1、第一节第一节 多元函数的概念、极限与连续多元函数的概念、极限与连续 一、多元函数的概念一、多元函数的概念 二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续例例1 1 圆柱体的体积 和它的底半径,高 之间的关系为 ,其中、是三个变量,当变量 、在一定范围（，）内取定一对数值 时,根据给定的关系，就有一个确定的值 与之对应.0r0h00,hrV2000Vr hI例例2 2 电路中电流强度,电压 和电阻 之间满足 关系式 ,其中 是三个变量,当变量 在一定范围()内取定一对数值 时，根据给定的关系 ,就有一个确定的值 与之对应 IVRRVI RVI,RV,0,0RV00,RV000RVI 1.1.引
2、例引例Vrhhr2Vr hVrh一、多元函数的概念一、多元函数的概念 2.2.二元函数的定义二元函数的定义定义1 设 是三个变量.如果当变量 在一定范围内任意取定一对数值时,变量 按照一定的法则 总有确定的数值与它们对应,则称变量 是变量 的二元函数,记为其中 称为自变量,称为因变量.自变量 的取值范围称为函数的定义域二元函数在点 所取得的函数值记为 ，或 zyx,yx,zfzyx,),(yxfz yx,zyx,),(00yx00yyxxz),(00yxz),(00yxf)sin(ln2xyxez),(),2,0(xyff21121)02sin(0ln)2,0(2ef)sin(ln),(2yx
3、yexyfP)(xfy),(zyxP)(Pfu),(21nxxxPPx)(Pfy 所以三元函数),(zyxfu 可表示为),(Pfu P的坐标以点为点表示自变量的函数称为点函数这样不论是一元函数还是多元函数都可统一地表示的函数),(000yxP)()(),(2020yyxxyx0P),(0PU开区域开区域 如如:.41|),(22 yxyxxyo.41|),(22 yxyx闭区域闭区域 如如:xyo例例4 4 求下列函数的定义域，并画出的图形 (1)解解 要使函数有意义，应有即定义域为有界开区域221lnyxz 0122yx122 yx1),(22yxyxD（2）解：要使函数有意义，应有 即定
4、义域为无界闭区域)arcsin(yxz1 yx11yx11|),(yxyxD设 是二元函数 的定义域 内的任一点,则相应的函数值为,有序数组 确定了空间一点 ,称点集),(yxP),(yxfz D),(yxfz zyx,),(zyxM),(),(),(Dyxyxfzzyx为二元函数的图形.),(yxfz 二元函数 的图形通常是一张曲面.4.4.二元函数的几何意义二元函数的几何意义当1 1二元函数的极限二元函数的极限邻域内有定义（点定义2 设二元函数),(yxfz 在点),(000yxP0P可以除外）,如果当点),(yxP沿任意路径趋于点),(000yxP时,函数),(yxf趋于常数,那么称为函
5、数),(yxfz),(),(00yxyxAyxfyyxx),(lim00APfPP)(lim0的某一总无限AA时的极限，记为或二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续说明：说明：（1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。xyoP00PP例例5 5 求极限 解解:22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中
6、yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinlim0222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyx22200)sin(limyxyxyx 例例6 6证明 不存在 证：证：,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随k的不同而变化，故极限不存在26300limyxyxyx 确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：（1）令点),(yxP沿kxy 趋向于),(000yxP极限值与k有关，则),(yxf在点),(000yxP处极限不存在;，若（2）找出两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyy
7、xx存在，但两者不相等，则此时),(yxf在点),(000yxP处极限不存在2 2二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义3 3 设函数),(yxfz 在点),(000yxP的某一邻域内),(),(lim0000yxfyxfyyxx ,则称函数),(yxf在点),(000yxP如果函数),(yxfz 在区域D内每一点都连续,则),(yxf在区域D如果函数),(yxfz 在点),(000yxP不连续，则称点000(,)P xy是函数),(yxf的间断点.有定义.如果内连续.处连续.称函数)3,2(例例7 7 求xyyxyx32lim解解 因为函数xyyxyxf),(是初等函数,且点65)3,2(
