1、有限元分析及应用有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Application第一章第一章 绪论绪论1-1 工程和科学中典型问题工程和科学中典型问题 在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题，第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统离散系统。如左图所示平。如左图所示平面桁架结构，是由面桁架结构，是由6 6个承受轴向力的个承受轴向力
2、的“杆单元杆单元”组成。尽管离散系统是组成。尽管离散系统是可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。1-1工程和科学中典型问题工程和科学中典型问题 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统，或场问题连续
3、系统，或场问题。尽管已经建立了连续系统尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如图法给出精确的解答，例如图示示V6引擎在工作中的温度分引擎在工作中的温度分布。为解决这个困难，工程布。为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多师们和数学家们提出了许多近似方法。近似方法。1-2 场问题的一般描述场问题的一般描述-微分方程微分方程+边界条件边界条件1)应力场应力场-弹性力学弹性力学2)温度场温度场-热传导热
4、传导3)电磁场电磁场-电磁学电磁学4)流速场流速场-流体力学流体力学A、B-微分算子（如对坐标或时间的微分）u-未知场函数，可为标量场（如温度），也可为矢量场（如位移、应变、应力等）()()()0 A uA uA u12=在内.12()()()0 .B uB uB u在 上 y x 基本方程：基本方程：边界条件：边界条件：()()()0 AkkQxxyy 内q0 ()0 Bkqn 上上实例：二维热传导（稳态）问题原理：从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源原理：从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源产生的热量产生的热量Q平衡平衡数值计算方法分类数值计算方法分类特 点优缺点差分法差分法离散求
5、解域；差分代替微分；离散求解域；差分代替微分；解代数方程组解代数方程组要求规则边界，几何要求规则边界，几何形状复杂时精度低形状复杂时精度低等效积分法等效积分法（加权余量法加权余量法或泛函变分法）或泛函变分法）整体场函数用近似函数代替；整体场函数用近似函数代替；微分方程及定解条件的等效微分方程及定解条件的等效积分转化为某个泛函的变分，积分转化为某个泛函的变分，-求极值问题求极值问题适合简单问题，复杂适合简单问题，复杂问题很难解决问题很难解决有限元法有限元法离散求解域；分片连续函数离散求解域；分片连续函数近似整体未知场函数；解线近似整体未知场函数；解线形方程组形方程组节点可任意配置，边节点可任意配
6、置，边界适应性好；适应任界适应性好；适应任意支撑条件和载荷；意支撑条件和载荷；计算精度与网格疏密计算精度与网格疏密和单元形态有关，精和单元形态有关，精度可控度可控1-3 有限元法基本思想有限元法基本思想 先将先将求解域离散求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；相互连接；-即原始连续求解域用有限个单元的集合即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替近似代替 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示理
7、量来表示-通常称为通常称为插值函数或位移函数插值函数或位移函数 基于问题的基本方程，建立基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程单元节点的平衡方程（即（即单元刚度方程）单元刚度方程）借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体整体的刚度方程的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。方程组，引入边界条件求解该方程组即可。1-3 有限元法基本思想有限元法基本思想 节节点点 单单元元 x y()jjj x y ju jv ()mmm xy mu mv()iii x y iu i
8、v 实例实例1(离散系统离散系统)结构离散结构离散1 2 3 X2 Y2 节点位移向量表示：节点力向量表示：节点1沿x方向的位移 、其余节点位移全为0时轴向压力为：111111122,Tu v u v111111122,TxyxyFFFFF1 2 12xF 12yF 11xF 11yF 22yF 23yF 2 3 12u12v 11u11v22xF 23xF 111u111cos()EAEAlll 实例实例1（单元分析）（单元分析）节点节点1作用于单元作用于单元1上的力，在上的力，在x和和y方向的分量分别为：方向的分量分别为：21111coslEAksincos1121lEAk 同理，节点同理
9、，节点2作用于单元作用于单元1上的力，其大小与之相等，上的力，其大小与之相等，方向相反，方向相反，x和和y方向的分量分别记为：方向的分量分别记为：21131coslEAksincos1141lEAk注注：表示第表示第e个单元的第个单元的第j个自由度产生单位位移，而其个自由度产生单位位移，而其它自由度上的位移为零时，第它自由度上的位移为零时，第i个自由度上所受的力。常个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。称其为单元的刚度系数。eijk实例实例1（单元分析）（单元分析）同理可求同理可求 分别作单位位移时相应的刚度系分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑到节点的实际受力为数，考虑到节点的实际受力
