不难理解，在简谐激振力作用下，线性系统的受迫振动也是简谐振动，振动的频率等于激励力的频率，受迫振动的振幅取决于系统本身的物理特性、激励力的大小及频率值，但与初始条件无关。受迫振动的振幅与频率比及阻尼比有关 (1)当频率比0.2时，即激振频率远小于系统的固有频率n时，无论阻尼的大小如何，1，称为准静态区。即振幅近似等于激励力幅作用下的静变形。故在低频区振幅主要由弹簧刚度控制。解的讨论解
12、的讨论（2）频率比很大频率比很大(5),0，激振频率，激振频率远大于系统的固有远大于系统的固有频率频率n，因激励力方向改变太快，振动物体由于惯性来不，因激励力方向改变太快，振动物体由于惯性来不及跟随，几乎停着不动。故在高频区受迫振动的振幅主要取及跟随，几乎停着不动。故在高频区受迫振动的振幅主要取决于系统的惯性，称为惯性区，这一特性正是隔振和惯性传决于系统的惯性，称为惯性区，这一特性正是隔振和惯性传感器的理论依据。感器的理论依据。（3）当频率比当频率比=1，激振频率接近系统的固有频率，这时阻尼值越小，激振频率接近系统的固有频率，这时阻尼值越小，则越大。当阻尼为零时，振动为无限大。习惯上把幅值则越
13、大。当阻尼为零时，振动为无限大。习惯上把幅值 的频率的频率区间称为共振区。区间称为共振区。将（将（6）对求导，并令）对求导，并令d/d=0 ，可解得，可解得 处有最大幅值，把处有最大幅值，把 称为共振频率。称为共振频率。2221221n解的讨论解的讨论 相位相位 与频率比的关系曲线表明与频率比的关系曲线表明=1时，振动位移总是滞时，振动位移总是滞后激振力后激振力900，频率比，频率比 1；=-/2-当，共振点前后相位差恰好为当，共振点前后相位差恰好为。2.4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励2222021arctansin11)(tkFtx 稳态响应稳态响应(结构阻尼结构阻尼)tFxkxhx
14、msin/0 M M 2.4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励全响应全响应(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 tRtxtdcosen 2222012arctansin21tkF 2.4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励全响应全响应(无无阻尼阻尼)tFxkxmsin0 000 xxttkFtxnn20sinsin1)(n 2.4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励全响应全响应(无无阻尼阻尼)tFxkxmsin0 000 xxttkFtxnn20sinsin1)(nnn2.4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励半功率带宽半功率带宽n122幅频特性幅频特性 半功率带宽半功率带宽利用半功
15、率处的频率求阻尼比利用半功率处的频率求阻尼比1、推导如下：推导如下：nba22212ba221)2()1(12222ban半功率带宽半功率带宽解得：解得：弹簧刚度：弹簧刚度：系统质量：系统质量：nbanbanbanbanbanba224222222112)1(222nBPk202km 2.4 强迫振动强迫振动 周期激励周期激励稳态响应稳态响应(粘性阻尼粘性阻尼)122211021sincos2nnnnnnnktnbtnakatx212arctannnnn1mknkmc221 1110sincos2nnntnbtnaatFtF tFxkxcxm 位移激励位移激励设位移干扰为设位移干扰为:运动方程
16、为运动方程为:设设)(sXXk)(sXXCtaxssinssxckxkxxcxm)(2)()(sstitiaexaextititiBexeiBxBexi位移激励位移激励振幅B为:相位为:放大因子为:222222222)2()1()2(1)(22acmkckaB22)2(12tg2222)2()1()2(1aB2.5 隔振原理隔振原理 力的传递率力的传递率0FFST刚性支承传递的力幅幅通过弹性支承传递的力22222121S22.5 隔振原理隔振原理 位移传递率位移传递率YX底座的位移幅值系统质量的位移幅值S22222121YXS2.6 非周期激励下的响应非周期激励下的响应 杜哈曼积分杜哈曼积分
