1、第第3 3章章 振动、波动和声振动、波动和声简谐振动简谐振动波动波动声波声波振动振动：广义地讲，物理量随时间作：广义地讲，物理量随时间作周期性周期性的变化。的变化。机械振动机械振动：物体在：物体在平衡位置平衡位置附近附近来回往复来回往复的运动。的运动。如钟摆的摆动；讲话时声带的运动；敲锣打鼓时锣如钟摆的摆动；讲话时声带的运动；敲锣打鼓时锣面和鼓面的运动等都是机械振动。面和鼓面的运动等都是机械振动。拍皮球时球的运拍皮球时球的运动不是振动。动不是振动。任何复杂的振动都可以看作一些最简单的、理想化任何复杂的振动都可以看作一些最简单的、理想化振动振动-简谐振动简谐振动的合成。的合成。3.1 简谐振动简
2、谐振动3.1.1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征以弹簧振子为例说明以弹簧振子为例说明(Simple harmonic vibration)xFvvF-AAx=0F=0弹簧振子的振动弹簧振子的振动0XkxF上式告诉我们：物体所受恢复力大小与上式告诉我们：物体所受恢复力大小与位移大小位移大小成正比成正比，方向与位移方向，方向与位移方向相反相反。Fkx=-简谐振动动力学特征简谐振动动力学特征=d xdt22kmx+0由牛顿第二定律由牛顿第二定律，得得kx=md xdt22Fkx=3.1.2 简谐振动方程简谐振动方程得：得：d xdt22=+2x0令令m=k2km=解上面方程，得解上面方程，
3、得j=t+cos()xA上式称为简谐振动上式称为简谐振动运动学特征运动学特征或或简谐振动方程。简谐振动方程。=t+sin()xA或或后面讨论简谐振动时，常采用后面讨论简谐振动时，常采用式。式。A+=sin()tjAx+=cos()tjx2=vdx=dta2d x=dt2简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度)+=cos2(tjA3.1.3 简谐振动的特征量简谐振动的特征量1.1.振幅振幅Ax+=cos()tjA振幅振幅(离开平衡位置的最大距离，反映振动强弱)A、jA、j：称为称为简谐振动的特征量简谐振动的特征量2.2.周期、频率、角频率周期、频率、角频率周期：周期：物体完成一次全振动所需
4、的时间，用物体完成一次全振动所需的时间，用T表示。表示。频率：频率：单位时间内完成全振动的次数，用单位时间内完成全振动的次数，用表示。表示。nT=1周期和频率都是反映振动的周期和频率都是反映振动的快慢快慢。周期越周期越大大，振动越，振动越慢慢；频率越；频率越大大，振动越，振动越快快。它们的关系为：它们的关系为：Ax+=cos()tjA+=cos()tjT+n=2余弦函数的一个周期是余弦函数的一个周期是2，所以，所以T=2Ax+=cos()tj角频率角频率=2T:称为称为角频率。角频率。单位：单位：rads它也是反映振动它也是反映振动快慢快慢的。的。越越大大，振动越，振动越快快。对于弹簧振子：对
5、于弹簧振子：km=T2mk=21kmn分别称为弹簧振子的分别称为弹簧振子的固有角频率固有角频率、固有周期固有周期和和固有频率。固有频率。3、相位和初相相位和初相Ax+=cos()tjj：t t=0=0 时刻的相位，称为时刻的相位，称为初相。初相。+()tj：相位相位(或或位相、周相，位相、周相，简称：简称：相相 )=初相反映初相反映振动步调。振动步调。4 4、相位差、相位差(简称相差简称相差)12jj=相差相差=tt+()21jj=t+cos()1xA1j1两两频率相同频率相同的简谐振动的相位的差值称为的简谐振动的相位的差值称为相差。相差。=t+cos()2Ax2j22012kkj，21),0
