1、认识无穷多认识无穷多目目 录录“无穷多无穷多”能实证和感知吗？能实证和感知吗？“无穷多无穷多”到底是多少？到底是多少？“无穷多无穷多”的存在性案例。的存在性案例。我们常在课堂上听到：我们常在课堂上听到：“线段上有画不线段上有画不完的点，所以，线段上有无穷多个点。完的点，所以，线段上有无穷多个点。”也常听到疑惑的声音：也常听到疑惑的声音：“有限的线段上有限的线段上怎能画出无限多的点？铅笔削得再尖怎能画出无限多的点？铅笔削得再尖,只要只要不停地画下去不停地画下去,最后肯定会画满的！最后肯定会画满的！”在现实中，你能在线段上画出一个没有在现实中，你能在线段上画出一个没有“大小大小”的点吗？的点吗？数
2、学点和线数学点和线（包括直线、射线、线段），和现实生活中的点和线是不相同的。（包括直线、射线、线段），和现实生活中的点和线是不相同的。数学中的点和线是由现实中的点和线抽象而成，但在现实中却是找不到数学中的点和线是由现实中的点和线抽象而成，但在现实中却是找不到数学中的点和线。数学中的点和线。如果点有如果点有“大小大小”，有限的线段就不可能画出无穷多个点。，有限的线段就不可能画出无穷多个点。如果就算能画出如果就算能画出1 1万个，万个，1010万个点，也还是有限的。万个点，也还是有限的。8 8万亿个点，课堂上能画完不？万亿个点，课堂上能画完不？“画不完画不完”也不能等同也不能等同于于“无穷多无穷多
3、”。“线段上有无穷多个点线段上有无穷多个点”不能实证和感知，只能想不能实证和感知，只能想象。想用实证的方法来验证无穷多个，只会是缘木求象。想用实证的方法来验证无穷多个，只会是缘木求鱼、南辕北辙。鱼、南辕北辙。那我们怎么说明那我们怎么说明“线段上确实有无穷多个点线段上确实有无穷多个点”呢呢?提到提到“无穷多无穷多”或或“无穷大无穷大”的概念，你首先想到的是什么呢？的概念，你首先想到的是什么呢？是浩瀚的宇宙？还是永远数不到头的数？是浩瀚的宇宙？还是永远数不到头的数？相信大家都认可：相信大家都认可：“要多少有多少，没完没了，无穷无尽要多少有多少，没完没了，无穷无尽”才才能算无穷多。能算无穷多。当我们
4、从当我们从1 1开始数开始数2 2，3 3，4 4，5 5，66的时候，我们想象得到自然数是的时候，我们想象得到自然数是无尽头的。无论数到一个多么大的数，永远都会有很多比它大的后继数，无尽头的。无论数到一个多么大的数，永远都会有很多比它大的后继数，不会有不会有“最后的自然数最后的自然数”。因此，存在着无穷多的自然数。因此，存在着无穷多的自然数。基于自然数无限性，我们对“无穷多”的深入认识：如果一个集合如果一个集合A A与自然数集合与自然数集合N N能建立能建立“一一对应一一对应”关系（关系（A A的元素个数与自然数一的元素个数与自然数一样多），或者集合样多），或者集合A A的一个子集合（部分）
5、与的一个子集合（部分）与自然数集合自然数集合N N能建立能建立“一一对应一一对应”关系（关系（A A的的元素个数不少于自然数的个数），我们也可元素个数不少于自然数的个数），我们也可以说以说A A元素个数是无穷多。元素个数是无穷多。基于自然数无限性可以直接得到：基于自然数无限性可以直接得到：有理数，实数有无穷多个。有理数，实数有无穷多个。因为自然数集合是有理数集合、实因为自然数集合是有理数集合、实数集合的子集合；偶数集合、奇数集合、数集合的子集合；偶数集合、奇数集合、3 3的倍数集合，的倍数集合，1212与与2525公倍数的集合有无公倍数的集合有无穷多个元素。穷多个元素。案例案例1 1：线段上有
6、无穷多个点：线段上有无穷多个点假设只有假设只有k k个质数，设它们是个质数，设它们是p1,p2,p1,p2,pk,pk。构造一个大于。构造一个大于1 1的整数，的整数，N=p1 p2N=p1 p2pk+1pk+1由算术基本定理可知，由算术基本定理可知，N N可以唯一分解为质因数的乘积，因而，可以唯一分解为质因数的乘积，因而，N N至少有一个质因数至少有一个质因数pipi，pipi整除整除N N。pipi是是p1 p2p1 p2pkpk的因数，所以，的因数，所以，pipi整除乘积整除乘积p1 p2p1 p2pkpk。由整除的性质，由整除的性质，pipi整除差整除差 N-N-p1 p2p1 p2pk,pk,即即pipi整除整除1 1，“质数是质数是1 1的的因数因数”是不可能的，是不可能的，从而得出矛盾。从而得出矛盾。所以质数不可能是有限个。所以质数不可能是有限个。案例案例2 2：证明质数有无限多个等：证明质数有无限多个等（1 1）证明：不论是大圆还是小圆，它们的半径）证明：不论是大圆还是小圆，它们的半径一样多，而且都是无穷多。一样多，而且都是无穷多。（2 2）证明：根号）证明：根号2 2是无限不循环小数。是无限不循环小数。感谢观看感谢观看本课件中部分所用素材来源于网络，仅供教学使用本课件中部分所用素材来源于网络，仅供教学使用
