1、弹塑性力学与有限元弹塑性应力-应变关系弹塑性力学与有限元 q主要内容弹塑性应力-应变关系塑性应力-应变关系概述加载总则和流动法则理想弹塑性材料的增量应力-应变关系强化法则有效应力和有效塑性应变强化材料的增量应力-应变关系关于塑性强化的几点评述需要判断应变往塑性变形发展还是弹性变化，即需要加卸载条件判断；塑性变形时，应变和应力的关系如何，需要流动法则来解决；塑性变形后，材料屈服极限是否提高，屈服曲面如何变化，由强化法则来判断。q本章学习要点：掌握加载工程、卸载过程、中性变载等概念理解理想弹塑性材料的增量应力应变关系弹塑性应力-应变关系弹塑性应力-应变关系q理想弹塑性材料的增量应力-应变关系 Dr
2、ucker-prager模型021kJIfgklijijklHHHCCijkl*1epklijjkiljlikklijHHGkGGCijkl29132KepijijijsJGH23K弹塑性应力-应变关系q理想弹塑性材料的增量应力-应变关系 Drucker-prager模型弹塑性应力-应变关系q理想弹塑性材料的增量应力-应变关系 Drucker-prager模型22 JsddijijpijklklfHddcijk l1klGddsJGd3 KKk l2k k291ddp3k k弹塑性应力-应变关系q理想弹塑性材料的增量应力-应变关系 Drucker-prager模型弹塑性应力-应变关系q强化法则
3、 强化法则的概念 :在加载过程中，屈服面不断改变它的形状以使应力点总是位于它上面，从某一个屈服面如何进入后继屈服面的准则就是强化法则，也就是控制加载面发展的规则。随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化,新的屈服极限：(s)new=Max()后继屈服条件（也称加载条件）(s)new 处于屈服状态 (s)new 处于卸载状态 psB*ACOEepA弹塑性应力-应变关系q强化法则Max()随塑性变形历史单调增长，Max()(p)后继屈服条件即加载条件也可表示为 (p)0 为了描述强化性质，需要：（1）记录塑性加载的历史；（2）描述强化与塑性加载历史的关系。表达加载历史的参量为硬化参量(强化参数)
4、，它又称为内变量（internal-variable），它不能由观测仪器直接观测求出，而应力变形一类可由仪器直接测出的量称外变量,硬化参量记为 .弹塑性应力-应变关系q强化法则pzpypxpv目前常用的硬化参量有如下几种：1塑性功 ,是目前岩土弹塑性理论中用得较多的。2有效塑性应变3等效塑性剪应变4塑性体应变pijijpdwpijpijpijpddS32pw弹塑性应力-应变关系q强化法则使用一组内变量（=1，2，n）描述塑性变形历史;后继屈服条件 f(ij，)=0 随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载面也随之改变。当应力状态ij处在加载面上，f(ij，)=0施加增量dij：（1）加载：
5、dij指向加载面外（2）中性变载：dij沿着加载面（3）卸载：dij指向加载面内加载卸载中性变载加载面nd d d ij弹塑性应力-应变关系q强化法则由于任何一种应力状态都不能位于加载面之外 f(,ijf(d ,dijij 0dfdfijij 增量后 f(ij+dij，+d)=0 增量前 f(ij，)=0，一致性条件：弹塑性应力-应变关系q强化法则随加载过程，内变量不断地增加中性变载或者卸载时，则内变量保持不变总之：内变量只会增加，不会减少。且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。这是由塑性变形的不可逆性所决定的。弹塑性应力-应变关系q强化法则几何特点（在应力空间）：加载面形状和中心位置都不变，
6、大小变化，形状相似的扩大；物理意义：假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。数学表示：f(ij，k)=f0(ij)k()=0 各向同性强化（等向强化）等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈服极限得到提高，所有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。弹塑性应力-应变关系q强化法则 032J 023ijijss0)(pdMises初始屈服条件 函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定.加载（后继屈服）条件032sJ0322sJ弹塑性应力-应变关系q强化法则几何特点（在应力空间）：形状和大小、方向保持不变，只是中心位置发生改变，加载面作刚体移动。物理意义：材料在强化后为各向异性。随动强化数学表示：f(