10、为 和实际和实际位移为位移为 ，则据各个节点节点力平衡得：，则据各个节点节点力平衡得：单元单元1节点力平衡方程节点力平衡方程111212uvv、单元单元2节点力平衡方程节点力平衡方程 111111111111 112 1132142111111111121 122 1232242111111111231 132 1332342111111111241 142 1432442111 xyxyFKFk uk vk uk vFk uk vk uk vFk uk vk uk vFk uk vk uk v记为矩阵形式:11111122,xyxyFFFF11111122,u v u v222 FK实例实例
11、1（整体分析）（整体分析）整体分析：作用于每个节点上的节点力平衡，即1111 eexiyieeFXFY 结合前式推导得：11111111121314111111212223241112122222313233113112131411121222241424321442223242222331323334222234142434400000000uXkkkkvYkkkkuXkkkkkkkkvYkkkkkkkkukkkkvkkkk 233XY实例实例1（引入约束求解）（引入约束求解）整体矩阵记为：将 代入可得整体方程 KR12330u vuv 121222331134121212224321442
12、2uXkkkkvYkkkk实例实例2（连续问题）（连续问题）通过材料力学求解和有限元求解进行比较通过材料力学求解和有限元求解进行比较例：等截面直杆在自重作用下的拉伸例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图图(a)(a)单位杆长重量为单位杆长重量为q q，杆长为，杆长为L L，截面面积为，截面面积为A A，弹性模数为，弹性模数为E E LxL-xL3L3L30udxXNNNx(a)(b)(c)图 2-1EAqa252EAqa282EAqa2923La 实例实例2材料力学方法求解直杆拉伸材料力学方法求解直杆拉伸：图图(b)-位移法位移法 考虑微段考虑微段dx，内力内力 N=q(L-x)dx的伸长为的伸
13、长为 x截面上的位移：截面上的位移：根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 应变应变 应力应力N(x)dxq(Lx)dx(dx)EAEA2 x x 0 0N(x)dxq(Lx)dxqxu(Lx)EAEAEA2xduq(LX)dXEAxxqE(LX)EA实例实例2（结构离散）（结构离散）有限单元法求解直杆拉伸有限单元法求解直杆拉伸：1L2LiL1iL 1图 2-2nn-1i+1ii-12iL1iL 图 2-3i+1ii-12)LL(q1ii 1 1、离散化、离散化 2 2、外载荷集中到结点上，即把投、外载荷集中到结点上，即把投影部分的重量作用在结点影部分
14、的重量作用在结点i i上上 实例实例2（单元分析）（单元分析）有限单元法求解直杆拉伸：有限单元法求解直杆拉伸：3 3、假设线单元上的位移为线性函数、假设线单元上的位移为线性函数 iL图 2-4ii-1Xux1ix 1i u)x(ui u111 ()()iiiiiuuu u xuXXLi1xiududXLiui1iuE()LiiiuE1 ()iiiiiu uNAAEL111 ()iiiiuuNAEL实例实例2（单元分析）（单元分析）有限单元法求解直杆拉伸：有限单元法求解直杆拉伸：4 4、以、以i i结点为对象，列力的平衡方程结点为对象，列力的平衡方程令令 将位移和内力的关系代入得将位移和内力的关
15、系代入得 i N1i N 图 2-5i2)LL(q1ii 0 xF1 i i 1 ()2iiqLLNN1iiiLL2 i-1 i i 11(1)(1)2iiiiquuuLEA用结点位移表示的平衡方程，其中用结点位移表示的平衡方程，其中i=1i=1，2 2，n n有有n n个方程个方程未知数也有未知数也有n n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力 实例实例2（整体分析与求解）（整体分析与求解）有限单元法求解直杆拉伸：有限单元法求解直杆拉伸：假设线单元数为假设线单元数为3 3个的情况，个的情况，平衡方程有平衡方程有3 3个：个：i=1i=1时，时，i=2
16、i=2时时,i=3i=3时，时，联立解得联立解得 aL1 aL3 aL2 0 u1 u2 u3 u0123图 2-62 1 22 qu uaE A2 1 2 3 2 quu uaE A 2 2 3 2 qu uaE A 2 15qa2 EAu 2 28 qa2 EAu EAqa29u23 与材料力学的精确解答在结点处完全相同与材料力学的精确解答在结点处完全相同1-4 有限元法的基本步骤有限元法的基本步骤 所研究问题的数所研究问题的数学建模学建模 物体离散物体离散 单元分析单元分析 整体分析与求解整体分析与求解 结果分析及后处结果分析及后处理理 P P 力学模型力学模型(平面应力问题平面应力问题
17、)有限元模型有限元模型1-5 有限单元法的形成与发展有限单元法的形成与发展 在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相
18、似性。系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。1956年年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法矩阵位移法推广到推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。度矩阵。1954-1955年，年，J.H.Argyris
19、在航空工程杂志上发表了一组能量原理在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。和结构分析论文。1960年，年，Clough在他的名为在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了的论文中首次提出了有限元（有限元（finite element）这一术语。）这一术语。1-5 有限单元法的形成与发展有限单元法的形成与发展 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。原理和加权余量法。在在1963年前后，经过年前后，经过J.F.Bess