17、tFxkxcxm 单位脉冲响应单位脉冲响应tmthtddsine1ntxkxcxm 等效阻尼等效阻尼 在单自由度受迫振动方程中，阻尼力被设为。实际物理模型与振动位移一阶导数成正比的是纯液体摩擦阻尼，称为粘性阻尼。这种阻尼是线性的，数学上易于处理，故常把非线性阻尼用等效粘性阻尼来代替。等效原则：一个振动周期中，两种阻尼耗散的能量相等。当受迫振动的位移响应为：xc等效阻尼等效阻尼 时，粘性阻尼力 在一个振动周期中所做的功：等效阻尼力 在一个振动周期中所作的功：所以：)cos(tXxxce2202220)(sinXcdttcXdtxFDTcc2XcDDec)1(2XDcexcFc等效阻尼等效阻尼干摩
18、擦阻尼：干摩擦阻尼力F可视为一个常力，在整个受迫振动中力的幅值不变，方向始终与运动方向相反。当质量从平衡位置移动到最大偏离位置X，即在周期内，摩擦力做功为 FX，故一个整周期内做功 代入（1）式，得到干摩擦的等效阻尼:XFXFXce442等效阻尼等效阻尼结构阻尼：由材料形变过程中的内摩擦产生。材料在加载卸载过程中，会形成应力-应变迟滞曲线，它包容的面积就是内摩擦所消耗的能量，它近似地与振幅平方成正比，即：其中 是与频率无关的比例系数，随材料不同而变。因此，结构等效阻尼：令:2sXD hsXsXXDce222sh 等效阻尼等效阻尼结构阻尼：双 应 变 幅 度加 载卸 载应 力应 变2.6 非周期
19、激励下的响应非周期激励下的响应 杜哈曼积分杜哈曼积分 tFxkxcxm 全响应全响应ttxxtxtxn-dd0n0d0esincos)(tttFm0dddsine1n杜哈曼积分杜哈曼积分1、脉冲响应 冲量 I=P()d初始条件：x0=0;x0=I/m=Pd/m自由振动响应：对上述初始条件响应：其中：)sin()()sin(20020texxxtAexdtddti)(sinsin0tIhtemPdtexdxdtddtdn)sin(1)(temthdtdn杜哈曼积分杜哈曼积分若冲量 I=1,则脉冲称为单位脉冲又称为Dirac函数。1)()()(dttfttFdttftdttft)(lim)(0）（
20、）（0100ttt）（杜哈曼积分杜哈曼积分 若单位脉冲作用在t=时，则相当于把坐标原点右移 响应为：2、任意激振力的响应：任意激振力P()可视为一系列脉冲，在他t=时，系统的冲量I=Pd则响应为：)sin(1)(temthdxdtdn)(thpddx杜哈曼积分杜哈曼积分系统响应为：无阻尼系统响应为：d=n,=0dtePmdthpdxxdttdttn)(sin(1)()()(000dtPmxntn)(sin10例题例题例1、一弹簧质量系统受到一个常力P0突然作用，试求系统响应。2 34求解过程求解过程1、无阻尼解2、有无阻尼解0000)cos1()(sinBtkPdtmPxntnn)1cos(1
21、1;1;)1cos(110)(1sin(12210002202)(202tetgkPBBtekPdtemPxntnttntnnnn计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义，通常有一下几种常用的方法，即静变形法、能量法和瑞利法，现分别加以介绍。1、静变形法（Static Deformation Method）如前所述，当单振子处于静平衡状态时，弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡，即存在一下关系式：Wkj计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法由上式可得：故系统的固有频率为：由此可见，只要知道质量块处的弹性静变形，就可以
22、计算出系统的固有频率。在有些实际问题中，不能直接给出系统的弹簧刚度时，利用此法计算固有频率比较方便。jjmgWk)1(2121jngmkf计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 例1设一悬臂梁长度为，抗弯刚度为，自由端有一集中质量。梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率（见下图）。自由端有集中质量的悬臂梁 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法解：悬臂梁在自由端由集中力mg所引起的静挠度为：当不易用计算方法求出静挠度时，也可用实测方法得到静挠度，然后按（1）式计算系统固有频率。EJmglj333321mlEJfn计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方
