1、非线性非线性有限元有限元第第5 5章章 本构模型本构模型 2022年年9月月29日日如何学好这门课？带着科研问题！如何学好这门课？带着科研问题！这门课得到什么？力学思维方法！这门课得到什么？力学思维方法！增加互动机制，请同学讲问题！增加互动机制，请同学讲问题！1.1.通过通过“有限元离散这条主线把连续介质力学、固体有限元离散这条主线把连续介质力学、固体本构、板壳理论等众多固体力学课程贯穿起来，对多本构、板壳理论等众多固体力学课程贯穿起来，对多年来学习的力学知识进展有效的梳理。教材是科研中年来学习的力学知识进展有效的梳理。教材是科研中不可缺少的不可缺少的“百科全书。百科全书。2.2.通过数值语言
2、描述一些抽象、艰深的力学概念，比方通过数值语言描述一些抽象、艰深的力学概念，比方从构造体内力更新的角度阐述连续介质力学中从构造体内力更新的角度阐述连续介质力学中CauchyCauchy应力与转动应力与转动JaumannJaumann率的关系，使貌似复杂的力学定义率的关系，使貌似复杂的力学定义原来是如此形象和自然。原来是如此形象和自然。3.3.课程涉及到很多固体力学中的前沿问题，如材料的稳课程涉及到很多固体力学中的前沿问题，如材料的稳定性、任意欧拉定性、任意欧拉-拉格朗日网格描述等，拓宽了视野，拉格朗日网格描述等，拓宽了视野，对博士生选题有很大启发。对博士生选题有很大启发。4.4.课程提高了解决
3、实际力学问题的能力，使得在科研中课程提高了解决实际力学问题的能力，使得在科研中通过数值模拟迅速实现一些新想法，假设到国外留学，通过数值模拟迅速实现一些新想法，假设到国外留学，从事博士后研究，更能体会到该课程带来的好处。从事博士后研究，更能体会到该课程带来的好处。第第5 5章章 本构模型本构模型 1 1引言引言2 2应力应力-应变曲线应变曲线 3 3一维弹性一维弹性 4 4非线性弹性非线性弹性5 5一一维塑性维塑性 6 6多轴多轴塑性塑性7 7连续介质力学与本构模型连续介质力学与本构模型1 1 引言引言 金属金属塑料塑料生物生物材料材料工程工程材料材料本构关系是有限元模本构关系是有限元模拟关键一
4、环！拟关键一环！2 应力应力-应变曲线应变曲线 材料应力应变行为的许多根本特征可以从一维应力状态材料应力应变行为的许多根本特征可以从一维应力状态(单轴单轴应力或者剪切应力或者剪切)的一组应力的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。载荷位移曲线载荷位移曲线 0LLx名义应力工程应力给出为名义应力工程应力给出为 定义伸长定义伸长 0ATpx工程应变定义为工程应变定义为 1000 xxLLLL2 2 应力应力-应变曲线应变曲线 CauchyCauchy或者真实应力表示为或者
5、真实应力表示为 以以每单位当前长度应变的增量每单位当前长度应变的增量随长度随长度的变化得到另一种应变度量的变化得到另一种应变度量 xLLxLLLdLeln)ln(00对数应变也称为真实应变对数应变也称为真实应变 xxxxDe对材料时间求导，表达式为对材料时间求导，表达式为当一维情况，上式为变形率。当一维情况，上式为变形率。当前面积的表达式给出为当前面积的表达式给出为xAJLLAJA000 xxxxpJJATAT10真实应力应变曲线 工程应力应变曲线2 2 应力应力-应变曲线应变曲线 考虑一种不可压缩材料考虑一种不可压缩材料(J J1)1)，名义应力和工程应变的，名义应力和工程应变的关系为关系为
6、真实应力真实应力(对于不可压缩材料对于不可压缩材料)(0 xxsp1000 xxLLLL)()(0 xxxxss)1()(0 xxxss说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材料取决于采用何种应力和变形的度量。料取决于采用何种应力和变形的度量。应力应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性应力应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。2 2 应力应力-应变曲线应变曲线 应力应变反响与变形率无关的材料称为率无关
7、；否那么，称为率相关。名义应变率定义为 率无关和率相关材料的一维反响0Lx LxLLL00因为 和即名义应变率等于伸长率，例如即名义应变率等于伸长率，例如 xx 可以看出，对于率可以看出，对于率无关材料的应力应变无关材料的应力应变曲线是应变率独立的，曲线是应变率独立的，而对于率相关材料的应而对于率相关材料的应力应变曲线，力应变曲线，当应变当应变率提高时是上升的率提高时是上升的；而；而当温度升高时是下降的。当温度升高时是下降的。2 2 应力应力-应变曲线应变曲线 对于弹性材料，应力应变的对于弹性材料，应力应变的卸载曲线简单地沿加载曲线返回，卸载曲线简单地沿加载曲线返回，直到完全卸载，材料返回到了
8、它的直到完全卸载，材料返回到了它的初始未伸长状态。然而，对于弹初始未伸长状态。然而，对于弹塑性材料，卸载曲线区别于加载曲塑性材料，卸载曲线区别于加载曲线，卸载曲线的斜率是典型的应力线，卸载曲线的斜率是典型的应力应变弹性初始段的斜率，卸应变弹性初始段的斜率，卸载后产生永久应变。其它材料的行载后产生永久应变。其它材料的行为介于这两种极端之间。由于在加为介于这两种极端之间。由于在加载过程中微裂纹的形成材料已经损载过程中微裂纹的形成材料已经损伤，脆性材料的卸载行为，当荷载伤，脆性材料的卸载行为，当荷载移去后微裂纹闭合，弹性应变得到移去后微裂纹闭合，弹性应变得到恢复。卸载曲线的初始斜率给出形恢复。卸载曲
