1、20192020年上学期高二期末考试数学试题（理科） 考生注意：l.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A版必修2第三、四章，必修3，选修21.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算直接得到结果.【详解】故选：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.2.已知直线经过两点，则直线的倾斜角是( )A. B. C. D. 【答案
2、】A【解析】【分析】求出直线的斜率，根据斜率得倾斜角【详解】由题意直线的斜率为，倾斜角为故选：A【点睛】本题考查直线的倾斜角，可先求出斜率根据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角3.抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义，将抛物线化成标准式，即可求出其准线方程.【详解】解：，则该抛物线的准线方程是，即.故选：【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，属于基础题.4.某班有60名学生，其中男生有40人，现将男、女学生用分层抽样法抽取12人观看校演讲总决赛，则该班中被抽取观看校演讲总决赛的女生人数为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C
3、【解析】【分析】根据男女生人数关系得男女生人数之比为，即可得出抽取的12人中男生女生各多少人.【详解】某班有60名学生，其中男生有40人，则女生20人，男女生人数之比为，抽取12人，女生人数为人.故选：C【点睛】此题考查抽样方法，根据分层抽样求样本中各类数据.5.给出下列四个说法，其中正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”B. “”是“双曲线的离心率大于”的充要条件C. 命题“，”的否定是“，”D. 命题“在中，若，则是锐角三角形”的逆否命题是假命题【答案】D【解析】【分析】A选项：否命题应该对条件结论同时否定，说法不正确；B选项：双曲线的离心率大于，解得，所以说法不正确；C选
4、项：否定应该是：，所以说法不正确；D选项：“在中，若，则是锐角三角形”是假命题，所以其逆否命题也为假命题，所以说法正确.【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以A选项不正确；双曲线的离心率大于，即，解得，则“”是“双曲线的离心率大于”的充分不必要条件，所以B选项不正确；命题“，”的否定是“，”， 所以C选项不正确；命题“在中，若，则是锐角三角形”， 在中，若，可能，此时三角形不是锐角三角形，所以这是一个假命题，所以其逆否命题也是假命题，所以该选项说法正确.故选：D【点睛】此题考查四个命题关系，充分条件与必要条件，含有一个量词的命题的否定，关键在于弄清逻辑关系，正确求解.6.从装有完全相
5、同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（ ）A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“
6、至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.7.学校医务室对本校高一名新生的实力情况进行跟踪调查，随机抽取了名学生的体检表，得到的频率分布直方图如下，若直方图的后四组的频率成等差数列，则估计高一新生中视力在以下的人数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由频数相加为100，后四组成等差数列，计算每个组别的人数，再计算视力在以下的频率为，据此得到答案.【详解】
7、由图知：第一组人，第二组人，第三组人，后四组成等差数列，和为90故频数依次为，视力在以下的频率为，故高一新生中视力在以下的人数为人.故答案选C【点睛】本题考查了频率直方图，等差数列，概率的计算，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.8.已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛
8、物不相切，可得命题是假命题，当时，方程表示椭圆命题是真命题，则是真命题.故选:B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是该双曲线上的一点，且，则（ ）A. 2或18B. 2C. 18D. 4【答案】C【解析】【分析】首先根据可判断出点P在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果.【详解】在双曲线中，因为，所以点P在该双曲线左支上，则，故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P的位置是解题的关键，属于中档题.10.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为（ ）A 16B. 10C. 9D. 8【答案】C【解析】【分析】由直线截圆所
9、得的弦长为圆的直径可得直线过圆心即，利用“乘1”法，根据基本不等式即可得结果.【详解】由题意可知直线l经过圆C的圆心，则，故（当且仅当时取等号），即的最小值为9，故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式在求最值中的应用，得到是解题的关键，属于中档题.11.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据程序框图关系得出框图的作用，根据输出的值，求输入值的取值范围.【详解】由图知，当时，.故.故选：B【点睛】此题考查程序框图，关键在于根据框图准确辨析其作用.12.设是椭圆的左焦点,焦距为,为椭圆上任一点,已知点
10、,的最大值为,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为,由,可知为椭圆外一点,设右焦点为,结合已知,即可求得答案.【详解】,又为椭圆外一点设右焦点为,为椭圆上任一点,根据椭圆定义可得:,即根据两点间距离公式可得:,解得:,.故选:C.【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率,解题关键是掌握椭圆的定义和椭圆离心率的的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13.若直线:与直线:互相垂直,则_.【答案】【解析】【分析】直接利用直线垂直公式计算得到答案.【详解】因为,所以,所以.故
11、答案为：【点睛】本题考查了根据直线垂直求参数，意在考查学生的计算能力.14.直线与双曲线有两个公共点,则的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】联立直线与双曲线方程:则,消掉,可得,根据直线与双曲线有公共点,即可求得答案.【详解】联立直线与双曲线方程:则消掉可得.直线与双曲线有公共点,解得或或.故答案为:.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线由交点求参数范围,解题关键是掌握将直线与双曲线联立方程,将求交点问题转化为一元二次方程有解问题,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15.若投掷一枚质地均匀的骰子，第一次投掷的点数为，第二次投掷的点数为，则的概率为_.【答案】【解析】【分析】将两次点数表