23、法2、能量法（Energy Method）在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们将这样的系统称为保守系统。在保守系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的任一瞬时机械能应保持不变。即：T+U=常数 或 式中：T系统中运动质量所具有的动能；U系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功而产生的重力势能。0UTdtd计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 对于单自由度无阻尼自由振动系统来说，系统的动能为：系统的势能则由以下两部分组成：1、重力势能。当质量块m低于静平衡位置时，重力势能为-mgx。2、弹性势能。当质
24、量块m运动至离静平衡位置距离+x时，弹簧的弹性力对质量块所作的功即为系统此时的弹性势能。如下图所示，系统的弹性势能为：故系统的势能为：所以：221xmTxkxmgxkxdxmgx0221222121kxkxmgxmgxU)2()(212122常数Ekxxm计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法单自由度振动系统的弹性势能 这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。这一方程说明，无阻尼自由振动系统的能量关系是振动质体的能量与弹性势能的相互转化过程，而无能量的消耗。但在振动系统中存在阻尼时，则在振动质体的动能与弹性势能的互相转化过程中，有一部分能量将为克服阻力而不断地转化为热能，故系
25、统的振幅将逐渐减小，直至完全消失。22xmmgx计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法若将无阻尼自由振动的时间历程 代入系统的能量方程（2）式可得：当t=0，或 、等时，U=0,当 、或 、等时，T=0,这说明系统的最大动能或最大势能均等于系统的总能量，且动能与势能的最大值相等，即：或根据上式即可算出系统的固有频率：对弹簧质量系统（单振子）用上述能量法意义不大。但是复杂的单自由度系统用能量法计算固有频率比较方便。tAxnsinEtkAtAmnnn22222sin21cos21nn2EAmTn22max21nt2n23n25EkAU2max21maxmaxUT)3(2121222k
26、AAmnmkn计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法例1一根矩形截面梁，上面承受质量为m 的物体（如图所示）。若忽略梁的质量，试用能量法求该系统的固有频率。承受质量的矩形截面梁 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法解：梁的刚度可用静变形法求出：而梁的静扰度可根据材料力学公式计算：故 代入（3）式即可求出该系统的固有圆频率：jmgkEJlbmgaj322223baEJlk 223bmaEJln计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法例2下图所示为测量低频振幅用的传感器的一个元件无定向摆。已知a=3.54cm，mg=0.856N，k=0.3N/cm。且整个
27、系统对转动轴o的转动惯量。试求系统的固有频率。图：无定向摆 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法解：取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广义坐标，并设则 故 对简谐振动来说，摇杆正经过平衡位置时的速度最大，故此时系统动能最大，而势能为零。即：当摇杆摆到最大角位移处时，速度为零，故此时系统动能为零，而势能最大，它包括以下两个部分：1）弹簧变形后储存的弹性势能：2)质量块m的重心下降 后的重力势能：tAnsin)cos(tAnnAmaxnAmax2202max0max2121nAIITAkakaU22max2max121222maxmaxmax22121cos1mglAmglmglmgU
28、计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法因为 故得maxmaxUT2222202121mglAAkaAIn022ImglkanHzImglkafn77.0106.174856.054.33.02212212202计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法3.瑞利法（Rayleigh Method）前面介绍的几种计算系统固有频率的方法，都是将系统中弹簧的质量忽略不计。但是在有些系统中，弹簧本身的质量在系统总质量中占有一定的比例，此时若再忽略弹簧的质量，就将会使得计算出来的系统固有频率偏高。瑞利法则将弹簧质量对系统振动频率的影响考虑了进去，从而能得到相当准确的固有频率值。应用