9、线的初始斜率给出形成微裂纹损伤程度的信息。成微裂纹损伤程度的信息。(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤 11Fleck,1994,(a)torsion;(b)tensionQ-torsion,k-torsion angle per unit length When diameter of copper wire reduced to d=12m,torsion strength increased 3 times than it d=170m.During thin beams bending test,Stolken and Evans found when the thicknes
10、s from h=100m reduced to h=12.5m,the bending strength was also increased significantly.Size effect：对经典本构理论的挑战，诞生了微米：对经典本构理论的挑战，诞生了微米尺度的应变梯度塑性理论，如尺度的应变梯度塑性理论，如MSG12Since the strain is non-local,which could not be obtained at a single integration Gauss point.The ABAQUS User Element is developed to cal
11、culate the non-local strain gradient plasticity.Strain gradient theories(Uchic et al.,Science,2004)Compression for micro-pillarsBy performing uniaxial compression tests for micro-pillars of Ni having diameters from 150 nm to 40m,the size dependent and dislocations escape from free surfaces are found
12、.The thinner is harder,although there is no strain gradient.Dislocation source starvation14Movie 1Movie 2ZW.Shan et al,Nature Materials,2008Microstructure and sample geometry:Defects free pillar,Diminishing of the taper angle without apparent shearing and bucklingMechanical data:Test 1:Fluctuation f
13、orce increase following by dominant elastic responseTest 2:dominant elastic response followed by fluctuation force increaseDislocation nucleation/annihilate rate!Compression of micro-pillar15(a)The initial annealed dislocation network in the single crystal copper got by an energy minimization proces
14、s.(b)FE mesh,the constant stress rate is applied on the top surface along 001 direction.Volume averaged compression stress-strain curve of Cu single-crystal micro-pillar;A,B,C is a typical microstructure corresponding to three different stages.3 3 一维弹性一维弹性 弹性材料的根本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意弹性材料的根本性能是应力仅依赖于应
15、变的当前水平。这意味着加载和卸载的应力味着加载和卸载的应力-应变曲线是一致的，当卸载完毕时材料恢应变曲线是一致的，当卸载完毕时材料恢复到初始状态。称这种应变是可逆的。而且，弹性材料是率无关复到初始状态。称这种应变是可逆的。而且，弹性材料是率无关的的(与应变率无关与应变率无关)。弹性材料的应力和应变是一一对应的。弹性材料的应力和应变是一一对应的。小应变小应变 可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散，在弹性材料中，在弹性材料中，储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。对于一维弹性材料，对于一维弹性
16、材料，可逆、路径无关、无能量耗散可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。是等价的特征。对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。)(xxsxxxdwx0)(对于任意应变，不管如何到达应变值，上式给出唯一应力值。对于任意应变，不管如何到达应变值，上式给出唯一应力值。3 3 一维弹性一维弹性 应变能一般是应变的凸函数，例如，应变能一般是应变的凸函数，例如，(a)凸应变能函数(b)应力应变曲线 0)()(2121xxxxww21xx当当 公式的等号成立。公式的等号成立。凸应变能函数的一个例子如下图。在这种情况下，函数是凸应变能函数的一个例子如下图。在这种