6、,1,2kkj（当当（即（即 偶数倍）时，偶数倍）时，两振动两振动同相。同相。当当（即（即 奇数倍）时，奇数倍）时，两振动两振动反相。反相。3.1.4 3.1.4 振幅、初相与初始条件的关系振幅、初相与初始条件的关系Ax+=cos()tjt=0 时时，Ax=cosj0A=x0v0+222=Ajsinv0A+=sin()tjv解得：解得：00,xxvv称为称为初始条件初始条件。v0=jx0tan例例一质点在一质点在1秒内完成秒内完成10次全振动，所经过的总路程次全振动，所经过的总路程为为2m，在，在t=0时，质点位于平衡位置并向时，质点位于平衡位置并向x轴负向轴负向运动，试写出该质点的振动方程。
7、运动，试写出该质点的振动方程。解：解：由题可知：由题可知：21020rads200540Acm0cos0 xAj2j 由于由于2j0sin0vAj 因此因此5cos(20)2xtcm旋转矢量旋转矢量A A与与x x轴正向的夹角轴正向的夹角 M M点在点在x x轴上投影点轴上投影点P P 的运动规律：的运动规律：3.1.5 简谐振动的旋转矢量图示法简谐振动的旋转矢量图示法xt)(cos=+AjAx0MPx(t)+jA 的长度的长度A 的旋转角速度的旋转角速度A 的旋转的方向：的旋转的方向：角频率角频率逆时针方向逆时针方向振幅振幅 A相位相位2Ek=12mvEp122=kxE=EEkp+A2=12
8、kAx+=cos()tj+=sin()tAjv()+=12A22tkcosj)(2+=12mA22sintj3.1.6 简谐振动的能量简谐振动的能量动能和势能在不断转化，但总的机械能保持不变。动能和势能在不断转化，但总的机械能保持不变。m=k2()3.1.7 3.1.7 两个同方向、同频率简谐振动的合成两个同方向、同频率简谐振动的合成 设一质点在同一直线上同时进行两个独立的同频设一质点在同一直线上同时进行两个独立的同频率的简谐振动：率的简谐振动：111cos()xAtj222cos()xAtj则合振动位移为：则合振动位移为：12xxx下面用旋转矢量法求合振动的位移。下面用旋转矢量法求合振动的位
9、移。22121221112211222cos()sinsintancoscosAAAA AAAAAjjjjjjj其中：任意时刻的合振动是任意时刻的合振动是简谐振动，频率与各分振简谐振动，频率与各分振动频率相同，动频率相同，合振动位移为：合振动位移为：12xxxcos()Atj两种特殊情况：两种特殊情况：合振幅最大合振幅最大合振幅最小合振幅最小1）当相位差当相位差212 kjjj12AAA21(21)kjjj2）当相位差当相位差12AAA(0 1,)k，时时(0 1,)k，时时3.2 3.2 波的产生与传播波的产生与传播3.2.1 3.2.1 机械波的产生与传播机械波的产生与传播.波源波源 .弹
10、性介质弹性介质横波横波:质点振动方向与波的传播方向垂直；质点振动方向与波的传播方向垂直；纵波：纵波：质点振动方向与波的传播方向平行。质点振动方向与波的传播方向平行。2 2、机械波的分类、机械波的分类1 1、产生和传播机械波的条件、产生和传播机械波的条件波动过程中，传播的是波动过程中，传播的是振动形式振动形式，传播的是，传播的是能量能量，介质中各质点仅在各自平衡位置附近振动，介质中各质点仅在各自平衡位置附近振动，并不随并不随波一起向前迁移波一起向前迁移。机械振动在弹性介质中的传播过程，称为机械振动在弹性介质中的传播过程，称为机械波。机械波。波面：波面：某一时刻由振动相位相同的点所组成的面。某一时
11、刻由振动相位相同的点所组成的面。平面波：平面波：波面为平面的波。波面为平面的波。球面波：球面波：波面为一系列同心球面的波。波面为一系列同心球面的波。波线：波线：表示波的传播方向的线。表示波的传播方向的线。波前：波前：最前面的波面。最前面的波面。波线波线 波面。波面。3.2.2 波面和波波面和波线线1 1、波速：、波速：单位时间内振动传播的距离。即单位时间内振动传播的距离。即波的传播速度。波的传播速度。机械波的波速决定于介质的弹性模量和密度机械波的波速决定于介质的弹性模量和密度等。即仅由等。即仅由介质的性质介质的性质决定，与决定，与波源无关。波源无关。注意波速与振动速度的区别。注意波速与振动速度