8、lim32fxyyxyx在该函数的定义域内,故例例8 8 讨论函数)0,0(),(0)0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf 的连续性)0,0(),(yx时，),(yxf为初等函数,故函数在)0,0(),(yx点处连续.当)0,0(),(yx220000lim),(limyxxyyxfyxyx不存在,所以函数),(yxf在点)0,0(处不连续，即原点)0,0(是函数的间解 当断点时,由例5知3 3有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质性质性质1 1（最值定理）在有界闭区域上连续的二元 函数，在该区域上一定有最大值和最小值性质性质2 2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元
9、函数，必能取得介于函数的最大值与最小 值之间的任何值第二节第二节 偏导数偏导数 一、偏导数一、偏导数 二、高阶偏导数二、高阶偏导数1.1.偏导数的定义偏导数的定义 在点定义定义 设函数),(yxfz),(00yx的某邻域内有定义,0yy,而x在0 x取得增量x时,函数z相应取得),(),(0000yxfyxxfzx如果极限xyxfyxxfxzxxx),(),(limlim000000存在,),(yxfz 在点),(00yx处对x,00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz或),(00yxfx增量(称为偏增量):固定的偏导数,记为则称此极限值为函数一、偏导数一、偏导数 类似地,函数),
10、(yxfz 在点),(00yx处对yyyxfyyxfyzyyy),(),(limlim000000记为,00yyxxyz,00yyxxyf,00yyxxyz 或),(00yxfy偏导数定义为:的2.2.偏导数的求法偏导数的求法例例1:1:求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数.解解 把 y 看成常数,得yxxz32 8231221yxxz把 x 看成常数,得yxyz23 7221321yxyz例例2 2求函数yxyxfarctan,的偏导数222111yxyyyxxz222211yxyyxyxyz解解:例例3 3 设222uyxu,证明:2221uuuxyz证证 因为 uxxuuyy
11、uuzzu所以2222222221uuuxyzuxyzuu例例4:4:已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数.)证证:因为);1(,2VRTVPVRTP求证求证:;,PRTVPRTV;,RVPTRPVT所以PTTVVPRVPRVRT2PVRT=11PTTVVP偏导数的记号是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误yzxz,例例5:5:求0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在点(0,0)处的偏导数.解解:xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0 xxxx00)(0lim220=00)0,0()0,0(lim)0,0(0yfyffyy 注意注意:二元函数在某点存在偏导
12、数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的3.3.偏导数的几何意义00,xfx y是曲面yxfz,与平面0yy 的交线在点0000,yxfyx处的切线x轴的斜率.对00,yfxy是曲面yxfz,与平面0 xx 的交线在点0000,yxfyx处的切线y轴的斜率.对二、高阶偏导数二、高阶偏导数),(yxfz 函数(,)xzfx yx(,)yzfx yy它们都是的函数,yx,如果这两个函yx,的偏导数也存在,则称它们的偏导数),(yxf的二阶偏导数 数关于 是的二个偏导数xxxxzyxfxzxzx ,22xyxyzyxfyxzxzy ,2yxyxzyxfxyzyzx ,2yyyyz