17、情况下，函数是单调递增的，如果单调递增的，如果w w 是非凸函数，那么是非凸函数，那么 s s 先增后减，材料应先增后减，材料应变软化，这是非稳定的材料反响，变软化，这是非稳定的材料反响，如右如右以下图。以下图。0 xdds(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线 大应变大应变 从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力功共从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力功共轭的弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量轭的弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量耗散。如耗散。如 3 3 一维弹性一维弹性 xxEwS 在弹性应力在弹性应力-应变关系中，从应变的势函数可以
18、获得应力为应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为超弹性。如一维大应变问题，以超弹性。如一维大应变问题，以GreenGreen应变的二次函数表示应变的二次函数表示221xSEEEw xSExEES 对于小应变问题，即为胡克定律。对于小应变问题，即为胡克定律。大应变大应变 一种材料的一种材料的CauchyCauchy应力率与变形率相关，称为应力率与变形率相关，称为次弹性次弹性。这。这种关系一般是非线性的，给出为种关系一般是非线性的，给出为 3 3 一维弹性一维弹性 一个特殊的线性次弹性关系给出为一个特殊的线性次弹性关系给出为),(xxxDfxxxxEED对上式的关系积分，得到对上式的关系积分，得
19、到xxElnxxxxxdEdd1ln 这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。因为次弹性的简单性，公式因为次弹性的简单性，公式 的多轴一般形式常常的多轴一般形式常常应用在有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。应用在有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。),(xxxDf4 4 非线性弹性非线性弹性
20、 Kirchhoff材料材料E:CS klijklijECS式中式中 C C 为弹性模量为弹性模量(切线模量切线模量)的四阶张量，对的四阶张量，对KirchhoffKirchhoff材料是材料是常数，代表了应力和应变的多轴状态。它可以完全反映材料的各常数，代表了应力和应变的多轴状态。它可以完全反映材料的各向异性。向异性。许多工程应用包括小应变和大转动。在这些问题中，大变形许多工程应用包括小应变和大转动。在这些问题中，大变形的效果主要来自于大转动，如直升机旋翼、船上升降器或者钓鱼的效果主要来自于大转动，如直升机旋翼、船上升降器或者钓鱼杆的弯曲。杆的弯曲。由线弹性定律的简单扩展即可以模拟材料的反响
21、，但要以由线弹性定律的简单扩展即可以模拟材料的反响，但要以PK2PK2应力代替其中的应力和以应力代替其中的应力和以GreenGreen应变代替线性应变，这称为应变代替线性应变，这称为Saint-Saint-Venant-KirchhoffVenant-Kirchhoff材料，或者简称为材料，或者简称为KirchhoffKirchhoff材料。最一般的材料。最一般的KirchhoffKirchhoff模型为模型为4 4 非线性弹性非线性弹性 E:CS klijklijECS式中式中C C为弹性模量的四阶张量，有为弹性模量的四阶张量，有8181个常数。利用对称性可以显个常数。利用对称性可以显著地减
22、少常数。著地减少常数。一般的四阶张量有一般的四阶张量有3 34 48181个独立常数，与全应力张量的个独立常数，与全应力张量的9 9个个分量和全应变张量的分量和全应变张量的9 9个分量有关。个分量有关。如次弹性本构方程如次弹性本构方程4 4 非线性弹性非线性弹性 利用势能表示的应力应变关系和利用势能表示的应力应变关系和GreenGreen公式，公式，ijklklijEEWEEW22ijijEWS故有故有 ijklklijESES应力张量和应变张量均为对称张量次对称性应力张量和应变张量均为对称张量次对称性:，即，即 jiijjiijEESS,这样这样C C为对称矩阵（为对称矩阵（主对称性主对称性
23、:)，在在8181个常数中有个常数中有4545个是独立的。成为上三角或下三角矩阵。个是独立的。成为上三角或下三角矩阵。ijklklijCCijklijlkCC4 4 非线性弹性非线性弹性 应力张量和应变张量均为对称张量次对称性，即应力张量和应变张量均为对称张量次对称性，即 jiijjiijEESS,ijlkjiklklijijklCCCC再利用模量的主对称性使独立弹性常数的数目减少，由再利用模量的主对称性使独立弹性常数的数目减少，由3636个常数个常数减少为减少为2121个，为个，为各向异性材料各向异性材料。应力和应变张量的对称性要求应力的应力和应变张量的对称性要求应力的6 6个独立分量仅与应
