1、2.4.1 2.4.1 平面向量数量积的平面向量数量积的物理背景及其含义物理背景及其含义已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则则AOB=（0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发
2、，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a|b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a|b|cos规定规定:零向量零向量与任一向量的数量积为与任一向量的数量积为0。|a|cos（|b|cos）叫）叫做向量做向量a在在b方向上（方向上（向向量量b在在a方向上方向上）的）的投影投影。注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个一个数量。数量。向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为
3、负？ab=|a|b|cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当=90时时ab为零。为零。设设ba、是非零向量是非零向量，be是与方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，ea与是的夹角，则的夹角，则cos|)1(aeaae0)2(baba|;|)3(bababa同向时，与当|;|bababa反向时，与当特别地特别地2|aaaaaa|或2a|cos)4(baba|)5(babaOAB abB1ab=|a|b|cos练习：练习：1 1若若a=0 0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02 2若若a 0 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a
4、b03 3若若a 0 0，a b =0，则，则b=0 04 4若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为0 05 5若若a0 0，a b=b c，则，则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有22|aa babababa求求：已知例,43)2(;,/)1(2,11，分两种情况：）由解：（ba/1;2,baba 同向，当。反向，当2,baba143cos212ba）（解：解：ab=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=10例例2 2 已知已知|a|=5|=5，|b|=4|=4，a与与b的夹角
5、的夹角=120=120，求，求ab。OAB|b|cos abB1ba等于等于a的长度的长度|a方向上的投影在ab与与cos|b的乘积。的乘积。O投影投影|co sabab Oa b|cosbab 在 上的投影：在 上的投影：|cos0b Oa b|cos0b a b|cos0b|cosaba 在 上的投影：在 上的投影：|cos aa bb与与数数量量积积等等于于投投影影的的乘乘积积。二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2()1(其中，其中，cba、是任意三个向量，是任意三个向量，R注：
6、注：)()(cbacba 则 (a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac 向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律证明运算律(3)|cos aa bb与与数数量量积积等等于于投投影影的的乘乘积积。例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(
7、ab)b aabaabbb a2b2.P105 例3222|6,|4,b60,(2)(3),(),|abaa bababababab已已知知与与 的的夹夹角角为为，求求，|cos12a bab 解:解:22|36aa22|16bb(2)(3)abab 226aa bb 22|cos6|aa bb 72 2()a b 222aa b b 22|2|cos|aa bb 28 2|a b 2()28a b|a b 282 7 9aaa例4 已知=,=，求.0 aba b()()0akbakb2220ak b29160k34k 例例5 5 已知已知a3 3，b4 4，且，且a与与b不共不共线线.求当求
8、当k k为何值时，向量为何值时，向量akb与与ak kb互相互相垂直？垂直？小结：小结：1.2.|co sabab 0aba b 22|aa 可用来求向量的模可用来求向量的模3.投影投影作业：作业：)(,2432,1|1cbacabacbakbakbababa求证：是非零向量，且、设的值。互相垂直，求也与且、若4、已知已知a、b都是非零向量都是非零向量，且且a+3 b 与与7 a 5 b 垂直垂直，a 4 b 与与7 a 2 b垂直垂直，求求a与与b的夹角的夹角。解：解：（a+3 b）（7 a 5 b）（a 4 b）（7 a 2 b）（a+3 b）（7 a 5 b）=0 且且 （a 4 b）（7 a 2 b）=0 即即 7a a+16 a b 15 b b=0 7a a-30 a b+8 b b=0 两式相减得：两式相减得：2 a b=b 2，代入其中任一式中得代入其中任一式中得:a 2=b 2cos=