12、的区别。2 2、波长、波长():():一个完整波的长度。即同一波线上一个完整波的长度。即同一波线上,相相位差为位差为 2 2 的两点之间的距离。的两点之间的距离。波线上距离为波线上距离为x x的两点之间的相差为的两点之间的相差为2 xj3.2.3 3.2.3 波速、波长、波的周期和频率波速、波长、波的周期和频率频率和周期频率和周期只决定于只决定于波源波源，和介质无关；，和介质无关；波速波速由由介质介质决定决定,与波源无关；与波源无关；波长波长既与既与波源波源有关，也与有关，也与介质介质有关。有关。3 3、周期、周期(T):(T):一个完整的波通过波线上某点所用的时间一个完整的波通过波线上某点所
13、用的时间。频率频率():():单位时间内通过波线上某点的完整波的单位时间内通过波线上某点的完整波的数目。数目。Tu4、三者关系、三者关系波的周期与频率等于波源的周期与频率。即仅决定于波的周期与频率等于波源的周期与频率。即仅决定于波源。波源。3.3 3.3 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程简谐波：简谐波：简谐振动的传播所形成的波。简谐振动的传播所形成的波。一切复杂的波都可以看成是由若干简谐波合成的。一切复杂的波都可以看成是由若干简谐波合成的。y平面简谐波表示式的推导设一平面简谐波以速度设一平面简谐波以速度 u u 沿沿 x x 轴正方向无衰减地传播。轴正方向无衰减地传播。设设t t时刻时
14、刻O O点振动表达式为点振动表达式为0cosyAtj则则P P点振动表达式为点振动表达式为cosxyAtujy平面简谐波表示式的推导平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程表示位移是时间和质点表示位移是时间和质点位置的函数。位置的函数。如果如果x为一定值，则上式表示为一定值，则上式表示P P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。22TuT 上述波动方程还可写成上述波动方程还可写成cos 2cos 2txxyAAtTj j若波沿若波沿 x 轴负方向传播，则波动方程为轴负方向传播，则波动方程为cosxyAtuj2cosxyAtj例例 一波源以一波源以 y=0.04cos2.5t（m）的形式作简谐
15、振动，）的形式作简谐振动，并以并以100ms-1的速度在某种介质中传播。试求的速度在某种介质中传播。试求（1）波）波长；（长；（2）波动方程；（）波动方程；（3）在波源起振后）在波源起振后1.0s，距波源，距波源20m处质点的位移及速度处质点的位移及速度。（2）根据题意，波动方程为根据题意，波动方程为 y=0.04cos2.5（t-x/100）（m）（3）在在x=20m处质点的振动为处质点的振动为 y=0.04cos2.5（t-0.2）（m）解：（1）2100802.5uTm该处质点的速度为该处质点的速度为110.04 2.5 sin2.50.20ttdyvtdt 在波源起振后在波源起振后1.
16、0s，该处质点的位移为，该处质点的位移为 y=0.04cos2.0=410-2（m）3.4 3.4 波的强度和波的衰减波的强度和波的衰减波的传播过程是能量的传播过程。波的传播过程是能量的传播过程。单位时间单位时间内通过与内通过与波线垂直波线垂直的的单位面积单位面积上的平均能量，上的平均能量，2221AuI单位：W/m23.4.1 3.4.1 波的强度波的强度称为称为波的强度波的强度。3.4.2 3.4.2 波的衰减波的衰减机械波在介质中传播时，其强度将随传播距离的机械波在介质中传播时，其强度将随传播距离的增大而减小，这种现象称为增大而减小，这种现象称为波的衰减波的衰减。1 1、衰减原因、衰减原
