1、 一、复数的有关概念一、复数的有关概念 1虚数单位虚数单位i(1)它的平方等于它的平方等于1，即，即i21；(2)实数可以与它进行四则运算，进行四实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，则运算时，原有加、乘运算律仍然成立原有加、乘运算律仍然成立 2复数的定义：复数的定义：形如形如abi(a，bR)的数的数叫复数，叫复数，a叫复数的实部，叫复数的实部，b叫复数的虚部叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字全体复数所成的集合叫做复数集，用字母母C表示表示第1页/共24页 3复数的代数形式：复数的代数形式：复复数通常用字母数通常用字母z表示表示，即，即zabi(a，bR)，把复数表示成，把复
2、数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式的形式，叫做复数的代数形式 4复数的分类：复数的分类：对对于复数于复数abi(a，bR)，当且仅当，当且仅当b0时，复数时，复数abi(a、bR)是是实数实数a；当；当b0时，复数时，复数zabi叫做虚数；叫做虚数；当当a0且且b0时，时，zbi叫做纯虚数叫做纯虚数 5两个复数相等的定义：两个复数相等的定义：如如果两个复数的果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等复数相等第2页/共24页 6复平面、实轴、虚轴：复平面、实轴、虚轴：如如图，复数图，复数zabi(a、bR)与有序实数对与有序实数对(a，
3、b)是一一对是一一对应关系这是因为对于任何一个复数应关系这是因为对于任何一个复数zabi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对由一个有序实数对(a，b)唯一确定，复数唯一确定，复数z对对应点的横坐标是应点的横坐标是a，纵坐标是，纵坐标是b，复数，复数zabi(a、bR)可用点可用点Z(a，b)表示，这个建立表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，轴叫做实轴，y轴叫做虚轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数除了原点外，轴实轴上的点都表示实数除了原点外，虚轴上的点都表
4、示纯虚数虚轴上的点都表示纯虚数第3页/共24页 二、复数的运算二、复数的运算 1复数的四则运算法则复数的四则运算法则若复数若复数z1abi，z2cdi，其中，其中a，b，c，dR，则，则(1)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.(4)(abi)(cdi).第4页/共24页 2复数的加法乘法运算律复数的加法乘法运算律(1)z1z2z2z1.(2)(z1z2)z3z1(z2z3)(3)z1z2z2z1.(4)z1(z2z3)(z1z2)z3.(5)z1(z2z3)z1z2z1z3
5、.3虚数单位虚数单位i的乘方的乘方i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1.(其中其中nZ)第5页/共24页 1设设a是实数，且是实数，且 是实数，则是实数，则a等于等于()A.B1 C.D2答案：答案：B 2在在复平面内，复数复平面内，复数 对应的点位于对应的点位于()A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限解析：解析：1i，则则复数复数 对应对应的点的点(1，1)在第四象限在第四象限答案：答案：D第6页/共24页 3(2010开封高三月考开封高三月考)复复数数 ()A1 B1 Ci Di解析解析：1.答案答案：A 4复复数数(1i)3的虚部为的虚部
6、为()A3 B3 C2 D2解析：解析：(1i)32i(1i)22i.则则复数复数(1i)3的虚部为的虚部为2.答案：答案：D第7页/共24页 5复复数数 的值是的值是_解析：解析：答案：答案：第8页/共24页 1.根据复数的代数形式，通过其实部和虚根据复数的代数形式，通过其实部和虚部可判断一个复数是实数，还是虚数部可判断一个复数是实数，还是虚数 2复数复数zabi，aR，bR与复平面上与复平面上的点的点Z(a，b)是一一对应的，通过复数是一一对应的，通过复数z的实的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置置第9页/共24页【例例1】已已知复数知复数z与
