1、 万变不离其宗 -借轴对称求最短距离BlABC第1页，共29页。最短距离问题最短距离问题考查知识点考查知识点：“两点之间线段最短两点之间线段最短”,“点关于轴对点关于轴对称称”。生活中的原型：生活中的原型：“建奶站问题建奶站问题”，“牧马人饮马问题牧马人饮马问题”等。等。出题背景变式出题背景变式：有角、三角形、菱形、正方形、圆、坐标轴、双有角、三角形、菱形、正方形、圆、坐标轴、双曲线、抛物线等。曲线、抛物线等。解题总思路：（不变的解题总思路：（不变的“宗宗”）：找点关于轴的对称点，实现找点关于轴的对称点，实现“折折”转转“直直”.第2页，共29页。在在北师北师版版七七年级数学（年级数学（下下）
2、的第）的第123页上：如图，要在页上：如图，要在街道旁街道旁修建一修建一个个奶奶站，分别向站，分别向居民区居民区A、B提供牛奶提供牛奶，奶奶站站应建应建在什么地方，在什么地方，才能才能使使A、B到它的距离之和到它的距离之和 最短最短？数学模型数学模型1第3页，共29页。数学问题数学问题1 已知：直线已知：直线L和和L的同侧两点的同侧两点A、B求作：点求作：点C，使，使C在直线在直线L上，并且上，并且ACCB最小。最小。第4页，共29页。BC+AC BC +AC ，即，即AC+BC最小最小LBACAC 直线直线L是点是点A、A的对称轴，的对称轴，点点C、C在对称轴上，在对称轴上，AC=AC，AC
3、=AC 在在BA C中，中，BA BC+A C，BC+AC =AC+BC =ABAC +BC =AC +BC 做法做法：作点：作点A关于直线关于直线L的对称点的对称点A，连接，连接 A B 与直线与直线L相交于点相交于点C，连接连接AC，则，则AC+BC最短。则点最短。则点C就是奶站就是奶站 的位置的位置依据？：依据？：以以此题为此题为“宗宗”的题目可以说层出不穷，如的题目可以说层出不穷，如：第5页，共29页。1.在正方形中探求线段和的最小值在正方形中探求线段和的最小值例例1：如图，正方形：如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，M在在DC上，且上，且DM2，N是是AC上的一动点，上的一动点，
4、DNMN的最小值为的最小值为 N连接连接BM交交AC于于N，连接，连接DN，可得可得BN=DN，因此，因此DN+MN=BN+MN=BM.第6页，共29页。变式变式1：如图所示，正方形如图所示，正方形ABCD的面积为的面积为36，ABE是等边三角形，点是等边三角形，点E在正方形在正方形ABCD内，在对内，在对角线角线AC上有一点上有一点P，使，使PDPE的和最小，则这个的和最小，则这个最小值为最小值为()面积为36，所以AB=BE=6第7页，共29页。变式变式2：如图，在如图，在ABC中，中，ACBC2，ACB90，D是是BC边的中点，边的中点，E是是AB边边上一动点，则上一动点，则ECED的最
5、小值为的最小值为_第8页，共29页。2.在圆背景下探求线段和的最小值在圆背景下探求线段和的最小值例例2：如图，：如图，AB是是 O的直径，的直径，AB=2，OC是是 O的半径，的半径，OCAB，点，点D在在AC上上,弧弧AD=2弧弧CD，点，点P是半径是半径OC上上一个动点，那么一个动点，那么AP+PD的最小值是的最小值是 .PADCOB第9页，共29页。变式：变式：已知已知 O的直径的直径CD为为4，AOD的度数为的度数为60，点，点B是弧是弧AD的中点，在直径的中点，在直径CD上找一点上找一点P，使，使BP+AP的值最小，并求的值最小，并求BP+AP的最小值的最小值2.在圆背景下探求线段和
6、的最小值在圆背景下探求线段和的最小值第10页，共29页。3.在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 例例3：在平面直角坐标系中，有在平面直角坐标系中，有A（3，2），），B（4，2）两点，现另取一点）两点，现另取一点C（1，n），），当当n=_ 时时,AC+BC的值最小的值最小第11页，共29页。生活中的原型：“建奶站问题”，“牧马人饮马问题”等。解题总思路：（不变的“宗”）：例3：在平面直角坐标系中，有A（3，2），例1：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一动点，DNMN的最小值为在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小
7、值在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边 OB的中点.G、H，使得CG+GH+DH最短生活中的原型：“建奶站问题”，“牧马人饮马问题”等。（1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；在圆背景下探求线段和的最小值解题总思路：（不变的“宗”）：yx2 D.G、H，使得CG+GH+DH最短3.在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 变式变式1：一次函数一次函数y=-2x+4的图象与的图象与x、y轴分别交于点轴分别交于点A（2，0），），B（0，4),O为坐标
8、原点，设为坐标原点，设OA、AB的中点分别的中点分别为为C、D，P为为OB上一动点，求上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最的最小值，并求取得最小值时小值时P点坐标点坐标第12页，共29页。令令X=0得，得，Y=1，所以，所以P点（点（0.1）第13页，共29页。变式变式2：已知抛物线与已知抛物线与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与Y轴交于点轴交于点C。且对称。且对称轴为直线轴为直线X=-1，其中，其中A点（点（-3,0），），C点（点（0，-2）（1）求这条抛物线的函数表达式）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点）已知在对称轴上存在一点P，使得，使得PBC 的周长最小请求