24、变的个独立分量仅与应变的6 6个独立分量有关，由弹性模量的局部对称结果，独立常数的数目个独立分量有关，由弹性模量的局部对称结果，独立常数的数目减少到减少到3636个。个。4 4 非线性弹性非线性弹性 写成矩阵形式为可以是上或下三角矩阵写成矩阵形式为可以是上或下三角矩阵 当材料有一个对称面时，假设为当材料有一个对称面时，假设为X X1 1平面平面560,1,2,3,4CC这样由这样由2121个常数减少到个常数减少到1313个。个。121323332211665655464544363534332625242322161514131211121323332211222EEEEEECCCSymCCC
25、CCCCCCCCCCCCCCCSSSSSS 对于一个由三个彼此正交的对称平面组成的正交对于一个由三个彼此正交的对称平面组成的正交材料，材料，仅仅有有9 9个独立弹性常数，个独立弹性常数，KirchhoffKirchhoff应力应变关系为材料对称坐应力应变关系为材料对称坐标平面，为标平面，为正交各向异性体正交各向异性体4 4 非线性弹性非线性弹性 对于对于各向同性材料各向同性材料，仅，仅有有2 2个独立常数个独立常数 112233112231324455663CCCCCCCCCCCC4 4 非线性弹性非线性弹性 横观各向同性横观各向同性正交各向异性正交各向异性4 4 非线性弹性非线性弹性 kli
26、jklijijkkijECEES2E:CEIES2)(trace对于各向同性的对于各向同性的Kirchhoff材料，其应力应变关系可以写成为材料，其应力应变关系可以写成为式中式中Lam常数，体积模量常数，体积模量K，杨氏模量，杨氏模量 E和泊松比和泊松比)1(2E)21)(1(E32K的关系为的关系为 材料对称的一个重要的例子是各向同性。一个各向同性材料材料对称的一个重要的例子是各向同性。一个各向同性材料没有方位或者方向的选择，因此，以任何直角坐标系表示的应力没有方位或者方向的选择，因此，以任何直角坐标系表示的应力应变关系是等同的。对于小应变的许多材料应变关系是等同的。对于小应变的许多材料(如
27、金属和陶瓷如金属和陶瓷)可可以作为各向同性进展模拟。张量以作为各向同性进展模拟。张量C C是各向同性的。在任何坐标系是各向同性的。在任何坐标系中，一个各向同性张量有一样的分量。中，一个各向同性张量有一样的分量。Kirchhoff材料材料4 非线性弹性非线性弹性 Kirchhoff应力应力 JTFSF由由Jacobian行列式放大，称它为权重行列式放大，称它为权重Cauchy应力。对于应力。对于等体积运等体积运动动，它等同于，它等同于Cauchy应力。应力。次次弹性材料弹性材料次弹性材料规律联系应力率和变形率。次弹性材料规律联系应力率和变形率。D:C上式是率无关、线性增加和可逆的。对于有限变形状
28、态的微小增量，应力和应变的增量是线性关系，当卸载后可以恢复。然而，对于大变形能量不一定必须守恒，并且在闭合变形轨迹上的作功不一定必须为零。次弹性规律主要用来代表在弹-塑性规律中的弹性反响(弹性变形小)，且耗能效果也小。Question:What is the difference between rate-form and rate dependence?4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形，平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形，如应变。如果本构行为仅是变形的当前状态的函数，为与时间如应变。如果本构行为仅是变形的当前状
29、态的函数，为与时间无关的弹性本构。而对于接近不可压缩的材料无关的弹性本构。而对于接近不可压缩的材料(泊松比泊松比0.495)0.495)，仅依赖变形应变不一定能够得到应力。仅依赖变形应变不一定能够得到应力。储存在材料中的能量功仅取决于变形的初始和最终状储存在材料中的能量功仅取决于变形的初始和最终状态，并且是独立于变形或荷载路径，称这种弹性材料为超态，并且是独立于变形或荷载路径，称这种弹性材料为超弹性弹性hyper-elastichyper-elastic材料，或者为材料，或者为GreenGreen弹性，例如常用的弹性，例如常用的工业橡胶。动物的肌肉、细胞也具有超弹性的力学性质。这里工业橡胶。动
30、物的肌肉、细胞也具有超弹性的力学性质。这里主要讨论橡胶材料的超弹性力学行为。主要讨论橡胶材料的超弹性力学行为。4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 EECCS)()(2w 对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性GreenGreen弹性材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在或应变能弹性材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在或应变能量函数，它是应力的势能：量函数，它是应力的势能：通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式 TTTwJFEEFFCCFFSF)()(2PFST 由于变形梯度张量由于变形梯度张量