7、与(z2)28i均是纯均是纯虚数，则虚数，则z_.解析：解析：设设zai，aR且且a0，则，则(z2)28i4a2(4a8)i.(z2)28i是纯虚数，是纯虚数，4a20且且4a80.解得解得a2.因此因此z2i.答案：答案：2i第10页/共24页 变式变式1.复复数数z (mR，i为虚数单位为虚数单位)在复平面上对应的点在复平面上对应的点不可能位于不可能位于()A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限解析解析：解法一解法一：z显显然然 0与与 0不可能不可能同时成立，同时成立，则则z 对应的点不可能位于第一对应的点不可能位于第一象限象限第11页/共24页
8、 解法二解法二：z 设设x ，y ，则，则2xy20 又直线又直线2xy20不过第一象限不过第一象限，则则z 对应的点不可能位于对应的点不可能位于第一象限第一象限 答案：答案：A第12页/共24页 复数的加减乘法运算类似于多项式的加复数的加减乘法运算类似于多项式的加减乘法运算，而复数的除法是通过分母减乘法运算，而复数的除法是通过分母的实数化转化为复数的乘法运算的实数化转化为复数的乘法运算第13页/共24页【例例2】已已知知z1i，1i，求实数求实数a、b的值的值解答：解答：由由 1i，把，把z1i代入得代入得 1i，1i.(ab)(a2)i(1i)i1i，得得第14页/共24页变式变式2.求求
9、值：值：(1)(2)解答：解答：(1)原式原式 (2)设设 ，则，则31，i.原式原式(i)88(1i)862(2i)4162 第15页/共24页 1.利用代数形式进行复数的乘方运算一利用代数形式进行复数的乘方运算一般方法就是利用二项式定理展开般方法就是利用二项式定理展开 2在进行复数乘方运算时要注意以下特在进行复数乘方运算时要注意以下特殊结论的应用：殊结论的应用：(1)虚数单位虚数单位i的乘方；的乘方；(2)(1i)22i；(3)1的三次虚根的三次虚根 的乘方的乘方第16页/共24页【例例3】(1)复复数数()10的值是的值是()A1 B1 C32 D32解析：解析：本小题主要考查复数的运算
10、，以本小题主要考查复数的运算，以及虚数单位的性质及虚数单位的性质 答案：答案：A第17页/共24页(2)复复数数 的值是的值是()A16 B16 C D.解析：解析：本小题主要考查复数的运算本小题主要考查复数的运算.答案：答案：A第18页/共24页【方法规律方法规律】1复数可以用代数形式，复平面中的点表示，还可以用三角形式和向量表复数可以用代数形式，复平面中的点表示，还可以用三角形式和向量表示等，要注意数形结合思想方法的运用示等，要注意数形结合思想方法的运用2可以用复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题来解决可以用复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题来解决3一般两个复数不存在大小关系一般
11、两个复数不存在大小关系(除非两个复数都是实数除非两个复数都是实数)这也是复数与实这也是复数与实数的区别之一在数系扩充后有关实数的一些结论在复数范围内未必成数的区别之一在数系扩充后有关实数的一些结论在复数范围内未必成立如实数中立如实数中a2b20的充要条件是的充要条件是ab0，在复数集中不一定成立，在复数集中不一定成立4复数的加、减、乘法运算类似多项式的运算，虚数单位的乘方结果呈周复数的加、减、乘法运算类似多项式的运算，虚数单位的乘方结果呈周期性的变化，复数的除法通过分母实数化转化为乘法运算期性的变化，复数的除法通过分母实数化转化为乘法运算第19页/共24页 5对于简单的复数乘方运算，可以利用二
12、对于简单的复数乘方运算，可以利用二项式定理进行运算，特殊的可利项式定理进行运算，特殊的可利用：用：(1)(1i)22i；(2)若若 ，则则3n1，3n1，3n2 ，nN.6在复数集中分解因式，对于在复数集中分解因式，对于x的多项式，的多项式，都可分解为都可分解为x的一次因式，分解的一次因式，分解因式与对应方程解的关系与实数集中分因式与对应方程解的关系与实数集中分解因式与对应方程解的关系是一样的解因式与对应方程解的关系是一样的 7可利用复数的代数形式，根据复数相等可利用复数的代数形式，根据复数相等的定义进行复数的开平方运算的定义进行复数的开平方运算.第20页/共24页(本题满分本题满分4分分)已
13、知已知 1ni，其中其中m，n是实数是实数，i是虚数单位是虚数单位，则则mni等于等于()A12i B12i C2i D2i第21页/共24页【答题模板答题模板】解析：解析：由由 1ni，得，得 1ni，即即 解得解得 mni2i.答案：答案：C 第22页/共24页【分析点评分析点评】点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册 复数的有关概念是高考的考点之一，主复数的有关概念是高考的考点之一，主要考查复数的分类、复数相等和复数的要考查复数的分类、复数相等和复数的几何表示等问题，主要以选择题的形式几何表示等问题，主要以选择题的形式考查，难度很小，但应注意复数的相关考查，难度很小，但应注意复数的相关结论与实数相关结论的区别结论与实数相关结论的区别.第23页/共24页谢谢您的观看！谢谢您的观看！第24页/共24页