7、ij,ij)=f 0(ij-ij)k=0 ij 是一个表征加载面中心移动的应力值，称为反（背）应力（back stress）提供了考虑Bauschinger效应的简单方法。f 0(ij-ij)=k 弹塑性应力-应变关系q强化法则 Prager随动强化模型式中c是材料常数，由试验确定。对于Mises屈服条件，该模型可写成pijijcdd最简单的方法就是假设dij和dij线性相关，这就是所谓的PragerPrager强化准则(Prager,1995,1956),(Prager,1995,1956),即：反（背）应力增量dij应平行于塑性应变增量弹塑性应力-应变关系q强化法则 Ziegler随动强化
8、模型为了得到在子空间中也有有效的随动强化法则，Zigeler(1959)Zigeler(1959)修改了PragerPrager强化法则，假设以如下形式沿折减应力矢量ij=ij-ij方向 平移其中，d是一个正的比例系数，其与所经历的变形历史有关，为简 单起见，这个系数可假设有如下形式:弹塑性应力-应变关系q强化法则 混合强化几何特点：加载面大小、位置和中心都改变，它是前面两种情况的综合；数学表达：f(ij，ij，k)=f0(ij,ij)k()=0 与随动强化不同的是，这里k随加载的历史而变化。在这种情况下，加载面既有均匀膨胀又有平移，前者用k()度量，后者用ij确定.在结合两种强化法则的同时，
9、把塑性应变增量分为两个共线的分量弹塑性应力-应变关系q强化法则 混合强化其中，dpiij与屈服面的膨胀有关，dpkij与屈服面的平移有关假设这两个应变分量为弹塑性应力-应变关系q有效应力和有效塑性应变 为了描述强化性质，需要：记录塑性加载的历史;描述强化与塑性加载历史的关系。强化函数是关于强化参数（或）的函数，它的函数形式是与 材料有关的。我们定义有效应力e e和有效塑性应变p p，它们分别折算为单轴应力试验中的应力和塑性应变。有效应力有效塑性应力e e定义：弹塑性应力-应变关系q有效应力和有效塑性应变其中，A A和n n由e e折算为单轴试验中的应力1 1的条件来确定，比如，对于von Mi
10、sesvon Mises材料，可以假设 f0(ij)=J2，则有:对于在X1X1方向的加载试验，e e1 1，而其它方向应力分量为零，由此可得A A1/31/3和n n2 2，因此因为在塑性应变中，f0k0，对于这种材料强化函数k可用e e表示为：有效应力弹塑性应力-应变关系q有效应力和有效塑性应变历史上的两个假设：一个是假设强化以来于塑性功WWp p，即屈服的抗力取决于在材料上所做的总塑性功WWp p，这被称为加工强化假设；另一个假设称作应变强化假设，假 设强化与总的塑性变形有关，同时塑性变形经常被表示 为所谓的有效塑性应变p p。所谓的有效塑性应变p p用塑性增量的简单组合来确定 有效塑性
11、应变弹塑性应力-应变关系q有效应力和有效塑性应变用流动法则，得到：在轴向加载条件下，按定义dp等于dp11,因此，由上式得到 有效塑性应变弹塑性应力-应变关系q有效应力和有效塑性应变 有效应力有效塑性应变关系有效应力有效应变关系表示了弹塑性材料强化过程的特性现在用单轴应力试验来标定，它的一般形式:微分法给出增量关系其中，Hp=de/dp称为塑性模量。对各向同性强化材料，Hp表示屈服面的膨胀率.弹塑性应力-应变关系对于混合强化材料，e的变化归因于屈服面的膨胀和平移。假设屈服面的膨胀由折减的有效应力应变关系来决定 有效应力有效塑性应变关系对上面方程进行微分可得到屈服面的膨胀率:q有效应力和有效塑性
12、应变其中，Hp为与屈服面的膨胀有关的塑性模量,和M并不是相互独立的，如果M给定，就能根据e(p)来建立函数 .弹塑性应力-应变关系为证明这一点，首先令式中，系数B B取决于随动强化法则和塑性势能函数的类型。对于某些材料B的特殊形式将在例7.117.11中讨论。由此和式(7.87)(7.87)，式(7.89)(7.89)容易导出 有效应力有效塑性应变关系由于M M在单调试验中的不确定性，所以其值不应该影响Hp Hp 的值。那么式(7.91)(7.91)要求利用式(7.87)(7.87)和式(7.89)(7.89)，可以把e e和e e表示为q有效应力和有效塑性应变考虑到式(7.93)(7.93)