31、F F是不对称的，因此名义应力张量是不对称的，因此名义应力张量P P的的9 9个分量是不对称的。个分量是不对称的。在橡胶大变形中应用在橡胶大变形中应用多项式模型多项式模型和和OgdenOgden指数模型指数模型。4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很多，世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很多，例如，制造轮胎使用的丁苯橡胶苯乙烯和丁二烯的共聚物例如，制造轮胎使用的丁苯橡胶苯乙烯和丁二烯的共聚物或乙丙烯橡胶或乙丙烯橡胶ERPERP；用于汽车配件的有氯丁橡胶及另一种具；用于汽车配件的有氯丁橡胶及另一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶。有
32、天然橡胶各种性能的异戊橡胶。在众多的合成橡胶中，硅橡胶是其中的佼佼者。它具有无在众多的合成橡胶中，硅橡胶是其中的佼佼者。它具有无味无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏味无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏300300度和零下度和零下9090度时能度时能够够“泰然自假设、泰然自假设、“面不改色，仍不失原有的强度和弹性。面不改色，仍不失原有的强度和弹性。例如生物材料。例如生物材料。橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的具有弹性、绝缘性、不透水和空气的材料。在半个世纪前，具有弹性、绝缘性、不透水和空气的材料。在半个世纪前，“橡胶一词是专指生橡
33、胶，它是从热带植物巴西三叶胶的胶橡胶一词是专指生橡胶，它是从热带植物巴西三叶胶的胶乳提炼出来的。乳提炼出来的。4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 1839 1839年，年，Charle GoodyearCharle Goodyear创造了橡胶的硫化方法，其姓创造了橡胶的硫化方法，其姓氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标。氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标。从从1919世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而，世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而，橡胶材料的行为复杂，不同于金属材料仅需要几个参数就可以橡胶材料的行为复杂，不同于金属材料仅需要几个参数就可以描述材料特性
34、。橡胶受力以后，变形是伴随着大位移和大应变，描述材料特性。橡胶受力以后，变形是伴随着大位移和大应变，其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积几乎保持不变。其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积几乎保持不变。现在，可以借助计算机对超弹性材料的工程应用进展深入现在，可以借助计算机对超弹性材料的工程应用进展深入研究以及优化设计。可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶研究以及优化设计。可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有元件的力学性能，包括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算结果等。限元建模和处理计算结果等。固体橡胶材料的拉伸试
35、验曲线与材料演化模型固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型 固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于0.50.5。可。可逆，大应变。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。逆，大应变。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。超弹性材料超弹性材料 常用的橡胶性态可分为常用的橡胶性态可分为固体橡胶固体橡胶和和泡沫橡胶泡沫橡胶。超弹性材料超弹性材料 一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料。弹性泡沫材一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料。弹性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。泡沫橡胶是由橡胶
36、制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大的应泡沫橡胶是由橡胶制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大的应变要求，拉伸时的应变可以到达变要求，拉伸时的应变可以到达500500或更大，压缩时的应变可以到或更大，压缩时的应变可以到达达9090或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性相比，泡沫材料的多或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性相比，泡沫材料的多孔性那么允许非常大的体积缩小变形，因此具有良好的能量吸收性。孔性那么允许非常大的体积缩小变形，因此具有良好的能量吸收性。泡沫橡胶材料的多面体微元模型泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a)开放腔室，开放腔室，b)封闭腔室封闭腔室泡沫橡胶材料的应力泡沫橡胶材料的应力-应变曲线应变