13、yxfyzyzy ,22四个二阶偏导数二阶混合偏导数 类似地,可定义三阶、四阶以至 阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而 和 称为函数的一阶偏导数 nxzyz例例6 6:设 z=x3 y2 3 xy3xy+1,解解:;33322yyyxxz;9223xxyyxyz;6222xyxz;196222yyxxyz;196222yyxyxz.6233yxz;182322xyxyz22yz及,2222yxzxyzxz求 33xz定理定理如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导xyzyxz22,在区域D内连续,则对任何Dyx),(有xyzyxz22数即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数
14、与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论例例7 7 设函数xyzarctan，求yxz2xyz2解解 2222)(11yxyxyxyxz2221)(11yxxxxyyz2222222222222)()()20()()()1()(yxxyyxyyyxyxyyyxz2222222222222)()()02()(1)(yxxyyxxxyxyxxyyxz，一、全微分的定义一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用第三节第三节 全微分全微分当边长当 其中记,宽为称为函数,则面积一矩形金属片,长为xyxyz yx,分别有增量yx ,时,面积的增量为()()zxxyy
15、xyy xx yx y zxyz 的全增量，22)()(yx0时,即0 x,且0y时，yx是比高阶的无穷小.则 yxxyzxzyyzxyyzxxzz,，从而有1、引例、引例一、一、全微分的定义全微分的定义2.2.全微分全微分的定义的定义定义定义 设函数),(yxfz),(yxxzyz),(yxfz),(yxz),(),(yxfyyxxfz)(oyyzxxz22)()(yxyyzxxz),(yxfz),(yxdzzzxyxy 在点的某邻域内有定义,且、存在,如果在点处的全增量可表示为其中,则称为函数在点处的全微分，记作由定义可知：(1)如果函数),(yxfz),(yx处的两个偏导数xzyz在点处
16、可微，则在该点、必都存在(2)函数),(yxfz 在点),(yx处可微,则函数在点),(yx处连续(3)规定自变量的增量等于自变量的微分，即d,dxxyy ,则全微分又可记为dddzzzxyxy注注:若z=f(x,y)在(x,y)处,z=f(x,y)在(x,y)处可微分.都存在,不能保证)0,0(Oyzxz、0)0,0()0,0(xyff0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在处,但它在)0,0(O处不可微分.例如：在点定理定理1 1(充分条件)如果函数),(yxfz 的两个),(yx),(yxfz),(yx处存在且连续,则函数处必可微yxz 1yyxxzxxyzylndddzzz
17、xyxy1dln dyyyxxxxy例例 求函数的全微分解解偏导数在点注注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.yzeyxu2sin解解 ,1 xuyzzeyyu2cos21 yzyezu dzyedyzeydxdyzyz)2cos21(z 例例：计算的全微分例例:求 z=x4 y3+2x 在点(1,2)的全微分.解解 24 33yxxz 3421yxxz12 21yxyz243 yxyz dz=34dx+12dy 极限,连续,偏导存在,可微的关系:极限连续偏导存在可微+连续二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用设函数),(
18、yxfz),(yxyx,yx ,yyxfxyxfdzyxfyyxxfzyx),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(在点处可微，当分别取得增量时，从而解解 01.4)98.1(01.4)98.1(可看作函数yxz 98.1 xx01.4yy2x02.0 x01.0,4yy32)4,2(421yxyxyxf09.11ln)4,2(42yxyyxxf01.4)98.1()4,2()4,2()4,2(fyfxfyx1601.009.11)02.0(3247.15例例4 4 求的近似值在的函数值.取第四节第四节 多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数