13、左和式(7.94)(7.94)，可得弹塑性应力-应变关系q强化材料的增量应力-应变关系在这一节中，将推导强化材料的增量应力应变关系,特别地，将讨论两种强化法则：各向同性强化和混合强化。两组本构关系：(1)一个是用应力增量dij的形式表示 应变增量dij；(2)另一个是用应变增量dij的形式表示dij应力增量。虎克定律的如下形式：其中，D Dijklijkl是弹性柔度张量.弹塑性应力-应变关系q强化材料的增量应力-应变关系一致性要求在塑性变形过程中应力点总是位于屈服面上。因此对于各向同性强化材料，以下两个方程也必须满足:各向同性强化应力增量形式的表达式式中，弹塑性应力-应变关系q强化材料的增量应
14、力-应变关系根据式(7.105)有：把上式代入流动法则式(7.4)和式(7.79右)则导出考虑到式(7.27),式(7.103)和式(7.108左),得到应变增量表达式或以应力增量表示的应变增量弹塑性应力-应变关系q强化材料的增量应力-应变关系其中，是弹塑性柔度张量，表示为以应变增量表示的应力增量考虑到式(7.29)和式(7.105)有把d和应变增量联系起来，则有其中从式(7.4)，式(7.179)和式(7.112)可得弹塑性应力-应变关系q强化材料的增量应力-应变关系把式(7.114)(7.114)左代入式(7.29)(7.29)得到应力应变增量关系为或在这里，C Cijklijkl是弹塑性
15、刚度张量，表示为其中弹塑性应力-应变关系q强化材料的增量应力-应变关系 混合强化对于混合强化材料的屈服面表示为一致性要求增量形式的一致性要求弹塑性应力-应变关系q强化材料的增量应力-应变关系反应力增量dij与塑性变形相关，如果用Prager Prager 强化准则式(7.84)(7.84)，则有如果用Ziegler强化准则式(7.85)，则有因此在两者中的任一情况下，可写出弹塑性应力-应变关系q强化材料的增量应力-应变关系对Prager法则对Ziegler法则把式(7.124）代入式(7.121)导出其中以应力增量表示的应变增量如前述的各项同性强化情况同样推导可得到弹塑性应力-应变关系q强化材
16、料的增量应力-应变关系推导与各向同性强化材料相同，最终表达式为以应变增量表示的应力增量其中弹塑性应力-应变关系q强化材料的增量应力-应变关系q关于塑性强化的几点评述弹塑性应力-应变关系DruckerDrucker稳定性假设(1)在施加附加力系的过程中，外力在所产生的位移变化上做正功；(2)在附加力系施加和卸除的一个完全循环中，外力所做的净功和由此产生惟一的变化为非负值。数学上两个稳定性假设可表示为：q关于塑性强化的几点评述弹塑性应力-应变关系DruckerDrucker稳定性假设数学上两个稳定性假设表达式的进一步简化：注意到：由式(7.143)和式(7.145)导出如下的充分条件q关于塑性强化
17、的几点评述弹塑性应力-应变关系DruckerDrucker稳定性假设考虑图示的一个循环受力过程，在该过程中外力所做的功为：q关于塑性强化的几点评述弹塑性应力-应变关系DruckerDrucker稳定性假设加载循环完成后只有塑性功作为外力所做的净功保留下来考虑到路径BC的任意性，得到循环稳定条件的数学表达式q关于塑性强化的几点评述弹塑性应力-应变关系 外凸性和正交性外凸性：初始屈服面和所有的后继加载面必须是外凸的正交性：塑性应变增量矢量dpij,在一个光滑点必须与屈服 面或加载面假设 f(ij,pij,k)=0正交.关系式：线性和连续性其中,q关于塑性强化的几点评述弹塑性应力-应变关系对与稳定的弹塑性材料，Hijkl是一个正定张量 线性和连续性线性条件使弹塑性本构模型对于边值问题的应用成为合理，而连续性是在试验中应遵守的必要条件图图7.19 7.19 应变增量与应力增量的关系应变增量与应力增量的关系q关于塑性强化的几点评述弹塑性应力-应变关系 非关联流动法则对于弹性加工强化材料，唯一性允许产生并不满足Drucker稳定性假设的非关联流动法则。唯一性的条件而不是稳定性条件当作是在建立弹塑性应力应变关系中的基本准则。非关联流动法则的一般形式由式(7.4)给出，式(7.150)变为其中 谢 谢 各 位