37、曲线 a)压缩压缩 b)拉伸拉伸100%典型固体橡胶材料单轴拉伸应力典型固体橡胶材料单轴拉伸应力-应变曲线应变曲线 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基于热力学统计的方法，另一类是基于橡胶为连续介质的唯象学于热力学统计的方法，另一类是基于橡胶为连续介质的唯象学描述方法。描述方法。热力学统计方法的根底为观察到橡胶中的弹性恢复力主热力学统计方法的根底为观察到橡胶中的弹性恢复力主要来自熵的减少。橡胶在承受荷载时分子构造无序，熵的减少要来自熵的减少。橡胶在承受荷载时分子构造无序，熵的减少是由
38、于橡胶伸长使得橡胶构造由高度无序变得有序。由对橡胶是由于橡胶伸长使得橡胶构造由高度无序变得有序。由对橡胶中分子链的长度、方向以及构造的统计得到本构关系。中分子链的长度、方向以及构造的统计得到本构关系。橡胶本构模型橡胶本构模型 唯象学描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料，唯象学描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料，即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设是用单位体积弹性应变能函数是用单位体积弹性应变能函数U U来描述橡胶特性的根底，来描述橡胶特性的根底，其本构模型为多项式形式模型和其本构模型为多项式形式模型和Og
39、denOgden形式模型。形式模型。3211)(AI1332212)(AI3213)(AI0LLx定义伸长定义伸长 工程应变定义为工程应变定义为 10 xxL1xx二阶张量根本不变量二阶张量根本不变量 31I32I小变形，有小变形，有 13I小变形小变形 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 小变形小变形 以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为NiiiNjijiijJDIICU12121)1(1)3()3(31I32I1J21201110)1(1)3()3(JDICICU忽略二阶及二阶忽略二阶及二阶以上微量以上微量，变为，变为
40、弹性常数为弹性常数为 101102),(2DKCCGGKGKGKKGE262339K5.0,3GE当当 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 例题例题 在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，应变能密度表达式为应变能密度表达式为3110)3(iiiICU100 461312C=.200 01752C=.53010818.=C假设取假设取(单位为单位为MPaMPa)，求材料弹性常数求材料弹性常数。利用公式利用公式解：解：101102),(2DKCCGGKGKGKKGE2623,39解出橡胶的弹性常数解出橡胶的弹性常
41、数为为 ，E=2.768MPa，=0.5 小变形小变形 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 KNiiiNjijiijJDIICU12121)1(1)3()3(典型的本构模型为多项式形式，其应变能密度表达式为典型的本构模型为多项式形式，其应变能密度表达式为特殊形式可以由设定某些参数为特殊形式可以由设定某些参数为0 0来得到。如果所有来得到。如果所有 0ijC0j那么得到减缩多项式模型那么得到减缩多项式模型 iNiNiiiiJDICU21010)1(1)3(21201110)1(1)3()3(JDICICU对于完全多项式对于完全多项式，如果，如果N1,那么只有线性局部的应变能量，那
42、么只有线性局部的应变能量，即即Mooney-Rivlin形式形式橡胶本构模型橡胶本构模型，那么得到，那么得到Neo-HookeanNeo-Hookean形式形式 对于减缩多项式对于减缩多项式，如果，如果 N121110)1(1)3(JDICU100%100%Mooney-RivlinMooney-Rivlin形式和形式和Neo-HookenNeo-Hooken形式本构模型形式本构模型后者是将后者是将HookeHooke定律扩展至大变形定律扩展至大变形橡胶本构模型橡胶本构模型 YeohYeoh形式本构模型是形式本构模型是 N3时减缩多项式的特殊形式时减缩多项式的特殊形式 iiiiiiJDICU2
43、313010)1(1)3(100%典型的典型的S S形橡胶应力形橡胶应力-应变曲线应变曲线 ，C C1010正值，在小变形时为切线模正值，在小变形时为切线模量量；C C2020为负值，中等变形时软化；为负值，中等变形时软化；C C3030正值，大变形时硬化。正值，大变形时硬化。橡胶本构模型橡胶本构模型 OgdenOgden形式本构模型形式本构模型 Arruda-BoyceArruda-Boyce形式本构模型形式本构模型 Van der WaalsVan der Waals模型模型 JJDIUmln2112332)1ln()3(2232JJDICUiiiimiln211)3(2511222123