19、的微分法 一、多元复合函数微分 二、隐函数微分法),(yxu定理定理(复合函数的偏导数),在对应点),(yxv),(yx),(vufz),(vu),(),(yxyxfz),(yxxvvzxuuzxzyvvzyuuzyz在点处有偏导数,处有连续偏导数,在点处的偏导数存在,且设函数函数则复合函数一、一、多元复合函数微分多元复合函数微分 zuvxyvezusin例例1 1 设yxvxyu,xzyzxvvzxuuzxz1cossinveyveuu)cos()sin(yxeyxyexyxy)cos()sin(yxyxyexy,而,求,解解zuvxyyvvzyuuzyz1cossinvexveuu)cos
20、()sin(yxeyxxexyxy)cos()sin(yxyxxexy情形1：vufz,yxu,yxv,yxyxfz,在求多元复合函数的偏导数时，常用图示法表达变量之间的关系 xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz链式图设zuvxy情形2：vufz,tu,tv ttfz,全导数dtdvvzdxduuzdtdz链式图 设zuvx复合函数的中间变量既有一元函数，又有yxfz,tsx,ty ttsfz,链式法则 多元函数的情形,设链式图 sxxzszdtdyyztxxztz情形3：zxystt注意),(yxu),(yxufz,),(yxyxfzxfxuuzxzyfyuuzyz链式图链式法则设zxy
21、uxy22yxz tytxcos,sinddztddddddzzxzytxtyt)sin(2cos222tyxtxyttttcossin2cossin233)sin(coscossin222ttttt 4sin21例例2 2 设函数,其中,求解解)ln(22uyxzxyusinxz,yzxuuzxfxzxyuyxuyxxcos122222xyyxxyxsincos222例例3 3 设,而,求解解yuuzyfyzxuyxuyxysin122222xyyxxysinsin222例例4 4 设),(2yxyfz,求xzyz解解 令xyu，2yv，则),(vufz xvvzxuuzxz0vfyufuf
22、y,yvvzyuuzyzyvfxuf2vfyufx21.1.一元隐函数求导公式一元隐函数求导公式方程 0,yxF xyy 0,xyxF 链式图 两边对x求导，得：0dxdyyFxFyxFFyFxFdxdy 二、隐函数微分法二、隐函数微分法 Fxyx方程 0,zyxFyxzz,得 0,yxzyxF两边对x求导：0 xzzFxF两边对y求导：0yFyzzF 得 zxFFxzzyFFyz，2.2.二元隐函数求导公式二元隐函数求导公式例例5 5 求方程lnln0 xyxy所确定的隐函数)(xfy 的导数ddyx解解 设(,)lnlnF x yxyxy,则xyFx1yxFy11d1dxyyFyyxxFx
23、xy 例例7 7 求由xyzez所确定的二元隐函数),(yxfz 的偏导数xyzezyxFz),(yzFxxzFyxyeFzz当0 xyeFzz)1(zxzxyxyzyzxyeyzxzz)1(zyzxyxyzxzxyexzyzz解解 令,则时,有第五节第五节 偏导数在几何上的应用偏导数在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 空间曲线 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面)()()(tztytx)()()(000000tzztyytxx对应于0tt 的一点),(0000zyxM 切线方程为向量)(),()
24、,(000ttts是曲线在点0M处的切线的方向向量.0M0M若过点线在点且垂直于曲线在该点的切线的平面称为曲的法平面，则法平面的方程为0)()()(000000zztyytxxttztytx2sin2cos24t2,cos2,sin2ztytx4t2,2,2s)42,2,2(例例1 1 求螺旋线上对应于点处的切线与法平面方程解解 因为所以在处的切向量为切点坐标为0)42(2)2(2)2(2zyx4t2422222zyx于是，螺旋线在点处的切线方程为1421212zyx即02444zyx即法平面方程为2xzxy)1,1,1(Mx例例2 2 求曲线处的切线与法平面方程在点解解 将看成参数,曲线的参
25、数方程为2xzxyxxM点的切线的方向向量为 2,1,12,1,1Mxs在所以曲线在点M211111zyx0)1(2)1()1(zyx即042zyx处的切线方程为法平面方程为二、曲面的切平面与法二、曲面的切平面与法线线曲面0),(zyxF:若过曲面上的点0M且在曲面上的任何曲线在点0M则称该平面为曲面在点0M处的切平面,0M直于切平面的直线，称为曲面 在点0M处的法线.处的切线均在同一个平面上，且垂0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx0M),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx切平面方程为曲面
