1、7.2.2 单位圆与正弦、余弦线单位圆与正弦、余弦线教学目标教学目标(一一)知识与技能目标知识与技能目标 1有向线段的概念有向线段的概念 2用单位圆中的线段表示三角函数值用单位圆中的线段表示三角函数值(二二)过程与方法目标过程与方法目标理解和掌握用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向理解和掌握用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向 来来表示三角函数值表示三角函数值(三三)情感态度与价值观目标情感态度与价值观目标根据三角函数的定义导出三角函数线，数形沟边，发展思维根据三角函数的定义导出三角函数线，数形沟边，发展思维教学重点、难点教学重点、难点1教学重点：怎样用三角函数线表示三角函数值？教学重
2、点：怎样用三角函数线表示三角函数值？2教学难点：三角函数线所表示的三角函数值的正负如何确定教学难点：三角函数线所表示的三角函数值的正负如何确定？（一）复习引入（一）复习引入1、任意角三角函数的定义、任意角三角函数的定义教学过程教学过程|OP|rxyr 220其中：设有一设有一个角个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为为x轴的正半轴轴的正半轴ox，建立直角坐标系，建立直角坐标系，在角在角的终边上任取的终边上任取一点一点P(x,y)，把点，把点P到原点的距离记作到原点的距离记作r,那么那么 叫做角叫做角的正弦，记作的正弦，记作sin，即，即sin=叫做角
3、叫做角的余弦，记作的余弦，记作cos，即，即cos=叫做角叫做角的正切，记作的正切，记作tan，即，即tan=yryrxryxxryxOxyP(x,y)ryxoP(x,y)正弦：正弦：余弦：余弦：正切：正切：sin yrcos xrtan(0)yxx 1 1）为任意角，为任意角，P(P(x,y)为为角角 终边上非原点的任意一点终边上非原点的任意一点（3 3）比值与点）比值与点P P在角在角 终边上的位置无关终边上的位置无关2 22 2为为 点点 P P到到 原原 点点 的的 距距 离离0 0rrxy 只要知道角的终边上任意一点的坐标就可只要知道角的终边上任意一点的坐标就可 以以求出这个角的三角
4、函数值求出这个角的三角函数值.2 22 2rxy 以上函数都看成是以以上函数都看成是以角角为自变量为自变量，以以比值比值为函数值的为函数值的函数函数，统称统称叫叫三角函数三角函数一、复习一、复习任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义 sin cos tan2、设设 的终边与单位圆交点为的终边与单位圆交点为P(x,y)，那么，那么OxyP(x,y)11sin =_cos =_tan =_xyxy)0(x故：故：P(x,y)=P(cos,sin)这就是说，角这就是说，角的余弦和正弦分别等于角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。点的横坐标和纵坐标。任意角的三角函数
5、的单位圆定义：任意角的三角函数的单位圆定义：(x,y)(x,y)xyotancossinyxxy巩固练习巩固练习 前面我们学习了任意角的三角函数。前面我们学习了任意角的三角函数。由三角函数的定义我们知道，对于角由三角函数的定义我们知道，对于角的各的各种三角函数我们都是用种三角函数我们都是用比值比值来表示的，或者说是来表示的，或者说是用用数数来表示的，今天我们再来学习来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正弦、余弦、正切函数正切函数的另一种的另一种表示方法表示方法几何表示法几何表示法 1.单位圆的概念单位圆的概念 一般地，我们把一般地，我们把半径为半径为1的圆的圆叫做叫做单位圆单位圆，设，设单位
6、圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的轴的交点分别为交点分别为A(1，0)，A(1，0).而与而与y轴的交点分别为轴的交点分别为B(0，1)，B(0，1).(一一)单位圆、有向线段的概念单位圆、有向线段的概念2.有向线段的概念与有向线段的大小：有向线段的概念与有向线段的大小：带有方向的线段叫有向线段带有方向的线段叫有向线段；有向线段的大小称；有向线段的大小称为它的数量为它的数量.有向线段的数量（有向线段的数量（数值）数值）由其长度由其长度大小大小和和方向方向来来决定。决定。例如在数轴上，例如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3OAOB=3=-3在坐标系中