20、eling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元有限元法就是变分原理中法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。理导出的有限元计算公式。1965年年O.C.Zienkiewicz和和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。解。1969年年B.A
21、.Szabo和和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。1-5 有限单元法的形成与发展有限单元法的形成与发展 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。
22、遗憾的是，从元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。作受到阻碍。有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。为工程设计和优化提供了有力的工具。有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述的场问题的求解。的场问题的求解。1-6 有限元法的几个热
23、点问题有限元法的几个热点问题 新型单元的研究 1、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究 2、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究 面向物理问题的有限元建模 如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算法等 有限元法计算速度的研究 如并行计算等 结构优化 1-7 有限元法的基本概念有限元法的基本概念结构离散（有限元建模）结构离散（有限元建模）内容：内容：1）网格划分）网格划分-即把结构按一定规则分割成有限单即把结构按一定规则分割成有限单元元 2）边界处理）边界处理-即把作用于结构边界上约束和载荷处即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷理为节点约束和节点载荷要求：要求
24、：1）离散结构必须与原始结构保形）离散结构必须与原始结构保形-单元的几何特单元的几何特性性 2）一个单元内的物理特性必须相同）一个单元内的物理特性必须相同-单元的物理单元的物理特性特性0iijiiiEEEpef 单元与节点单元与节点单元单元：即原始结构离散后，：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特满足一定几何特性和物理特性的最小结构域性的最小结构域节点节点：单元与单元间的连接：单元与单元间的连接点。点。节点力节点力：单元与单元间通过：单元与单元间通过节点的相互作用力节点的相互作用力节点载荷节点载荷：作用于节点上的：作用于节点上的外载。外载。注意：注意：1)节点是有限元法的重要概念，有节点
25、是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；离散结构与实际结构的重大差别；2）节点力与节点载荷的差别）节点力与节点载荷的差别1 2 3 X2 Y2 1 2 12xF 12yF 11xF 11yF 22yF 23yF 2 3 22xF 23xF 节点载荷节点载荷节点力节点力非法结构离散 不同材料节点不合法典型单元类型单元类型单元类型单元图形单元图形节点数节点数节点自由度节点自由度杆单元杆单元22梁单元梁单元23平面单元平面单元32平面四边形平面四边形42轴对称
26、问题轴对称问题32板壳单元板壳单元43四面体单元四面体单元43插值函数（或位移函数）插值函数（或位移函数）用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为构成，故称为插值函数插值函数，如单元内物理量为位移，则，如单元内物理量为位移，则该函数称为该函数称为位移函数。位移函数。选择位移函数的一般原则：选择位移函数的一般原则：1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；续的）；2）
27、所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。注：注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式多项式形式，在形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解1-8 位移函数的构造方法位移函数的构造方法 广义坐标法广义坐标法 一维单元位移函数：一维单元位移函数：为待定系数，也称为广义为待定系数，也称为广义坐标坐标20112012().()1.nnnTnu xxxxu xxxx简记为i1-8 位移函数的构造方法位移函数的构造方法 插值函数法插值函数法 即
28、将位移函数表示为各个节点位移与即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和。已知插值基函数积的和。11221()()().()niiu xN x uNx uN x u如一维单元如一维单元 二维单元二维单元注：注：Ni可为可为Lagrange、Hamiton多项式或形函数，多项式或形函数，在在+1-1间变化间变化11(,)(,)niiniiu x yN uv x yN v1-9 有限元法的收敛准则有限元法的收敛准则影响有限元解的误差：影响有限元解的误差：1）离散误差）离散误差 2）位移函数误差）位移函数误差收敛准则：收敛准则：1）位移函数必须包括常量应变（即线形项）；）位移函数必须包括常
29、量应变（即线形项）；2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称为为协调元协调元；满足前三个条件的单元称为；满足前三个条件的单元称为非协调元非协调元；满足前两个；满足前两个条件的单元称为条件的单元称为完备元完备元。
