1、题型七题型七 二次函数压轴题二次函数压轴题类型二类型二 二次函数与面积问题二次函数与面积问题1.面积最值问面积最值问题：题：1212典例精讲典例精讲2.面积倍数关系面积倍数关系：先求出其中一个图形面积，再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形)的面积，根据两图形间的面积关系，列方程求解；或用含相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解例例 2如图，已知抛物线yax22axa4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C(0，3)，顶点为M，连接CB.（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；例2题图【思维教练】要求抛物线的解析式，即求a的值，将点C(0，3)代入解析
2、式可得；要求顶点M的坐标，把一般式化为顶点式即可求解解：将点C(0，3)代入yax22axa4得，a43，解得a1，抛物线的解析式为yx22x3，化为顶点式得y(x1)24；由抛物线的顶点式可知顶点M的坐标为(1，4)；（2）若点P是抛物线上异于点C的一点，SABCSABP，求点P的坐标；例2题图【思维教练】ABC与ABP同底，要使其面积相等，等高即可，即P点纵坐标的绝对值等于OC的长，列方程即可得到，从而可得点P的坐标解：设点P的坐标为(xP，yP)，SABCSABP，ABOC AB|yP|，yP3或yP3，当yP3时，x22x33，解得x11 ，x21 ，当yP3时，x22x33，解得x3
3、0，x42，点P与点C不重合，xP0，满足条件的点P有3个，坐标分别为(1 ，3)或(1 ，3)或(2，3)；12127777例2题图（3）已知点P是抛物线上异于点M的一点，是否存在点P，使得SBCPSBCM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；例2题图【思维教练】BCP与BCM同底，要使其面积相等，等高即可，由BCM为直角三角形可知CM的长为高，即作两条平行于BC且到BC的距离等于CM的长的直线，交抛物线可得P点坐标分两种情况讨论：P点在BC下方，此时直线过M点；P点在BC上方解：存在C(0，3)，B(3，0)，M(1，4)，MC ，BC3 ，MB2 ，MC2BC2MB2，BCM是直角
4、三角形，要使SBCPSBCM，则点P在平行于BC，且到BC的距离等于MC的长的直线上，设直线l与直线BC平行，易得直线BC的解析式为yx3，则直线l的解析式可设为yxt，当直线l过点M时，则41t，解得t5，此时直线l的解析式为yx5，与抛物线yx22x3联立，得x23x20，解得x2或x1(舍)，则此时点P1的坐标为(2，3)；225当直线l不过点M，如解图，设直线l与抛物线的交点为P2，过点P2作P2TBC，作P2SAB交BC于S，P2SAB，P2STABC45，又P2TBC，TP2S45，P2TS是等腰直角三角形，TSP2TMC ，P2S2，设点P2的横坐标为m，则点S的横坐标为m2，2
5、例2题解图点S在直线BC上，点S的纵坐标为m23m1，则点P2的坐标为(m，m1)，代入抛物线解析式得m22m3m1，解得m1 ，m2 ，此时点P的坐标为(，)或(，)，综上所述，满足条件的点P的坐标为(2，3)或(，)或(，)；3172117211723172317211723172117231723172（4）已知点Q是第四象限内抛物线上一点，过点Q作QRx轴于点R，交BC于点P，设点R的坐标为(r，0)，SBCQy，写出y关于r的函数关系式，并求当r为何值时，y最大；例2题图12【思维教练】要求SBCQ关于点R横坐标r的函数关系式，通过P、Q两点坐标可得PQ关于r的关系式，观察图形可得S
6、BCQ PQOB，即可得到y关于r的函数关系式，然后利用函数性质即可求得最值解：由已知可得，Q(r，r22r3)，P(r，r3)且0r3，PQr3(r22r3)r23r，ySBCQ QPxB (r23r)3 r2 r (r )2 ，当r 时，y有最大值，最大值为 ；12123292323232278278（5）已知点Q是第四象限内抛物线上一点，过点Q作QRx轴于点R，若QR将CMB的面积分为2 1两部分，求点Q的坐标例2题图【思维教练】由QR将CMB的面积分为2 1两部分，可分两种情况：当点Q在CM段抛物线上时，此时点Q与点M重合，设QR交BC于点N，此时SCMNSBMN1 2；当点Q在BM段
7、抛物线上时，设QR分别与BM、BC交于点T、S，此时SBTS S四边形CMTS1 2，即SBTS SBCM1 3，从而得解解：如解图，当点Q1与点M重合时，设R1Q1与BC交于点N，易得SCMN SBMN1 2，满足题意，此时点Q1的坐标为(1，4)；当点Q2与点M不重合时，则点Q2应当在B、M之间，设R2Q2分别与BM、BC交于点T、S，此时SBTS：SBCM1 3，B(3，0)，M(1，4)，直线BM的解析式为y2x6，例2题解图 设点R2的坐标为(r，0)，则Q2(r，r22r3)，且1r3，T(r，2r6)，S(r，r3)，STr3(2r6)3r，SBTS SBCM1 3，由(3)得SBCM BCCM3，SBTS1，即 (3r)(3r)1，解得r3 或r3 (舍)，则点Q2的坐标为(3 ，24 )，综上所述，满足条件的点Q的坐标为(1，4)或(3 ，24 )2212222212例2题解图