17、因 波的能量分布面积增大；波的能量分布面积增大；介质对波的吸收。介质对波的吸收。2 2、衰减规律、衰减规律设平面波沿设平面波沿 x 轴正方向传播。轴正方向传播。通过通过 dx 薄层时，其强度衰减薄层时，其强度衰减了了 ，实验表明，实验表明 dI平面波的衰减规律平面波的衰减规律xxdxo0II IdIu解这一微分方程，并利用边界条件：解这一微分方程，并利用边界条件：x=0,I=I0 得得0 xII edIIdx 介质的介质的吸收系数吸收系数，与，与介质的性质介质的性质和波的频和波的频率（率（波长波长）有关。）有关。xxdxo0II IdIu球面波的衰减规律球面波的衰减规律22112244IrIr
18、212221IrIr1I2I1r2r单位时间内通过两个球面的能量相等，单位时间内通过两个球面的能量相等，3.5 3.5 波的干涉波的干涉3.5.1 3.5.1 波的叠加原理波的叠加原理几列波可以互不影响地同时通过某一区域；几列波可以互不影响地同时通过某一区域；在相遇处，任一质点的位移是各列波单独在该点在相遇处，任一质点的位移是各列波单独在该点所引起的振动位移的矢量和。所引起的振动位移的矢量和。波的叠加原理波的叠加原理两列波在介质中传播且相遇，若它们满足一定的条两列波在介质中传播且相遇，若它们满足一定的条件，则在叠加区域的某些位置，振动始终加强，而件，则在叠加区域的某些位置，振动始终加强，而在另
19、一些位置上振动始终减弱或完全抵消，这种现在另一些位置上振动始终减弱或完全抵消，这种现象称为象称为波的干涉。波的干涉。1 1、波的相干条件：、波的相干条件：频率相同；频率相同；相位差恒定或相位差恒定或初相相等；初相相等；振动方向相同。振动方向相同。2 2、相干波、相干波源、相干波、相干波源把满足相干条件，能产生干涉现象的波叫作把满足相干条件，能产生干涉现象的波叫作相干波相干波；相应的波源称为相应的波源称为相干波源相干波源。3.5.2 波的干涉波的干涉3 3、波的干涉、波的干涉设两个相干波源的振动表达式为111cosOOyAtj222cosOOyAtj两波在 P 点的分振动的表达式1111cosr
20、yAtuj1112cosrAtj22222cosryAtj.1r2rP1O2OP点的合振动为12cosyyyAtj其中：2212122cosAAAA Aj12112212112222sinsinarctan22coscosrrAArrAAjjjjj21212rrjjj讨论：2212122cosAAAA Aj 若212122rrkjjj 2,1,0k12AAA干涉加强干涉加强 若2121221rrkjjj 2,1,0k12AAA干涉减弱干涉减弱如果12AA0A干涉相消干涉相消21rr波程差波程差干涉加强干涉加强干涉减弱干涉减弱21rrk 当0,1,2k 时 若12jj212rrj 则21212r
21、rk 当0,1,2k 时3.6 3.6 声声 波波3.6.1 3.6.1 声压、声阻抗与声强声压、声阻抗与声强1.1.声压声压凡是在弹性介质中传播的机械纵波都称为凡是在弹性介质中传播的机械纵波都称为声波声波（sound wave)。介质中有声波传播时的压强与无声波时的静介质中有声波传播时的压强与无声波时的静压强之间的压强压强之间的压强之差之差，称为，称为声压。声压。20000Hzn2020000HzHzn20Hzn次声波次声波其中其中：可闻声波可闻声波超声波超声波2.2.声阻抗声阻抗（acoustic impedance)声压幅值与介质质点振动速度幅值的比值称为介质声压幅值与介质质点振动速度幅
22、值的比值称为介质的的声阻抗声阻抗。用。用Z Z表示，即表示，即mmPuAZuvA 对平面简谐波，可以证明声压为：对平面简谐波，可以证明声压为：cos()2xPu Atu j 其中其中mPuA 称为称为声压幅值声压幅值2mePP称为称为声压有效值声压有效值3.3.声强声强（sound intensity）单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量，称为积的声波能量，称为声强。声强。2222211222memPPIuAZvZZ3.6.2 3.6.2 声波的反射和透射声波的反射和透射22121ririIZZIZZ212214()titiIZ ZIZZ