44、21121(3)(1)iiiNNiiiiiiUJD橡胶本构模型橡胶本构模型 其他形式的本构模型有：其他形式的本构模型有：试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数 橡胶类材料的本构关系除具有超弹性、大变形的特征外，橡胶类材料的本构关系除具有超弹性、大变形的特征外，其本构关系与生产加工过程有直接关系，如橡胶配方和硫化工其本构关系与生产加工过程有直接关系，如橡胶配方和硫化工艺。确定每一批新加工出来的橡胶的本构关系，都要依赖于准艺。确定每一批新加工出来的橡胶的本构关系，都要依赖于准确和充分的橡胶试验。确和充分的橡胶试验。通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力通常在试验中应该测得在几种不同荷载模
45、式下的应力-应变曲线，应变曲线，这样可以选择出最适宜的本构模型以及描述这种模型的参数。这样可以选择出最适宜的本构模型以及描述这种模型的参数。同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力-应变曲线图，应变曲线图，比照试验曲线，由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数。比照试验曲线，由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数。试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数 给出实验数据，应力表达式的系数通过最小二乘法拟合给出实验数据，应力表达式的系数通过最小二乘法拟合确定，这样可以使得误差最小。即对于确定，这样可以使得误差最小。即对于n
46、n 组应力组应力-应变的试验应变的试验数据，取相对误差数据，取相对误差E E 的最小值，拟合应力表达式中的系数，的最小值，拟合应力表达式中的系数，得到理论本构模型。得到理论本构模型。2thtest11niiiETT按照本构关系与伸长率对应的应力表达式按照本构关系与伸长率对应的应力表达式 实验数据中的应力值实验数据中的应力值 确定材料常数的经历公式确定材料常数的经历公式 试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数0rlog0.01840.4575EH010010110230.05EGCCCC 对于已经成型的橡胶元件，通常不容易通过上述试验来确对于已经成型的橡胶元件，通常不容易通过上述试验来确定其材
47、料常数。经历公式是通过橡胶的定其材料常数。经历公式是通过橡胶的IRHDIRHD硬度指标来确定材硬度指标来确定材料的弹性模量和切变模量，再由材料常数和弹性模量的关系来料的弹性模量和切变模量，再由材料常数和弹性模量的关系来确定材料常数。根本公式为小应变条件确定材料常数。根本公式为小应变条件将得到的材料常数代入将得到的材料常数代入Mooney-RivlinMooney-Rivlin模型进展计算。模型进展计算。例子例子 采用氢化丁腈橡胶采用氢化丁腈橡胶H-NBR75H-NBR75，硬度为，硬度为75MPa75MPa，解得，解得 08.366MPaE 101.328MPaC010.0664MPaC010
48、20304050607080-700-600-500-400-300-200-1000r(MPa)R(mm)Part3FEA 理论解 理论解 Part2FEA 理论解 Part1FEAPart1Part3局部解析解与局部解析解与FEA解径向应力的比较解径向应力的比较 Part3局部解析解与局部解析解与FEA解环向应力的比较解环向应力的比较 平面应变问题发生体积自锁平面应变问题发生体积自锁过盈量过盈量1.9mm，应力非常大，应力非常大，原因是平面应变模型原因是平面应变模型Part3钢Part2橡胶 RsPart1钢Rr b过盈面过盈面7072747678804900500051005200530
49、05400550056005700(MPa)R(mm)Part3FEA 理论解工程实例：橡胶减震轴过盈配合的解工程实例：橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解析解和有限元解平面应变模型平面应变模型Part3钢Part2橡胶 RsPart1钢Rr b过盈面过盈面橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解广义平面应变和平面应力模型广义平面应变和平面应力模型过盈量过盈量1.9mm，应力非常大，应力非常大，原因是平面应变模型原因是平面应变模型 R(mm)r(MPa)020406080-1-0.8-0.6-0.4-0.20TheoreticAbaqus010203040506
50、07080-700-600-500-400-300-200-1000r(MPa)R(mm)Part3FEA 理论解 理论解 Part2FEA 理论解 Part1FEA橡胶和钢环的解析解与橡胶和钢环的解析解与FE解的径向应力比较解的径向应力比较 广义平面应变平面应力问题广义平面应变平面应力问题不发生体积自锁不发生体积自锁平面应变模型平面应变模型发生体积自锁发生体积自锁邹雨、庄茁、黄克智，工程力学，邹雨、庄茁、黄克智，工程力学，2004，21(6):72-75 由于大型有限元软件的迅速开展，使得复杂的超弹性模型计由于大型有限元软件的迅速开展，使得复杂的超弹性模型计算过程由计算机程序完成，在算过程由
