1、1.1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 2.2.平面的法向量：平面的法向量：如果向量如果向量 的基线与平面的基线与平面 垂直垂直，则向量，则向量 叫平面叫平面 的法向量的法向量。n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 与平面平行或在平面内，与平面平行或在平面内，则有则有0n m n m 1A A给定一点给定一点A A和一个向量和一个向量 ,那么过那么过点点A,A,以向量以向量 为法向量的平面为法向量的平面是完全确定的是完全确定的.
2、n n n l3.3.平面的向量表示：平面的向量表示：AM n0 M2 因为方向向量与法向量可以确定直因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，上节我们用直线的方向向线和平面的位置，上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的量表示了空间直线、平面间的平行平行 如何用平面的法向量表示空间两平如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢？面平行、垂直的位置关系呢？34.4.两平面平行或重合、垂直的充要条两平面平行或重合、垂直的充要条件件 4 l l1 11n 1e 1111/ll或或 在在内内11110enen 教材未提511l 1n 1111/enen l l1e 教材未提6
3、1 1n 2 2n 1212/或或与与重重合合1212/nnnn 71 1n 2 2n 1212110nnnn 8例：法向量的求法例：法向量的求法9待定系数法待定系数法1011ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE ，/MNCDE平平面面例例 如图，已知矩形如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：ABCDEFxyzMN),0,2(caBMABNANM)0,3,0(bAD 0NM AD 由NMAD得到简证：因为矩形简证：因为矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以A
4、B，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 为正交为正交基底，建立如图所示空间坐标系，基底，建立如图所示空间坐标系，设设AB,AD,AF长分别为长分别为3a，3b，3c，AB AD AF ，则可得各点坐标，从而有则可得各点坐标，从而有又平面又平面CDECDE的一个法向量是的一个法向量是因为因为MNMN不在平面不在平面CDECDE内内所以所以MNMN/平面平面CDECDE121314A1D1C1B1ACBDFE15证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,1),2ADD F 则则11(1,
5、0,0)(0,1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1,),2AE 又又111(0,1,)(0,1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另证证 可可以以用用三三垂垂线线定定理理证证D D得得证证16OABCOBAC 证证明明：由由已已知知，A AB BC CO O 0000OA BC=,OB AC=OA(OCOB)=OB(OCOA)=所所以以OA OC=OA OBOB OC=OB OA 所所以以000OA OCOB OC=(OAOB)OC=BA OC=所所以以
6、OCAB 所所 以以OABCOABCOBACOCAB 例例、已已知知在在空空间间四四边边形形中中，求求证证：17小结小结1.1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 2.2.平面的法向量：平面的法向量：3.3.平面的向量表示：平面的向量表示：4.4.两平面平行或重合、垂直的充要条两平面平行或重合、垂直的充要条件件 6.6.有关平面的斜线概念，有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 P104P10418巩固性训练11.1.设设 分别是直线分别是直线l l1 1,l l2 2的方向向的方向向量量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l l1 1,l l2 2的位置关系的位
7、置关系.ba,)3,0,0(),1,0,0()3()2,3,2(),2,2,1()2()6,3,6(),2,1,2()1(bababa平行平行垂直垂直平行平行19巩固性训练21.1.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交201 1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),(1,2,-2),平面平面 的法的法向量为向量为(-2,-4,k),(-2,-4,k),若若 ，
8、则，则k=k=；若；若 则则 k=k=。2 2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)(2,m,1)，平面的法向量为平面的法向量为(1,1/2,2),(1,1/2,2),则则m=m=.3 3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),(2,1,m),平面平面 的法向的法向量为量为(1,1/2,2),(1,1/2,2),且且 ，则，则m=m=.巩固性训练3/llll21OACB()|cos|cos|cos证证明明：因因为为OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOB|cos0OAOB OABC4 4、已已知知空空间间四四边边形形，求求证证：OABCOBOCAOBAOCOABC 221如图，正方体如图，正方体 中，中，E为为 的中点，的中点，证明：证明：/平面平面AECDCBAABCDDD DB DABA BCCDE2 2、在正方体、在正方体AC AC 中，中，E E、F F、G G、P P、Q Q、R R分别是所在棱分别是所在棱ABAB、BCBC、BBBB A A D D 、D D C C 、DDDD 的中点，的中点，求证：平面求证：平面PQRPQR平面平面EFGEFG。BDBD 平面平面EFGEFGABCDA B C D FQEGRP23
