1、 第第5章章 微积分的应用微积分的应用 微积分在实际问题中应用非常广泛，特别是微分方程可以解决许多实际问题。对于动态问题，通常可以与变化率、进而与微分方程联系起来。可以考虑建立微分方程模型。1.1.雨中行走问题雨中行走问题 人在雨中沿直线从一处向另一处行走,当雨的速度已知时,问人行走的速度多大时才能使淋雨量最小?假设1.人行走的路线为直线，行走距离为L。2.雨的速度不变。3.人体为长方体。分析：走的越快淋雨量越少吗？降雨速度变化吗？人身体的表面？行走的路线如何？淋雨量：通量！选择适当的直角坐标系,使人行走速度为：v1=(u,0,0)记雨的速度为：v2=(vx,vy,vz),相对速度：v=v2-
2、v1=(vx-u,vy,vz)人身体的表面非常复杂,为了使问题简化,将人体表面投影到三个坐标面，故可视为长方体，设其前、侧、顶的面积之比为1:b:c。单位时间内的淋雨量正比于|vx|vy|vz|从而总淋雨量正比于 R(u)=(|vx|vy|vz|)T,(行走的时间为 L/u.)=(|vx|+a)L/u (a=|vy|b+|vz|c 0)=)()()()()(xxxxvuLuvaLvuLuvaLuR即问题化为)(min0uRu1.vx a;当 vx a时,u=vx ,R(u)达到最小值.2.vx=a;当 vx=a时,在 u大于等于 vx 处,R(u)都取到最小值.xvaLu/xvaL/3.vx
3、a;当 vx a时,行走速度为 ,淋雨量最小,当 vx=a时,行走速度不小于 ,淋雨量最小.当 vx a时,走的越快,淋雨量越小.xvaL/2.2.服药问题服药问题 医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔。超剂量的药品会对身体产生严重不良后果,甚至死亡,而剂量不足,则不能达到治病的目的。已知患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,发生生化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低。药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比。在等间隔服药，一次服药量为A的情况下，试分析体内药的浓度随时间的变化规律.假设 当一次服药量为A时，体内药品的浓度瞬间增加a。记 T服药间隔 x(t)t
4、 时刻体内药品的浓度axtkxdttdx)0(),()(单次服药单次服药 由药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比,得：等间隔多次服药(服药的脉冲性)：,.2,1),()(,)0(),()(nnTxanTxaxnTttkxdttdx在区间nT,(n+1)T)上求解方程得 x(t)=x(nT)e-k(t-nT)t nT,(n+1)T),n=0,1,2,在区间0,T)上解为：x(t)=ae-kt t nT,(n+1)T),n=0,1,2,在区间T,2T)上解为：x(t)=(a+e-kT)e-k(t-T)在区间2T,3T)上解为：x(t)=(a+ae-kT+ae-2kT)e-k(t-2T)在区
5、间nT,(n+1)T)上解为：x(t)=(a+ae-kT+ae-2kT+ae-nkT)e-k(t-nT)=a(1-e-(n+1)kT)/(1-e-kT)e-k(t-nT)=a(1-e-(n+1)kT)/(1-e-kT)e-k(t-nT)由此看出，药的浓度在人体中呈上升趋势，且最后稳定在一定的水平。当T=8,k=0.1,a=0.1 时，数值计算的结果如下图所示：3.3.交通管理中的黄灯时间交通管理中的黄灯时间 在十字路口的交通管理中,亮红灯之前,要亮一段时间黄灯,这是为了让那些正行驶在十字路口上或距十字路口太近以致无法停下的车辆通过路口.那么,黄灯应该亮多长时间呢?1)1)问题分析问题分析 在十
6、字路口行驶的车辆中,主要因素是机动车辆。驶近交叉路口的驾驶员,在看到黄色信号后要做出决定:是停还是要通过路口。假设他按法定速度(或低于法定速度)行驶。当决定停车时,他必须有足够的停车距离。少于此距离时不能停车,大于此距离时必须停车。等于此距离时可以停车,也可以通过路口。当决定通过路口时,他必须有足够的时间使他完全通过路口,这包括作出决定的时间、通过十字路口的时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间。于是,黄灯状态应该持续的时间包括驾驶员的决定时间(反应时间)、通过十字路口的时间和停车距离的驾驶时间。(2)(2)建模与求解建模与求解记T1驾驶员反应时间,T2汽车通过十字路口的时间,T3停车距离的
7、驾驶时间,则 黄灯应亮的时间为：T=T1+T2+T3下面计算T2、T3设 法定行驶速度为v0,十字路口的长度为 I,典型的车身长度为L,则汽车通过十字路口的时间为:T2=(I+L)/v0 00|)(,0)0()(22vdttdxxfmgdttxdt 停车过程是通过驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力,使汽车减速直到停止。设 m 为汽车质量,f为刹车摩擦系数,x(t)为行驶距离。由牛顿第二定律,刹车过程满足下述运动方程对方程积分一次,并代入初始条件得0)(vfgtdttdx令末速为零,得刹车时间为：t1=fg/v0再积分一次,并代入条件x(0)=0得tvfgttx0221)(故停车距离为：fgvfg
8、vvfgvfgtx200020121)(21)(所以 T3=x(t1)/v0=v0/(2fg)驾驶员的反应时间T1,可根据统计数据或经验得到,通常可假定为：T1=1（秒）。所以,黄灯应亮的时间为：T=(I+L)/v0 +v0/(2fg)+T14.4.新产品销售量新产品销售量 一种耐用新产品进入市场后,一般会经过一个销售量先不断增加,然后逐渐下降的过程,称为产品的生命周期(Product Life Cycle),简记为PLC。PLC曲线可能有若干种情况,其中有一种为钟型，试建立数学模型分析此现象。1 1）问题分析）问题分析 当一个新产品进入市场时,其有关信息的传播一般有两个途径:经营者或厂家提供