29、瑞利法时，必须先假定一个系统的振动形式。而且所假定的振动形式越接近实际的振动形式，则计算出来的固有频率的近似值就越接近准确值。实践证明，以系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，则所求得的固有频率的近似值与准确值相比较，一般来说误差是很小的。现以最简单的弹簧质量系统为例来说明瑞利法的应用。在下图的系统中，若弹簧的质量与质量块的质量相比是很小的，则系统的振动形式就不会显著地受到弹簧质量的影响。在这种情况下，假设弹簧在振动过程中的变形（各截面的瞬时位移）与弹簧在受轴向静载荷作用下的变形相同是足够精确的。计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法图：弹簧质量系统 计算系统固有频率的其它方法计
30、算系统固有频率的其它方法解:假设弹簧上距固定端距离为 处的位移为：式中：l处于平衡位置时弹簧的长度；x 弹簧在联结质量块一端的位移。当质量块在某一瞬时的速度为 时，弹簧在处的微段d的速度应为 。令表示弹簧单位长度的质量，则弹簧微段d的质量为d.而其最大动能则为 ,所以弹簧的全部动能为：xlxxx lx dlx2max21计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 显然，系统的全部动能应该是质量块m的最大动能与弹簧的最大动能之和，即 系统的最大势能仍与无质量弹簧的情况相同，即：32212max20maxlxdlxTls)1(3232212max2max2maxmaxlmxlxxmT)2
31、(22maxmaxkxU计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法由动能和势能相等原理得：对简谐振动来说，上式即成为：由此可以得出系统固有频率的计算公式为：为了考虑弹簧质量对系统固有频率的影响，只需要将1/3的弹簧质量当作一个集中质量加到质量块上去即可。2322max2maxkxlmx232222kAlmAn3lmkn计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 一般将上式中的 称为“弹簧的等效质量”“effective mass of spring”,以ms表示。但是不同的振动系统，其弹簧的等效质量不同，需具体加以计算。因为 所以 因此只要先算出系统弹性元件的动能，即可根据
32、上式计算出系统弹性元件的等效质量。根据系统中的弹簧质量与质量块质量相比很小，从而在振动过程中弹簧各截面的瞬时位移按线性变化这一假设而得出的。但是，即使弹簧的质量较大，用原式计算系统固有频率也具有足够的精确度。例如,当 时，固有频率的计算误差约为0.5；当 时，计算误差约为0.8；当 时，计算误差约为3。3l221xmTss22xTmssml5.0ml ml2计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法例如图所示的等截面简支梁上有一集中质量m，若将梁本身的重量W考虑在内，计算此系统的固有频率。图承受集中质量的等截面梁 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法解：假设梁在振动时
33、挠度曲线与梁在图示载荷作用下的静挠度曲线一致。梁上物体左侧距A点为处的静挠度为：梁上物体右侧距B点为处的静挠度为：在物体m处梁的静挠度为：设物体m在振动状态下的最大速度为 ，则在物体左右两侧梁的所有点的最大速度 、与振动位移y1、y2之间存在以下关系：216blaEJlmgby226albEJlmgayEJlbmgaym322my 1y 2y nmmyyyy11nmmyyyy22计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法所以梁的左右两部分的最大速度为：因而梁的左右两部分的最大动能为：式中：w梁的单位长度的质量；22112blabayyyyymmm22222albabyyyyymmmd
34、blabagywTams20224221422222221581052332balbablgwaymgwaym22 bmsdalbbagywT02242222422222221028122aalbabaalgwbymgwbym22 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法22222158105233balbabl22222102812aalbabaal梁的全部动能为：根据上式可算出梁的等效质量为：所以系统的固有圆频率为：式中：，为梁的刚度。2212msssygwbwaTTTgwbwamssnmmk223babwawmggEJl 223baEJlk 计算系统固有频率的其它方法计算系统