23、声波在传播过程中，遇到两种声阻抗不同的介质界面声波在传播过程中，遇到两种声阻抗不同的介质界面时，会发生反射和折射。在时，会发生反射和折射。在垂直入射垂直入射时时当两种介质声阻抗差别当两种介质声阻抗差别不大不大时，时，反射少反射少，透射多；，透射多；当两种介质声阻抗差别当两种介质声阻抗差别较大较大时，时，反射多反射多，透射少。，透射少。强度反射系数强度反射系数强度透射系数强度透射系数3.6.3 3.6.3 听觉域听觉域1.1.听阈及听阈曲线听阈及听阈曲线2.2.痛阈及痛阈曲线痛阈及痛阈曲线3.3.听觉域听觉域 (auditory region)听阈：听阈：能够引起人耳听觉反应的最小声强，又称能够
24、引起人耳听觉反应的最小声强，又称 最低可闻声强最低可闻声强。听阈曲线：听阈曲线：听阈随频率变化的关系曲线。听阈随频率变化的关系曲线。痛阈：痛阈：能够引起人耳听觉反应的最大声强。能够引起人耳听觉反应的最大声强。痛阈曲线：痛阈曲线：痛阈随频率变化的关系曲线。痛阈随频率变化的关系曲线。由由20Hz20Hz、2 2万万HzHz的直线和的直线和听阈曲线、痛阈曲线听阈曲线、痛阈曲线围成的区域。围成的区域。听阈听阈曲线曲线痛阈痛阈曲线曲线3.6.4 3.6.4 声强级和响度级声强级和响度级1.1.声强级声强级 (intensity level)0lg()ILBI010lg()IdBI2.2.响度级响度级 (
25、loudness level)人耳对声音的主观感觉人耳对声音的主观感觉-响度，由响度，由声强级和频率声强级和频率共共同决定。根据响度不同，将声音分成不同的等级，称同决定。根据响度不同，将声音分成不同的等级，称为为响度级响度级。单位：单位：方（方（phonphon）1000Hz1000Hz的纯音的响度级等于它的的纯音的响度级等于它的声强级。响度相同的声音具有相同的响度级。声强级。响度相同的声音具有相同的响度级。10-12 Wm-2将响度的相同的点连成的曲线，称为将响度的相同的点连成的曲线，称为等响曲线。等响曲线。例例一台机器产生的噪声为一台机器产生的噪声为60dB，则，则10台同样台同样机器同时
26、工作时产生噪声的声强级是多少？机器同时工作时产生噪声的声强级是多少？解：解：一台机器产生的噪声的声强为一台机器产生的噪声的声强为I I，则则010lg60IdBI1010台同样机器同时工作时产生噪声的声强级是台同样机器同时工作时产生噪声的声强级是01010lgILI010 10lg70IdBI两声波在同一介质中传播，它们声强级相差 例例20dB则它们的声强之比为 多少？解：解：12120010lg10lgIILLII1210lg20IdBI12100:1II3.7.1 超声波的特性超声波的特性 1、方向性好 2、强度大 3、穿透性好 4、能发生显著反射3.7.2 超声波与物质的相互作用超声波与
27、物质的相互作用 1、机械作用 2、空化作用 3、热作用3、7 超声波超声波(ultrasonic wave)及其在医学上的应用及其在医学上的应用3.7.3 超声波的产生与接收超声波的产生与接收 1 1、发生器的组成：、发生器的组成：高频脉冲发生器和压电高频脉冲发生器和压电式换能器。式换能器。2 2、压电效应：、压电效应：利用利用正正压电效应压电效应接收接收超声波；超声波；利用利用逆逆压电效应压电效应产生产生超声波超声波.超声波在医学上的应用：超声诊断、超声超声波在医学上的应用：超声诊断、超声治疗、生物组织超声特性研究。治疗、生物组织超声特性研究。3.7.4 3.7.4 超声波在医学上的应用超声
28、波在医学上的应用超声诊断的物理基础是：超声诊断的物理基础是：利用超声波利用超声波在介质分界面上的反射。在介质分界面上的反射。垂直偏转板：垂直偏转板：回波回波水平：锯齿波电压水平：锯齿波电压 1、A型超声诊断仪型超声诊断仪回波幅度调制回波幅度调制 特点：一维信息。一维信息。回波接控制栅极，利回波接控制栅极，利用回声信号改变栅极用回声信号改变栅极间电位差，从而改变间电位差，从而改变辉度。辉度。2、B型超声诊断仪型超声诊断仪回波辉度调制回波辉度调制特点：特点：二维断层影像二维断层影像 。3 3、M M型超声诊断仪型超声诊断仪（又称（又称超声心动图超声心动图）4 4、超声多普勒血流仪、超声多普勒血流仪