9、的广告；人们去商店亲眼看到商品等，这是来自消费者以外的信息.当一部分人购买之后经过使用而对产品有所评价并传播开来,使其周围的人们得到了有关产品的信息,这是来自消费者内部的信息.这两方面的信息引起消费者去购买该产品.由于是耐用产品(如电视机、洗衣机),所以一般不会重复购买.故产品的累积销售量可以认为是购买者人数.2 2）建模与求解）建模与求解 设 K为潜在的消费者总数,n(t)为t时刻购买了该产品的人数(累积销售量)。在时间段t,t+t 中,购买者增量n(t)由两部分组成:其一是由来自消费者外部的产品信息导致的购买者增量:n1(t)其二是由消费者内部传播的产品信息导致的购买者增量:n2(t)因外
10、部信息导致的购买者增量应与未购买者人数成正比。即:nn1 1(t)=aK-n(t)t(t)=aK-n(t)t (a0为比例系数)因内部信息导致的购买者增量应与已购买者人数、未购买者人数之积成正比。即：nn2 2(t)=b n(t)K-n(t)t(t)=b n(t)K-n(t)t(b0为比例系数)故在时间段t,t+t 中,购买者总的增量为:n(t)n(t)=aK-n(t)taK-n(t)t+b n(t)K-n(t)tb n(t)K-n(t)t 式两端同除以t,并令t 0得0)0()()()(ntbnatnkdttdn 这就是该产品销售量的数学模型.解此微分方程得 销售量为其导函数，导函数曲线即为
11、PLC曲线,它的图形为钟型.tbkatbkaeabkektn)()(11)(为什么要用三级火箭来发射人造卫星为什么要用三级火箭来发射人造卫星 构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？1 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?（1 1）卫星能在轨道上运动的最低速度）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设：假设：（i i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
12、在此轨道上作匀速圆周运动。在此轨道上作匀速圆周运动。（iiii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 星的引力忽略不计。星的引力忽略不计。分析：分析：根据万有引力定律，地球对卫星的引力为根据万有引力定律，地球对卫星的引力为:2kmFr在地面有在地面有:2kmmgR得得:k=gR2 R R为地球半径，为地球半径，约为约为64006400公里公里 故引力故引力:2RFmgr假设(ii)假设(i)卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力故又有故又有:2mFr从而从而:gRr设设g=9.81g=9.8
13、1米米/秒秒2 2，得，得:卫星离地面高度卫星离地面高度(公里公里)卫星速度卫星速度(公里公里/秒秒)100100200200400400600600800800100010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86dmm-dmvu-v（2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 假设：假设：火箭重力及空气阻力均不计火箭重力及空气阻力均不计 分析：分析：记火箭在时刻记火箭在时刻t 的质量和速度分别为的质量和速度分别为m(t)和和(t)2()()()dmm ttm ttOtdt 有：有：记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为记火箭
14、喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），（常数），由动量守恒定理：由动量守恒定理：2()()()()()()dmm ttm tttttOttudt 0 0和和m m0 0一定的情况下，一定的情况下，火箭速度火箭速度(t)(t)由喷发由喷发速度速度u u及质量比决定。及质量比决定。ddmmudtdt 故：故：由此解得：由此解得：00()ln()mtum t（2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 现将火箭现将火箭卫星系统的质量分成三部分：卫星系统的质量分成三部分：（i）mP（有效负载，如卫星）（有效负载，如卫星）（ii）mF（燃料质量）（燃料质量）（iii）mS（结构质量（结构质
15、量如外壳、燃料容器及推进器）。如外壳、燃料容器及推进器）。最终质量为最终质量为mP+mS，初始速度为，初始速度为0，所以末速度：所以末速度：lnOPSmumm根据目前的技术条件和燃料性根据目前的技术条件和燃料性能，能，u只能达到只能达到3公里公里/秒，即使秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不发射空壳火箭，其末速度也不超过超过6.6公里公里/秒。秒。目前根本不目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星可能用一级火箭发射人造卫星2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假设：假设：记结构质量记结构质量mS在在mS+mF中占的比例为中占的比例为，假设火，假设火箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以箭能随时抛
