1、函数中的恒成立恒成立和存在性存在性问题值范围。取成立，求使得若已知两个函数例axgxfRxaxxgxxf)()(,)(,1)(1.)()(,2,ln2)(,)(22axgxfexxxgaxxf成立，求使若。已知函数例.)()(,2)1(,ln2)(,)(22axgxfexxxgaxxf成立，求使若。已知函数例.)()(,2,)2(2121的范围实数成立，求正使若axgxfexx(2)(2)已知已知f(x)=lnx:f(x)=lnx:设设F(x)=f(x+2)-F(x)=f(x+2)-，求，求F(x)F(x)的单调区间；的单调区间；若不等式若不等式f(x+1)f(2x+1)-mf(x+1)f(2
2、x+1)-m2 2+3am+4+3am+4对任意对任意a-1,1a-1,1，x0,1x0,1恒成立，求恒成立，求m m的取值范围的取值范围.2xx1【解题指南解题指南】(2)(2)由题意只需解不等式由题意只需解不等式F(x)F(x)0 0和和F(x)F(x)0 0即可得到单调区即可得到单调区间；原不等式恒成立可转化为间；原不等式恒成立可转化为 恒成立，进一恒成立，进一步转化为步转化为 成立成立.2x1ln3ma4m2x12maxminx1(ln)(3ma4m)2x1(2)(2)F(x)=ln(x+2)-F(x)=ln(x+2)-定义域为：定义域为：(-2,-1)(-1,+).(-2,-1)(-
3、1,+).F(x)=F(x)=令令F(x)F(x)0 0，得单调增区间为，得单调增区间为 和和令令F(x)F(x)0 0，得单调减区间为，得单调减区间为 和和2xx12212(x1)2x12x2(x1)x2(x1)2222(x1)2(x2)x3,(x2)(x1)(x2)(x1)(2,3)(3,)(3,1)(1,3)不等式不等式f(x+1)f(2x+1)-mf(x+1)f(2x+1)-m2 2+3am+4+3am+4化为：化为：ln(x+1)ln(2x+1)-mln(x+1)ln(2x+1)-m2 2+3am+4+3am+4即即 3ma+4-m3ma+4-m2 2.现在只需求现在只需求y=(x0
4、,1)y=(x0,1)的最大值和的最大值和y=3ma+4-my=3ma+4-m2 2(a-1,1)(a-1,1)的最小值的最小值.因为因为 在在00，11上单调递减上单调递减,所以所以y=(x0,1)y=(x0,1)的最大值为的最大值为0,0,x1ln2x1x1ln2x1x1112x122(2x1)x1ln2x1而而y=3ma+4-my=3ma+4-m2 2(a-1,1)(a-1,1)是关于是关于a a的一次函数，的一次函数，故其最小值只能在故其最小值只能在a=-1a=-1或或a=1a=1处取得处取得,于是得到：于是得到：解得解得0m10m1或或-1m-1m0 0，所以所以m m的取值范围是的
5、取值范围是-1-1，1.1.2203m4m03m4m,3m03m 0 或【互动探究互动探究】若本例若本例(2)(2)第问中条件改为第问中条件改为“F(x)=f(x+2)-kxF(x)=f(x+2)-kx在在定义域内是单调递增函数定义域内是单调递增函数”，则，则k k的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由题意由题意F(x)=-k0F(x)=-k0在在(-2,+)(-2,+)上恒成立，上恒成立，k k 恒成立，恒成立，k0.k0.答案：答案：k0k01x21x2【变式备选变式备选】已知已知f(x)=ef(x)=ex x-ax-1.-ax-1.(1)(1)求求f(x)f(x)的单调递增区间；
6、的单调递增区间；(2)(2)是否存在是否存在a,a,使使f(x)f(x)在在(-(-，0 0上单调递减，在上单调递减，在0 0，+)+)上上单调递增？若存在，求出单调递增？若存在，求出a a的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由.【解析解析】f(x)=ef(x)=ex x-a.-a.(1)(1)若若a0a0，f(x)=ef(x)=ex x-a0-a0恒成立，即恒成立，即f(x)f(x)在在R R上递增上递增.若若a0,a0,令令e ex x-a0,-a0,得得e ex xa,xlna.a,xlna.f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(lna,+).(lna,+).(2)
7、(2)方法一：由题意知方法一：由题意知e ex x-a0-a0在在(-(-，0 0上恒成立上恒成立.aeaex x在在(-(-，0 0上恒成立上恒成立.e ex x在在(-(-，0 0上为增函数上为增函数.当当x=0 x=0时，时，e ex x最大为最大为1.1.a1.a1.同理可知同理可知e ex x-a0-a0在在0 0，+)+)上恒成立上恒成立.aeaex x在在0 0，+)+)上恒成立上恒成立.a1.a1，a=1.a=1.方法二：由题意知，方法二：由题意知，x=0 x=0为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点.f(0)=0,f(0)=0,即即e e0 0-a=0,a=1-a=0,a=
8、1，验证，验证a=1a=1符合题意符合题意.的取值范围。求使得均存在若对任意）设（的单调区间；求已知函数axgxfxxxxxgxfRaxaxxf),()(,1,0),0(,22)(2)()1(ln)(.121212练习练习的取值范围求都有使得任意的）条件改为：对任意若本题（axgxfxx)()(1,0),0(22121两个变量 大小问题 相等问题)()(,2121xgxfDxx使得)()(,2121xgxfxx都有对)()(,2121xgxfxx有对)()(,2121xgxfDxx都有maxmin)()(xgxf)()(,2121xgxfDxx使得)()(,2121xgxfxx有对)()(,2
9、121xgxfxx有对minmax)()(xgxfmaxmax)()(xgxfminmin)()(xgxf两值域有交集值域值域)()(xgxf值域值域)()(xgxf,ln2)(,)(:2xxgaxxf已知函数练习axgxfexx成立，求使若)()(,2,)2(2121axgxfexx成立，求使若)()(,2,)1(2121axgxfexex求成立，使若)()(,2,2)3(2121(a0)的范围。，求使得，均存在若对任意的、已知例axgxfxxxxxgxaxxf21212)(1,0),0(,22)(,ln)(3 的问题转化为maxmaxxgxf的范围。成立，求都有若对任意的、已知两个函数例m
10、xfxgxxxxxgmxxexxf)()(),0(,ln)(,131)(42121223的问题转化为minmax)()(xfxg两个变量 大小问题 相等问题)()(,2121xgxfDxx使得)()(,2121xgxfxx都有对)()(,2121xgxfxx有对)()(,2121xgxfDxx都有maxmin)()(xgxf)()(,2121xgxfDxx使得)()(,2121xgxfxx有对)()(,2121xgxfxx有对minmax)()(xgxfmaxmax)()(xgxfminmin)()(xgxf两值域有交集值域值域)()(xgxf值域值域)()(xgxf恒成立和存在性问题 把含有相同变量的 移到同一侧 不同的变量 尽量拨开 分离开 放两侧 转化为两个函数 值域或最值的问题