12、示成有序数对，分别求出基本事件总数和包含的基本事件个数即可求解概率.【详解】将两次点数表示成有序数对，根据基本计数原理得：基本事件总数为，包含的基本事件个数为，所以的概率.故答案为：【点睛】此题考查古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.16.已知双曲线的左、右顶点分别是,双曲线的右焦点为,点在过且垂直于轴的直线上,当的外接圆面积达到最小时,点恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为_.【答案】.【解析】【分析】设点的坐标为,由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,结合已知,即可求得答案.【详解】不妨设点的坐标为,由于为定值,
13、由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,当且仅当,即当时,等号成立,此时最大,即的外接圆面积取最小值.点坐标为,代入,可得,.双曲线的方程为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知：函数在区间上单调递增，：关于的不等式的解集非空.（1）当时，若为真命题，求的取值范围；（2）当时，若为假命题是为真命题的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）当时，根据单调性
14、得到，计算得到答案.（2）为假命题，则；为真命题，则或；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案.【详解】（1）当时，.因为为真命题，所以，即，故的取值范围是.（2）因为为假命题，所以，因为，所以.记满足为假命题的的取值集合为.因为为真命题，所以，解得或.记满足为真命题的的取值集合为.因为为假命题是为真命题的充分不必要条件所以集合是集合的真子集，则.故的取值范围是.【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18.已知圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，且圆心在x轴上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（5，2），且被圆C所
15、截得的弦长为6，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据题意可设圆的方程为，根据点在圆上可得关于的方程组，解出方程组即可得到圆的方程.（2）由直线截圆所得的弦长结合垂径定理可得圆心到直线的距离为4，当直线斜率不存在时显然成立，当直线斜率存在时，可设为点斜式，根据点到直线的距离公式求出斜率即可.【详解】（1）因为圆心在x轴上，所以可设圆的方程为. 因为圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，所以解得，. 故圆C的标准方程是. （2）因为直线l被圆C所截得的弦长为6，所以圆C的圆心到直线l的距离.当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，所以圆C的圆心
16、到直线l的距离，符合题意； 当直线l的斜率存在时，可设出直线l的方程为，即，则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或.【点睛】本题考查了用待定系数法求圆的方程，通常用一般式计算要简单；另外圆与直线相交时，半径、弦长的一半和弦心距的关系，注意用到斜率考虑是否存在问题，属于中档题19.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点.（1）若直线l的方程为，求的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且，求.【答案】（1）18；（2）.【解析】【分析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去，由韦达定理可得，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距
17、离相等即可得结果.（2）可设直线l的方程为，联立直线与抛物线的方程，消去，结合韦达定理以及可解出，根据弦长公式即可得结果.【详解】（1）设，.联立整理得， 则. 因为均在抛物线C上，所以. （2）设，则直线l的方程为.联立整理得， 则，且，即. 因为，所以点N为线段的中点，所以. 因为，所以，此时， 故.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20.某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照40，50），50，
18、60），60，70），90，100分成6组，制成如图所示频率分布直方图（1）求图中x的值；（2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率【答案】（1）0.02；（2）75；（3）0.4【解析】【分析】（1）由面积和为1，可解得x的值；（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率【详解】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）10=1，解得x=0.0
19、2（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）0.03=0.5，解得m=75（3）可得满意度评分值在60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2 满意度评分值在70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位
20、数和古典概型，属于基础题21.如图，在四棱锥中，O为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点F，连接，易得，由线面垂直判定定理可得平面，进而，再将与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，可求出平面的一个法向量，取平面的一个法向量，根据图象结合即可得结果.【详解】（1）证明：取的中点F，连接.因为，F为的中点，所以. 因为O为中点，F为的中点，所以.因为，所以， 因为，平面，平面，所以平面. 又平面，所以.因为，O为的中点，所以. 因为，平面，平面，所以平面. （2）解：以O为坐标原点，
21、所在直线为x轴，平行的直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，所以， 故，. 设平面的法向量，则不妨取，则平面的一个法向量，记二面角的大小为，由图可知为锐角，则.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22.设椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.（1）求椭圆的标准方程.（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）； （2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）根据离心率和的面积是得到方程组，计算得到答案.（2）先排除斜率为0时的情况，设，联立方程组利用韦达定理得到，根据化简得到，代入直线方程得到答案.【详解】（1）由题意可得，解得，则椭圆的标准方程是.（2）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0.设，直线的方程为联立，整理得则，.因为直线与直线的斜率之和为1，所以，所以，将，代入上式，整理得.所以，即，则直线的方程为.故直线恒过定点.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.