16、弃无用的结构，结构质量与燃料质量以与与（1-）的比例同时减少。）的比例同时减少。建模建模:由由 2()()()()(1)()()dmdmm ttm tttttutOtdtdt 得到：得到：(1)dmdmmudtdt 解得：解得：0()(1)ln()mtum t 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，所以最终速度为：所以最终速度为：0(1)lnPmum只要只要m0足够大，我们可以足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具使卫星达到我们希望它具有的任意速度。有的任
17、意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星计（按比例的粗略估计）发射卫星要使要使=10.5公里公里/秒才行，则可推秒才行，则可推算出算出m0/mp约为约为51,即发射一吨重的即发射一吨重的卫星大约需要卫星大约需要50吨重的理想火箭吨重的理想火箭 3 3、理想过程的实际逼近、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统多级火箭卫星系统 记火箭级数为记火箭级数为n，当第，当第i级火箭的燃料烧尽时，第级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用级火箭。用mi表示第表示第i级火箭的质量
18、，级火箭的质量，mP表示有效负载。表示有效负载。先作如下假设：先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的）设各级火箭具有相同的,即即i级火箭中级火箭中mi为结构为结构质量，（质量，（1-）mi为燃料质量。为燃料质量。（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为并记比值为k k。考虑二级火箭：考虑二级火箭：当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：12212lnPPmmmummm当第二级火箭燃尽时，末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：2122222122lnlnPPPPPPmmmmmmmuummmmmmm该假设
19、有点强加该假设有点强加的味道，先权作的味道，先权作讨论的方便吧讨论的方便吧又由假设（又由假设（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，仍设仍设u=3公里公里/秒，且为了计算方便，近似取秒，且为了计算方便，近似取=0.1，则可，则可得：得：1222122113ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使要使2=10.5公里公里/秒，则应使秒，则应使:10.5615.750.11kek即即k11.2，而，而:12149PPmmmm类似地，可以推算出三级火箭：类似地，可以推算出三级火箭：1232333123233lnPP
20、PPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同样假设下在同样假设下:33113ln9ln0.110.11kkkk要使要使3=10.5公里公里/秒，则秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+m2+m3+mP）/mP77。三级火箭比二级火箭三级火箭比二级火箭几乎节省了一半几乎节省了一半 是否三级火箭就是最省是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进对四级、五级等火箭进行讨论。行讨论。考虑考虑N N级火箭：级火箭：记记n级火箭的总质量（包含有效负载级火箭的总质量（包含有效负载mP）为）为m0，在，在相同的假设下可以计算出相应的相
21、同的假设下可以计算出相应的m0/mP的值，见表的值，见表3-2n（级数）（级数）1 2 3 4 5 （理想）（理想）火箭质量（吨）火箭质量（吨）/149 77 65 60 50表3-2由于工艺的复杂性及每节火箭由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最算的，三级火箭提供了一个最好的方案。好的方案。当然若燃料的价钱很便宜当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。也可选择二级火箭。4 4、火箭结构的优
22、化设计、火箭结构的优化设计 3 3中已经能说过假设中已经能说过假设(ii)(ii)有点强加的味道；现去掉该有点强加的味道；现去掉该假设，在各级火箭具有相同假设，在各级火箭具有相同的粗糙假设下，来讨论火箭的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。结构的最优设计。W1=m1+mn+mP W2=m2+mn+mPWn=mn+mPWn+1=mP记记应用（应用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度：1212231lnnnnnWWWumWmWmW1121,nnnWWkkWW记记112121ln1111nnnnnWWWWuWWWW则则11211 21231nnnWWWWk kkWWWW又又问题化为，在问题化为，在n一定的条件下，求使一定的条件下，求使k1 k2kn最小最小 1ln(1)(1)nnkkukk解条件极值问题：解条件极值问题：12121min.(1)(1)nnnk kkk kkstCkk或等价地求解无约束极值问题：或等价地求解无约束极值问题：12121min(1)(1)nnnk kkk kkaCkk可以解出最优结构设计应满足：可以解出最优结构设计应满足：12nkkk火箭结构优化设计讨论火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（中我们得到与假设（ii）相符的结果，这说明前相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！面的讨论都是有效的！
