1、第七章第七章 图形的变化图形的变化方法突破精讲练一对称性质在最值问方法突破精讲练一对称性质在最值问题中的应用题中的应用 “对称问题”主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，常与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合考查，是全国中考的常考题型 定直线与两定点定直线与两定点类型一线段和最小值问题(异侧)问题：问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PAPB值最小解决：解决：结论：结论：根据“两点之间，线段最短”，PAPB的最小值即为线段AB的长模型模型1 1 1.如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E
2、是AB边上一点，若AE2，则线段EFCF的最小值为 ()A.1 B.2 C.2 D.223D第1题图【解析】如解图，由“两点之间，线段最短”可知，当E、F、C三点共线时，EFCF的值最小，AE2，AB4，点E是AB的中点，ABC是等边三角形，ACBC，CEAB，在RtACE中，CE 2 ，即线段EFCF的最小值为2 .222242ACAE33第1题解图类型二线段和最小值问题(同侧)问题：问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PAPB值最小解决：解决：结论结论：将同侧两定点转化为异侧两定点问题，同类型一即可解决2.(2015南宁南宁)如图，AB是O的直径，AB8，点M在O上，
3、MAB20，N是 的中点，P是直径AB上一动点若MN1，则PMN周长的最小值为 ()A4 B5 C6 D7MBB第2题图【解析】如解图，作点N关于AB 的对称点C，连接CM交AB于点P，连接NP、MN，由对称性可知PNPC，此时MPNPMPPCMC，根据两点之间线段最短且MN为定值可知此时P点即为使PMN周长最小时点P的位置，连接AC、OM、OC，点N 是 的中点，C为N关于AB的对称点，又MAB20CAB10，MAC30，MOC2MAC60，OMOC，MOC是等边三角形，AB8，MCOC4，PMN周长的最小值为MPNPMNMPPCMNMCMN415.MB12BNBCMB第2题解图3.如图，正
4、方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM2，点N是边AC上一动点，则线段DNMN的最小值为_10第3题图【解析】如解图，连接BD、BM，BM交AC于点N，连接DN，点B与点D关于线段AC对称，DNBN，DNMNBNMNBM，则BM就是DNMN的最小值，在RtBCM中，BC8，CMCDDM826，根据勾股定理得BM 10，即DNMN的最小值是10.第3题解图2268 角与定点角与定点类型一 一定点与两条直线上两动点问题问题问题：点P在AOB的内部，在OA边上找一点C，在OB边上找一点D，使得PCD周长最小.解决：解决：结论：结论：要使PCD周长最小，即PCPDCD值最小根据“两点之间线段最
5、短”，将三条线段转化到同一直线上即可模型模型2 2 4.如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC，CD上分别找一点M，N使AMN周长最小，则AMNANM的度数为_120第4题图【解析】如解图，分别作点A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于点M，交CD于点N，则AA即为AMN周长的最小值BAD120，AA18012060，AMAA，NADA，且AMAAAMN，NADAANM，AMNANM2(AA)260120.第4题解图类型二两定点与两条直线上两动点问题问题：问题：点P、Q在AOB的内部，在OA边上找一点C，在OB边上找一点D，使得四边形PQDC周长最小.解决：解决：结
6、论：结论：将问题转化为类型一即可求解5.如图，在平面直角坐标系中，A(3，1)，B(1，3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD周长的最小值是_.6 2第5题图【解析】如解图，分别作点A关于x轴的对称点E，作点B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于点D，交y轴于点C，连接AD、BC，则此时ADDCBC的值最小，根据对称的性质得DEAD，BCCF，即ADDCBCDEDCCFEF，A(3，1)，B(1，3)，E(3，1)，F(1，3)，AB ，EF ，即四边形ABCD周长的最小值是ABBCCDADABEF6 .222(3 1)(1 3)2 2 22(3 1)(1 3)4 2
7、 第5题解图 一定长与两定点一定长与两定点类型一“造桥选址”问题问题：问题：已知l1l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M、N两点，使得MNl1，且AMMNNB的值最小解决：解决：结论：结论：根据“两点之间线段最短”，AMMNBN的最小值为ABMN.模型模型3 3 6.如图，荆州护城河同在CC处直角转弯，宽均为5米，从A处到达B处，须经过两座桥：DD，EE(桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的，如何架桥可使ADDEEB的路程最短？并说明理由第6题图 解：如解图，将点A沿正南方向平移5米得到点F，点B沿正东方向平移5米得到点G，连接GF，与河岸分别相交于E、D，连接D
8、D、EE即为所架桥理由如下：由作图可知，AFDD，AFDD，则四边形AFDD为平行四边形，ADFD，同理可得，BEGE，由两点之间线段最短可知，此时GF最小，即当桥架于如解图所示位置时，ADDEEB的路程最短第6题解图类型二平移型问题问题：问题：在直线l上找M、N两点(M在左侧)，使得MNd，且AMMNNB的值最小解决：解决：结论：结论：根据“两点之间线段最短”，AMMNBN的最小值为ABMN.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，且OA6，OC4，点D为OC的中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF3.当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是 ()A.(，0)B.(1，0)C.(，0)D.(2，0)1232B第7题图【解析】如解图，作点B关于x轴的对称点B，将点D向右平移3个单位长度得到D，连接BD交x轴由于点F，将点F向左平移3个单位长度得到点E，此时四边形BDEF的周长最小B(6，4)，B的坐标为(6，4)，DDEF3，D(0，2)，D的坐标为(3，2)，设直线DB的解析式为ykxb，把B(6，4)，D(3，2)代入得，,解得 ，直线DB的解析式为y2x8，令y0，得2x80，解得x4，F(4，0)，E(1，0)6432kbkb 28kb第7题解图