26、在点处的法线方程为过点22yxz)5,4,3(22),(yxyxfz22yxxfx22yxyfy53)4,3(xf54)4,3(yf例例3 3 求圆锥面在点处的切平面及法线方程解解 设,因为因此，圆锥面在点)5,4,3()4(54)3(535yxx即 0543zyx15544533zyx即554433zyx处的切平面方程为法线方程104222zyx243zyx104),(222zyxzyxF),(0000zyxM00002),(xzyxFx00002),(yzyxFy00002),(zzyxFz例例4 4 求球面上平行于平面的切平面方程解解 令则切点为0M0)(2)(2)(2000000zzz
27、yyyxxx0104000zzyyxx243zyx143000zyx00004,3zyzx过的切平面方程为即因为它与平面平行,所以解得),(000zyx104202020zyx104169202020zzz20z8,600yx0M)2,8,6()2,8,6(5243zyx又因为点在球面上，所以有即解得,于是点的坐标为所求切平面方程为第六节第六节 二元函数的极值二元函数的极值 一、二元函数的极值一、二元函数的极值二、二元函数的最大值与最小值二、二元函数的最大值与最小值三、条件极值三、条件极值 一、二元函数的极值一、二元函数的极值00,yxfyxf,点00,yx为极大值点,00,yxf为极大值00
28、,yxfyxf定义定义：设函数 yxfz,在点00,yx定义，若该邻域内 的某个邻域内有,点00,yx为极小值点,00,yxf为极小值（亦称点 00,yx为驻点）定理定理1 1（极值的必要条件）:若函数 yxfz,在点00,yx有极值，且 yxf,在点00,yx偏导数存在,则 该点的偏导数必为零定理定理2 2（极值存在的充分条件）:),(00yx),(yxfz),(00yx),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy 设点是函数的驻点，且函数在点的某邻域内二阶偏导数连续，令02 ACB),(00yx则(1)当时,点0A0C),(00yx0A0C）时,点),(00yx是极值
29、点,且（i）当（或）时,点是极大值点；(ii)当（或是极小值点.()当02 ACB),(00yx()当02 ACB时,点),(00yx不是极值点 时,点不是极值点可能是极值点也可能124),(223yxyxxyxfyxxyxfx283),(2yxyxfy22),(86),(xyxfxx2),(yxfxy2),(yxfyy（2）解方程组02202832yxfyxxfyx得驻点)0,0(及)2,2(例例1 1 求函数的极值解:（1）求偏导数结论:)0,0(8A2B2C在处02ACB,)2,2(4A2B2C在处02ACB,取得极大值1)0,0(f 函数在)0,0(处无极值函数在)2,2(注意:对一般
30、函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.二、二元函数的最大值与最小值二、二元函数的最大值与最小值类似一元函数,求多元函数在有界闭区域上的可能最值点包括驻点和偏导数不存在的点和边界点.分别求出各点处的函数值,比较其大小即可.xOyP)1,0(),0,1(),0,0(321PPP),(yxPxOyP321,PPP例例2 2 在坐标面上找一点使它到三点的距离平方和为最小解解 设为面上的任一点,则到三点距离的平方和为232221PPPPPPS222222)1()1(yxyxyx2223322yxyx求yx,26 xSx 26ySy026026yx)31,31()31,31(的偏导数，有解
31、方程组得驻点由问题的实际意义知，到三点距离平方和最小的点一定存在,又只有一个驻点,因此即为所求点三、条件极值三、条件极值 （1）条件极值 无条件极值 （2）条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日乘数法）。),(yxfz 0),(yx),(),(),(yxyxfyxF(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0 xxxyyyF x yfx yx yF x yfx yx yx y),(yx求函数在约束条件下的极值，其步骤为：(1)构造辅助函数,称为拉格朗日函数,其中参数称为拉格朗日乘数；(2)解联立方程组得可能极值点2azyx,xyzV 2)(2axzyzxy0)(2),(2axzyzxyzyx构造辅助函数)2(2),(2axzyzxyxyzzyxF,而体积为最大的长方体的体积例例8 8 求表面积为则长方体体积解解 设长方体长、宽、高分别为约束条件为即 为0)(20)(20)(20)(22axzyzxyyxxyFzxxzFzyyzFzyx6azyx,64a)6,6,6(aaa3max366aV解联立方程组解得因为是唯一可能的极值点，所以由问题的实际意义知
