1、第六单元第六单元 圆圆第第2525讲讲 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系重难点突破重难点突破类型一角平分线型类型一角平分线型1.如图，在证明切线时，一般需要利用“两腰为半径的等腰三角形”以及“斜边为直径的直角三角形”进行倒角，通过“连半径，证垂直”得到切线；2.如图，若已得到CD是 O的切线，则点A、D、C、B构成弦切角模型，易知ADCACB，从而得到对应角相等以及线段关系满分技法满分技法练习练习1练习1题图证明：如解图，连接OC，AC是EAB的平分线，CAECAB，又CDAE，CDA90，DCACAE90，DCACAB90，练习1题解图(1)如图，以AB为直径的 O交EAB的平分线AC于
2、点C，CDAE于点D.证明：CD是 O的切线又OAOC，CABACO，ACODCA90，CDOC，OC是 O的半径，CD是 O的切线；(2)如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，CDAD于点D，若CD是 O的切线证明：AC平分DAB.练习1题图证明：如解图，连接OC，AB是 O的直径，ACB90，即ACOBCO90，CD是 O的切线，OCD90，练习1题解图ACODCA90，BCODCA，又OCOB，BBCO，DCAB，CDAD，ADCACB90，ADCACB，DACCAB，即AC平分DAB.练习练习2练习2题图如图，在RtABC中，C90，ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，O过
3、B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F.(1)求证：AC是 O的切线；(2)已知AB10，BC6，求 O的半径r.(1)证明：如解图，连接OD，OBOD，ODBOBD，BD平分ABC，ABDCBD，ODBCBD，ODBC，C90，ADO90，OD是 O的半径，且D在 O上，AC是 O的切线；练习2题解图（2）解：ADOC，AA，ADOACB，即，解得.ODAOBCAB10610rr154r 类型二弦切角模型类型二弦切角模型1.无论“知等角，证切线”还是“知切线，证等角”其本质都是倒角，关键是利用“两半径为腰的等腰三角形(OAC)”的两个底角相等；直径为斜边的直角三角形(ABC)中的角度关系(
4、如图所示)；2.如图，延长切线MC，交AB的延长线于点D，在得到BCDA后，即可得到“A字”型相似模型(DCBDAC)，即可得到对应线段的比例关系，据此经常可以计算线段长度或者比值关系满分技法满分技法练习练习3练习3题图 如图，AB是 O的直径，点C是圆O上一点，MN是过点C的直线(1)若BCNA，证明：MN是圆O的切线；(2)若MN是圆O的切线，证明：BCNA.练习3题解图证明：(1)如解图，连接OC，AB是 O的直径，ACB90，AB90，OBOC，BCOB，ABCO90，又ABCN，BCOBCN90，即NCO90，OCNC，OC是 O的半径，MN是 O的切线；(2)MN是 O的切线，C是
5、切点，NCO90，即BCNBCO90，AB是直径，ACB90，AB90，又OBOC，BCOB，BCNA.练习练习4练习4题图已知：如图，O是ABC的外接圆，且ABAC13，BC24，PA是 O的切线，A为切点，直线PB过圆心，交 O于另一点D，连接CD.(1)求证：PABC;(2)求 O的半径及CD的长(1)证明：如解图，连接OA交BC于点G，PA是 O的切线，OAPA，又ABAC，OABC，BCPA；练习4题解图(2)解：由(1)可得OABC，G为BC的中点，BC24，BG12，又AB13，在RtABG中，设 O的半径为R，则OGOAAGR5，在RtBOG中，OB2BG2OG2，R2122(
6、R5)2，R16.9，OG11.9，BD是 O的直径，BCD90，DCBC，又OGBC，OGDC，点O是BD的中点，OG是BDC的中位线，DC2OG23.8.225AGABBG类型三共点双切线型类型三共点双切线型1.如图，若已知AM、AN分别切 O于点B、C，则OCAC，OBAB，易知ABO ACO，并且得到对应边对应角相等；满分技法满分技法2.如图，若已知AO平分BAC，AM切 O于点B，过点O作OCAN于点C，证明AOB AOC(AAS)，从而通过“作垂直，证半径”得到AN是圆O的切线；3.如图，若已知OA平分BOC，AM切 O于点B，AN交 O于点C，连接OC，证明OCA OBA(SAS
7、)，从而通过“连半径，证垂直”得到AN是圆O的切线练习练习5练习5题图如图，PA，PB是 O的切线，A、B为切点，AC是 O的直径，P60.(1)求BAC的度数；(2)当OA2时，求AB的长解：(1)PA、PB是 O的切线，APBP，P60，PAB，AC是 O的直径，PA是 O的切线，PAC90，BACPACPAB906030；180602P（2）如解图，连接OP，则在RtAOP中，OA2，APO30，OP4，由勾股定理得，APBP，APB60，APB是等边三角形，ABAP=222 3APOPOA2 3练习5题解图练习练习6练习6题图 AB为 O直径，BC为 O切线，切点为B，CO平行于弦AD
8、，连接DC.(1)求证：DC为 O切线；(2)若ADOC8，求 O的半径r.(1)证明：如解图，连接OD，OAOD，AADO，ADOC，ABOC，ADOCOD，BOCCOD，在OBC与ODC中，OBC ODC(SAS)，OBCODC，又BC是 O的切线，OBC90，ODC90，OD是 O的半径，DC是 O的切线；练习6题解图OBODBOCCODOCOC(2)解：如解图，连接BD.由(1)可得ACOD，ADBODC90，ADBODC，ADOCODABr2r2r2，即2r28，r2.ADABODOC类型四等腰三角形的腰是圆的直径类型四等腰三角形的腰是圆的直径练习练习7练习7题图如图，在ABC中，A
9、BAC，以AC为直径的 O交BC于点D;(1)证明：D是BC的中点；(2)过点D作DEAB于点E，证明DE是 O的切线证明：(1)如解图，连接AD，AC为 O的直径，ADC90，ADBC，又ABAC，D是BC的中点；(2)如解图，连接OD，由(1)知D是BC的中点，AOOC，OD是ABC的中位线，ODAB，DEAB，ODDE，又OD是 O的半径，DE是 O的切线练习7题解图1.在此模型中，最常见的做法是连接AD，得到AD是底边BC上的高，并且根据“三线合一”可知D是BC中点；AD平分BAC.2.在证明DE是 O的切线时，连接OD，得到OD是ABC的中位线，得到ODAB，从而将垂直关系进行传递，
10、由“连半径，证垂直”得到切线；满分技法满分技法练习练习8练习8题图35如图，已知AB是 O的直径，点P在BA的延长线上，PD切 O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E.(1)求证：ABBE;(2)若PA2，cosB，求 O半径的长(1)证明：如解图，连接OD，PD切 O于点D，ODPD，BEDC，ODBE，ADOE，OAOD，OADADO，OADE，ABBE；练习8题解图(2)解：由(1)知，ODBE，PODB，cosPODcosB=，在RtPOD中，cosPOD=，ODOA，POPAOA2OA，OA3，O半径的长为3.3535ODOP325OAOA