29、n n2 cosuvnn其中其中n n n 称为称为多普勒频移。多普勒频移。5 5、彩色多普勒血流仪、彩色多普勒血流仪红色（红色（R R）-流向探头的正向血流流向探头的正向血流蓝色（蓝色（B B）-离开探头的反向血流离开探头的反向血流绿色（绿色（G G）-复杂多变的湍流复杂多变的湍流思考练习题思考练习题1 1、一质点作上下方向的简谐振动，设向上为正方向，、一质点作上下方向的简谐振动，设向上为正方向，振动方程为振动方程为 cos(),yAtj衡位置上方最大位移的衡位置上方最大位移的 若若t=0t=0时质点在平时质点在平处开始向下运动则该简谐处开始向下运动则该简谐12振动的初位相为振动的初位相为（
30、）32 2、P、Q是两初相相同的相干波源所在处，设它们在是两初相相同的相干波源所在处，设它们在同一介质中传播时的波长均为同一介质中传播时的波长均为，两波的振幅分别，两波的振幅分别为为若若PQ之间距离为之间距离为2.52.5，R为为PQ连线外连线外侧的任意一点，两波在侧的任意一点，两波在R处相遇时振动相差为处相遇时振动相差为 ，在在R处干涉时合振动的振幅为处干涉时合振动的振幅为 。12,AA、512AA3、声波在空气中转播时，若频率增大一倍，振幅不变，、声波在空气中转播时，若频率增大一倍，振幅不变，则（则（）A.A.波长增大一倍波长增大一倍 B.B.波强增大一倍波强增大一倍 C.C.波速增大一倍
31、波速增大一倍 D.D.波强增大为原来的四倍波强增大为原来的四倍D4 4、声音的响度不仅与声强（或声强级）有关，还与、声音的响度不仅与声强（或声强级）有关，还与（）有关。）有关。若声强级为若声强级为 40,dB频率为频率为10001000 Hz纯音与声强级为纯音与声强级为 36dB、频率为频率为40004000 Hz相同，则声强级为相同，则声强级为 纯音响度纯音响度36dB、频率为频率为40004000 Hz响度级为响度级为 方。方。纯音的纯音的频率频率405 5、医学上常采用压电晶体的压电效应来产生和接收超、医学上常采用压电晶体的压电效应来产生和接收超声波，利用压电晶体的声波，利用压电晶体的
32、压电效应产生超声波。压电效应产生超声波。当超声波通过两种不同介质的分界面时，若两种介质当超声波通过两种不同介质的分界面时，若两种介质 的声阻抗差别较大，则声波透射较的声阻抗差别较大，则声波透射较 。逆逆少少6 6、已知波动方程为、已知波动方程为 cos(),yAbtcx波速、频率和波长。波速、频率和波长。试求波的振幅、试求波的振幅、解：解：cos()yAbtcxcos()xAb tb c所以，波的振幅为所以，波的振幅为A,频率为频率为2b波速为波速为,bc波长为波长为2.c7 7、有一平面简谐波在密度为、有一平面简谐波在密度为 331.5 10 kg m无衰减的传播，波动方程为无衰减的传播，波
33、动方程为的介质中的介质中0.01cos(20 t0.01 x)y,x yt（式中（式中以米为单位，以米为单位，以秒为单位）。以秒为单位）。试求：试求：（1 1）波长和波速；（）波长和波速；（2 2）波的强度；）波的强度；（3）处质点振动方程。处质点振动方程。50 xm解：解：（1）由）由0.01cos(20 t0.01 x)y可知可知tx0.01cos2()0.1200y波长为波长为200m200m，波速为波速为2000m s（2 2）波的强度为）波的强度为2212IuA 32211.5 102000(20)0.012242610()W m（3）处质点振动方程为处质点振动方程为 50 xm0.01cos(20 t)2y作业：作业：3-33-3、3-43-4、3-83-8、3-153-15、3-183-18、3-223-22、3-233-23