9、出点的周长最小请求出点P的坐标的坐标ACxyBO第14页，共29页。（2）已知在对称轴上存在一点）已知在对称轴上存在一点P，使得，使得PBC 的周长最小请求出点的周长最小请求出点P的坐标的坐标第15页，共29页。4、在角的背景下探求线段和的最小值、在角的背景下探求线段和的最小值 例4：已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的的两边两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最，组成三角形，使三角形周长最小小.第16页，共29页。变式变式：如图，点如图，点P在在AOB内部，且内部，且AOB=45,OP=2cm,在射线在射线OA、OB上
10、找点上找点C、D，使，使PC+CD+DP之和最小。之和最小。思考思考:你能求得出你能求得出PC+CD+DP之和最小为多少吗？之和最小为多少吗？第17页，共29页。第18页，共29页。数学模型数学模型2如图：如图：C处为马棚，处为马棚，D处为帐篷，牧马人某一天要处为帐篷，牧马人某一天要从马棚牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边从马棚牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定所走的最短路饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定所走的最短路线。线。第19页，共29页。在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值数学问题1面积为36，所以AB=BE=6例4：已知：如图A是锐角MON内
11、部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.AC=AC，AC=AC可得BN=DN，因此DN+MN=BN+MN=BM.生活中的原型：“建奶站问题”，“牧马人饮马问题”等。出题背景变式：有角、三角形、菱形、正方形、圆、坐标轴、双曲线、抛物线等。在正方形中探求线段和的最小值G、H，使得CG+GH+DH最短在圆背景下探求线段和的最小值（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC 的周长最小请求出点P的坐标G、H，使得CG+GH+DH最短变式2：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与Y轴交于点C。AC +BC =AC +BC 变式1:如图点A（a，1）、B（1，b）都在
12、双曲线 (x0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ在直线的解析式是（）.数学问题2如图：如图：C、D在在AOB的内部，在的内部，在OA、OB上分别找点上分别找点G、H，使得，使得CG+GH+DH最短最短作法作法：1.1.作点作点C C关于直线关于直线 OA的对称点点的对称点点F,F,2.2.作点作点D D关于直线关于直线OB 的对称点点的对称点点E,E,3 3.连接连接EFEF分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH第20页，共29页。例题例题：在直线m、n上分别求点M、N,使得四边形PQMN的周长最小第21
13、页，共29页。变式1:如图点A（a，1）、B（1，b）都在双曲线 (x0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ在直线的解析式是（）.A.yx B.yx1 C.yx2 D.yx33yx第22页，共29页。第23页，共29页。变式变式2：(贵阳贵阳)25.如图，直线如图，直线y=5x+5交交x轴于点轴于点A，交，交y轴于点轴于点C，过，过A，C两点的二次函数两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交的图象交x轴于另一点轴于另一点B.（1）求二次函数的表达式；）求二次函数的表达式；（2）若点）若点H为二次函数为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点图象的顶
14、点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在是该二次函数图象上一点，在x轴、轴、y轴上分别找点轴上分别找点F，E，使四边，使四边形形HEFM的周长最小，求出点的周长最小，求出点F，E的坐标的坐标.第24页，共29页。第25页，共29页。我的收获：我的收获：第26页，共29页。课堂小结课堂小结1、构建“对称模型”实现折转直PNPP2.关键：关键：作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用从而利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”来解决来解决第27页，共29页。测试题：测试题：在平面直角坐标系中，矩形在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点的顶点O在坐标原点，顶点在坐标原点，顶点A、B分分别在别在x轴、轴、y轴的正半轴上，轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边为边 OB的中点的中点.（1）若）若E为边为边OA上的一个动点，当上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点的周长最小时，求点E的坐标；的坐标；（2）若）若E、F为边为边OA上两个动点，且上两个动点，且EF=2，当四边形，当四边形CDEF的周长最小的周长最小 时，求点时，求点E、F的坐标。的坐标。第28页，共29页。第29页，共29页。