7、在坐标系中,规定规定:有向线段的方向与坐标轴的方向相同有向线段的方向与坐标轴的方向相同.即同向时即同向时,数量为正数量为正;反向时反向时,数量为负数量为负.例例1.分别作出分别作出 、的正弦线、余弦的正弦线、余弦线、正切线。线、正切线。324332(四四)练习练习(x,y)(x,y)xyo(x,y)(x,y)xyoM MM M问题问题1:你能否用几何中的方法表示三角函数？你能否用几何中的方法表示三角函数？(x,y)(x,y)xyo(x,y)(x,y)xyoM MM McossinMPOM三三 角角 函函 数数 线线的终边的终边OyxA(1,0)PMT有向线段有向线段 称为角称为角的正弦线的正弦
8、线MP即即sin=MP有向线段有向线段 称为角称为角的余弦线的余弦线OM即即cos=OM有向线段有向线段 称为角称为角的正切线的正切线AT即即tan=AT的终边的终边yxA(1,0)OPMTsin=MP cos=OM tan=AT的终边的终边yxA(1,0)OPMTsin=MP cos=OM tan=AT的终边的终边yxA(1,0)POMTsin=MP cos=OM tan=AT的终边的终边yxA(1,0)PO的终边的终边yxA(1,0)O三三 角角 函函 数数 线线的终边的终边OyxA(1,0)PMTPMT的终边的终边yxA(1,0)OPMTMTsin=MP cos=OM tan=AT例例1
9、.分别作出分别作出 、的正弦线、余弦的正弦线、余弦线、正切线。线、正切线。324332(四四)练习练习例例2 利用单位圆中的三角函数线，求满利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条件的角足下列条件的角x的集合：的集合：在在02之间满足条件的角之间满足条件的角x的终边的终边必须在图中阴影部分内（包括边界），必须在图中阴影部分内（包括边界），即即/3x2/3，故满足条件的角，故满足条件的角x的集合为的集合为x2k kz在在02之间满足条件的角之间满足条件的角x的终边应在的终边应在图中阴影部图中阴影部 分（不包括边界），即分（不包括边界），即/2x5/6或或3/2x11/6,故满足条故满足条件的角件的
10、角x的集合为的集合为xk+/2xk+5/6,kz例例3.比较大小：比较大小：(1)sin1和和sin1.5;(2)cos1和和cos1.5;(3)tan2和和tan3.解：由三角函数线得解：由三角函数线得sin1cos1.5tan2tan3例例4.利用三角函数线证明利用三角函数线证明|sin|+|cos|1.证明：在证明：在OMP中，中，OP=1，OM=|cos|,MP=ON=|sin|，因为三角形两边之和大因为三角形两边之和大于第三边，所以于第三边，所以|sin|+|cos|1。练习练习2：用三角函数线证明：用三角函数线证明：1|cos|sin|)2(1cossin)1(22例例4.已知已知
11、(0，)，试证明，试证明sintan.2证明：证明：sin=|ON|=|MP|,=APtan=|AT|.又又OATOAPSSV扇形所以所以1122OAOA AT即即sintan.(五五)小结小结1.给定任意一个角给定任意一个角，都能在单位圆中作出它的，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。正弦线、余弦线、正切线。2.三角函数线的位置三角函数线的位置：正弦线正弦线为从原点到为从原点到的终边与单位圆的交点在的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的轴上的射影的有向线段有向线段；余弦线余弦线为从原点到为从原点到的终边与单位圆的交点在的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的轴上的射影的有向线段有向线段；
12、3.特殊情况：特殊情况：当角的终边在当角的终边在x轴上时，点轴上时，点P与点与点M重合，点重合，点T与点与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线数量为零，而余弦线OM=1或或1。当角的终边在当角的终边在y轴上时，正弦线轴上时，正弦线MP=1或或1余余弦线变成了一点，它表示的数量为零，弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不正切线不存在存在。正切线正切线在过单位圆与在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上轴正方向的交点的切线上，为有向线段，为有向线段AT 作业作业利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条件的角x的集合：解答解答 已知已知(0，)，试证明，试证明sintan.2证明：证明：sin=|ON|=|MP|,=APtan=|AT|.又又OATOAPSS扇形所以所以1122OAOA AT即即sintan.
