1、3.2古典概型古典概型1.理解古典概型的定义及其特征.2.掌握古典概型的概率计算公式,并能应用公式求古典概型的概率.3.了解概率的一般加法公式.1.古典概型的定义(1)有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件.(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的.我们称这样的试验为古典概型.名师点拨一次试验中的“可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的.例如,甲、乙、丙三名同学站成一排,计算甲站在中间的概率时,若从三个同学的站位来看,共有“甲乙丙”“甲丙乙”“乙甲丙”“乙丙甲”“丙甲乙”“丙乙甲”六种结果.若仅从甲的站位看,则可能结果只有三种,即站“1号位”“2号
2、位”“3号位”.【做一做1】下列选项中是古典概型的是()A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件B.为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止答案:C知识拓展 答案答案:D 3.概率的一般加法公式我们把由事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A与B的 交(或积),记作D=AB(或D=AB).(选学)概率的一般加法公式是P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).【做一做3】掷红、蓝两枚骰子,观察出现的点数,则同时出现偶数点的概率为.至少有一枚骰子出现奇数点的概率
3、为.2.无放回抽取与有放回抽取的区别剖析:在进行古典概型试验时常有两种抽取的方式,一种是无放回地抽取,另一种是有放回地抽取.顾名思义,无放回地抽取是指前一次抽取的元素,不再放回原处,即前一次抽取时有n个元素,那么紧接着的下一次只有(n-1)个元素;有放回地抽取是指前一次抽取的元素,放回原处,搅拌均匀后,再一次抽取,即前一次抽取时有n个元素,那么紧接着的下一次抽取时还有n个元素.显然,有放回抽取是依次进行的,是有顺序的,即我们在计算基本事件的个数时,顺序不同的基本事件应该看作是不同的基本事件;而无放回抽取有时可不计顺序.3.抽签先后不影响游戏的公平性剖析:在生活中,我们有时要用抽签的方法来决定一
4、件事情.例如,在5张票中有1张奖票,5个人按照排定的顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票.下面我们来分析这5个人中的每个人得到奖票的概率相等与否.通过对上述简单问题的分析,我们看到在抽签时顺序虽然有先有后,但只要不让后抽的人知道先抽的人抽出的结果,那么各个抽签者中奖的概率是相等的,也就是,并不会因为抽签的顺序不同而影响到游戏的公平性.题型一题型二题型三题型四古典概型的定义【例1】判断下列命题是否正确.(1)掷两枚硬币,基本事件为“两个正面”“两个反面”“一正一反”;(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,任取一球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;(3)从-4,-3,-2,
5、-1,0,1,2中任取一个数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同;(4)5人抽签,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到中奖签的可能性肯定不同.题型一题型二题型三题型四反思判断一个随机试验是否为古典概型,主要看以下两个方面:(1)基本事件的个数是否有限;(2)每个基本事件发生的概率是否相等.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求解下列各题:(1)在区间0,2上任取一点,求此点坐标大于1的概率;(2)从四个数字1,2,3,4中任意取出两个数,求所取的两数之一是2的概率,这是否是古典概型?解:(1)不是古典概型.区间0,2包含无穷多个点,从 0,2上任取一点时,有无穷多种取法,不满足有限性,因此这不是
6、古典概型;(2)是古典概型.因为此试验的基本事件总数为6:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),且每个基本事件的出现是等可能的,因此这属于古典概型.题型一题型二题型三题型四古典概型的概率求解【例2】某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:m)及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率.题型一题型二题型三题型四分析:(1)注意身高的限制,先列出基本事件空间
7、,再求概率;(2)先列出基本事件空间,再求概率,且要注意所求事件的双重要求.解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.题型一题型二题型三题型四(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.
8、70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有:(C,D),(C,E),(D,E),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为 反思利用古典概型公式首先要判断试验是否为古典概型,其次求出公式 的值是关键;再者要将基本事件尽量全部列出,这样可以避免重复和遗漏,并且能有效地解决所求事件的概率题型一题型二题型三题型四【变式训练2】从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()解析:用列举法求出事件的个数,再利用古典概型求概率.从1,2,3,4中任取2个不同的数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,
9、4),(3,4),共6种情形,而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3),(2,4),共2种情形,所以取出的2个数之差的绝对值为2的答案:B题型一题型二题型三题型四概率的一般加法公式(选学)【例3】从1,2,3,10中任选一个数,求下列事件的概率.(1)它是偶数;(2)它能被3整除;(3)它是偶数且能被3整除;(4)它是偶数或能被3整除.分析:解答本题可先用古典概型求得(1)(2)(3)问,再用概率的一般加法公式解决第(4)问.题型一题型二题型三题型四解:基本事件空间=1,2,3,4,10,总基本事件个数n=10.(1)设“它是偶数”为事件A,则A=2,4,6,8,10,题型一题型二
10、题型三题型四 反思概率的一般加法公式同概率的加法公式在限制条件上的区别:(1)在公式P(AB)=P(A)+P(B)中,事件A,B是互斥事件.(2)在公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】两人独自破译1份密码,已知甲独自破译密码的成功率为0.4,乙独自破译密码的成功率为0.3,甲、乙同时破译密码成功的概率为0.12,求能够破译密码的概率.解:设事件A为“甲破译密码”,事件B为“乙破译密码”,则事件AB为“甲、乙同时破译密码”,事件AB为“甲、乙能破译密码”,则P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
11、=0.4+0.3-0.12=0.58.故能够破译密码的概率为0.58.题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:忽视基本事件的等可能性致错【例4】若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为.错因分析:解本题时易出现的主要错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻,错误地认为基本事件总数为11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),或者将点数之和为4的事件错误地计算为(1,3),(2,2)两种,从而导致错误.题型一题型二题型三题型四1下列事件属于古典概型的是()A.任意抛掷两枚质地均匀的正方体骰子,所得点数之和作为
12、基本事件B.篮球运动员投篮,观察他是否投中C.测量一杯水中水分子的个数D.在暗箱中,从4个除颜色外完全相同的小球中任取1个解析：判断一个事件是否为古典概型,主要看它是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.答案：D2集合A=2,3,B=1,2,3,从A,B中各取任意一个数,则这两个数之和等于4的概率是()答案：B 3若事件A与B不互斥,那么P(AB)与P(A)+P(B)的大小关系为P(AB)P(A)+P(B).解析：A与B不互斥,P(AB)0,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B).答案：4一栋楼有6个单元,小王和小李均住在此楼内,他们住在同一单元的概率为.解析：两人
13、不同的居住方式有“1,1”“1,2”“1,3”“1,4”“1,5”“1,6”“2,1”“2,2”“2,3”“2,4”“2,5”“2,6”“3,1”“3,2”“3,3”“3,4”“3,5”“3,6”“4,1”“4,2”“4,3”“4,4”“4,5”“4,6”“5,1”“5,2”“5,3”“5,4”“5,5”“5,6”“6,1”“6,2”“6,3”“6,4”“6,5”“6,6”共36种,而住同一单元的方式只有6种:“1,1”“2,2”“3,3”“4,4”“5,5”“6,6”,故所求概率为5一批产品共有5件,其中3件为正品,2件为次品.(1)如果从中取出一件,然后放回,再任取一件,求连续2次取出的都
14、是正品的概率;(2)如果从中一次取出2件,求2件都是正品的概率.解：(1)用1,2,3表示正品,4,5表示次品,有放回地抽取2次,所有基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种,连续2次取到正品包括的事件为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种,故连续2次取