35、固有频率的其它方法 从上式可以看出当忽略梁的质量时所计算出的系统固有频率比用瑞利法计算出的数值要小，因而误差较大。应用瑞利法也可求得无载荷的固有频率的相当准确的数值。由于无载荷的变形曲线是对称的，所以首先需将载荷移到梁的中间，然后再令载荷为零（m0），即可求出无载荷梁的固有圆频率为：而这一固有圆频率的精确值为：可见，近似值与理论精确值之差小于1。4632.02wlEJgn4637.02wlEJln2.6 非周期激励下的响应非周期激励下的响应 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 tFxkxcxm 定义定义两边作拉氏变换并有两边作拉氏变换并有 000 xx sFsxkscsm2 kscsmsFsx2 ksc
36、smsZsH211 kscsmsxsFsZ2 tx sx sFsH方程方程定义定义机械阻抗机械阻抗定义定义机械导纳机械导纳响应响应 0dettfsftft s振动的隔离振动的隔离 隔振：在振源和设备之间安放具有弹性性能的隔振装置。隔振分类:1、主动隔振2、被动隔振1、主动隔振、主动隔振设备本身为振源。传递最大动载荷为：22220222202220222)2()1()2(1)2()1()2(1)2()1()2(1)()()cos()sin(PPPPkPBkBcBkBPtBxtBxxckxPtttt2、被动隔振、被动隔振减小周围振源对设备的影响。设备的振幅为：tisUex22222222)()2(
37、)1()2(1)2()1()2(1UBUBBexti隔振系数：隔振的设计步骤隔振的设计步骤1、确定被隔振设备的原始数据：m、I、中心。2、按=2.55的要求，计算隔振系统的固有频率。多个激励时取最小激励频率，多自由度系统固有频率取最大值。3、计算隔振器的刚度、确定阻尼大小。4、进行隔振效率验算。5、选择隔振器类型，计算隔振器尺寸和结构设计。例题例题1、有一精密仪器要求隔振，为此用8个弹簧作为隔振装置，已知地板运动规律为 ，仪器质量为m=80kg，仪器容许振幅B=0.01cm，试计算每个弹簧的刚度。解：按隔振要求，隔振系数应为：)(sin1.0cmtxs例题例题 cmkgkkmkgmkkmUBn
38、/0896.08/7.711114.3801111111.0111.0122每个弹簧刚度为：隔振系数的计算公式为在不计阻尼的情况下，3、轴的临界转速、轴的临界转速单盘转子：x和y运动方程：s为几何中心，G为圆盘重心。yckyteydtdmxckxtexdtdm)sin()cos(22223、轴的临界转速、轴的临界转速 讨论：22222222222222222222222222212)2()1()()()2()1()sin()()()sin()2()1()cos()()()cos(：tgOSSGecmkmeyx：ostecmktmeytecmktmex导前的相位角比中点动挠度为3、轴的临界转速三
39、种不同转速的圆盘中心与几何中心的相对位置。1mkeosnk22121;21;21时，时，时，求：求：钢丝绳的最大拉力。钢丝绳的最大拉力。已知：已知：m=15t,v0=20 m/min k=5.78MN/m。iixFxm kmgmg)x(kxmstst,mkxxn220,0 kmgmg)x(kxmstst,mkxxnn22,0 00,vx0,t;x0t,)tsin(AxntmksinkmvxvAn00;0,kN2.245)(0maxmaxmkvmgxkFst22 如图35所示，质量为 m1的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为 m2的重物从高度为 h 处自由降落到 m1 上而无
40、弹跳，求系统的运动规律。习题习题21 具有粘性阻尼的弹簧质量系统，使质量偏离平衡位置然后释放。如果每一循环振幅减小 5，那么系统所具有的等效粘性阻尼系数占临界阻尼系数的百分之几？(0.816)tmmkkgmtmmkkmmhgmtx21221212cossin)(2)(习题习题24 弹簧质量系统，从t=0时，突加一个F0力，以后该力保持不变。试用Duhamel积分求系统的响应。25 一仪器要与发动机的频率从 1600 rpm 到2200 rpm 范围实现振动隔离，若要隔离85，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？(2.68 mm)2222)2()1()(cos)(tmgLkaaAknLgmLka22n)(222mgLkamLca212arctan23 试导出图示系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应、半功率带宽。tsakAamgLkcamLco)(222
