1、20192020学年上学期期末考试高二数学（理科）考生注意：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2考生作答时，请将答案答在答题卡上.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3本卷命题范围：必修、选修2-1.第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析
2、】将所求不等式变形为，解此不等式即可得解集.【详解】将不等式变形为，解此不等式得或.因此，不等式的解集为或.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知，则下列向量中与平行的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量共线的等价条件判断即可.【详解】对于A选项，A选项中的向量与不平行；对于B选项，B选项中的向量与不平行；对于C选项，C选项中的向量与不平行；对于D选项，D选项中的向量与平行.故选：D.【点睛】本题考查空间向量共线的判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题.3.已知、，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
3、析】【分析】利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，若，则，A选项错误；对于B选项，若，则，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，若，则，则，所以，C选项正确；对于D选项，取，则，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查利用已知条件判断不等式的正误，常用不等式的基本性质、特殊值法与作差（商）法来判断，考查推理能力，属于基础题.4.在锐角中，角所对的边长分别为.若（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：考点：正弦定理解三角形5.已知，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将所求代数式变形为，然后利用基本
4、不等式可求出该代数式的最小值.【详解】，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.6.已知变量、满足线性约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察该直线在轴上的截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所示：联立，解得，可得点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，即.故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数
5、的最值问题，一般通过平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.7.等差数列前几项和为Sn，且S36，a34，则公差d等于（）A. 1B. C. 2D. 3【答案】C【解析】设an公差为d，首项为a1 ， 由题意得， 解得.本题选择C选项.8.在直三棱柱中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，则，所以，因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：C【
6、点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.9.若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，为椭圆上任意一点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设点的坐标为，可得，且有，然后利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值.【详解】设点的坐标为，则，且有，当时，取得最小值.故选：C.【点睛】本题考查椭圆中向量数量积最值的计算，涉及到椭圆的有界性，考查计算能力与函数方程思想的应用，属于中等题.10.已知等比数列的公比且，其前项和为，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 不
7、能确定【答案】B【解析】【分析】利用和表示与，然后利用作差法可比较出与的大小关系.【详解】，因此，.故选：B.【点睛】本题考查等比数列中相关项的大小比较，一般利用首项和公比相应的项进行表示，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11.已知是双曲线上的点、是其左、右焦点，且，若的面积为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值.【详解】由得，由勾股定理得，由双曲线的定义得，所以，则的面积为，解得.故选：B.【点睛】本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题.12.已知
8、F是椭圆C：(ab0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，（其中为椭圆的半焦距），且则椭圆C的离心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】记椭圆的左焦点为F,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF、QE.|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,=,PFQE,=,且PFPF.又|QE|=(圆的半径长),|PF|=b.据椭圆的定义知:|PF|+|PF|=2a,|PF|=2a-b.PFPF,|PF|2+|PF|2=|FF|2,b2+(2a-b)2=(2c)2,2(a2-c2)+b2=2ab,3b2=2ab,b=,c=a,=,椭圆的离心率为.第卷（非选择题共9
9、0分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.命题“，”的否定为_【答案】，【解析】【分析】将全称命题的量词改变，结论否定可得出全称命题的否定.【详解】由题意可知，命题“，”的否定为“，”.故答案为：，.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.14.设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则_【答案】【解析】【分析】根据双曲线的焦点坐标可得出关于的等式，解出即可.【详解】由于点是双曲线的一个焦点，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据双曲线的焦点坐标求参数，考查运算求解能力，属于基础题.15.已知集合，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分
10、析：因为成立的一个充分不必要的条件是，所以，即所以实数的取值范围是考点：充分条件和必要条件的应用16.斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，则线段的长为_【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的焦点坐标得出抛物线的标准方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可计算出线段的长.【详解】由于抛物线的焦点为，则，所以，抛物线的方程为，设点、，直线的方程为，联立，消去得，故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长的计算，涉及韦达定理与抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及
11、演算步骤17.已知等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）若数列an的前k项和Sk=35，求k的值【答案】（）an=1+（n1）（2）=32n（）k=7【解析】试题分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值解：（I）设等差数列an的公差为d，则an=a1+（n1）d由
12、a1=1，a3=3，可得1+2d=3，解得d=2，从而，an=1+（n1）（2）=32n；（II）由（I）可知an=32n，所以Sn=2nn2，进而由Sk=35，可得2kk2=35，即k22k35=0，解得k=7或k=5，又kN+，故k=7为所求点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题18.在中，内角、所对的边分别为、，已知（1）求的值；（2）若的面积为，求、的值【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）将题干中的等式变形为，利用余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于、的方程组，解出即可.【详
13、解】（1）将等式变形为，由余弦定理得，故；（2）由题意有：，整理得，解得或【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了利用余弦定理和三角形面积求边长，考查运算求解能力，属于基础题.19.在等比数列中，且，又、的等比中项为（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意恒成立？若存在，求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，且最小值【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，即可求出的值，然后利用等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；（2）求出与，利用裂项求和法求出，可得出该代数式的取值范围，由此可得出正整数的最小
14、值.【详解】（1）设数列的公比为，由题意可得，故，；（2），因此，正整数的最小值为【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了数列不等式的恒成立问题，涉及等差数列的前项和以及裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.20.已知抛物线与直线相交于、两点，为坐标原点（1）求证：；（2）当的面积等于时，求的值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算计算出，即可证明出；（2）由题意得出的面积为，代入韦达定理即可求得的值.【详解】（1）设，若，则抛物线与直线只有一个交点，所以，联立方程，消去得，则有因为
15、，所以所以，故；（2）由题可知直线经过点，则可拆分为和所以因为，所以，所以当时，有，解得【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及两直线垂直的证明以及利用三角形的面积求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.21.如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，由此可得出各边边长，利用勾股定理逆定理可证明出，进而得出，再由侧棱底面，可得出，利用线面垂直的判定定理可证明出平面；（2）以为原点，、的方向为、轴的正方向建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，
16、利用空间向量法可求出直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）取中点，连接，四边形为平行四边形，且在中，即，又，所以平面，平面，又，平面；（2）以为原点，、的方向为、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量，则由，得，取，得设直线与平面所成角为，则因此，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22.已知椭圆，焦距为（1）求椭圆的标准方程；（2）若一直线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的顶点），以为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【答
17、案】（1）；（2）存在，直线过定点【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦距求出的值，进而可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据以为直径的圆过椭圆的上顶点，得，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，可得出与所满足的等式，即可得出直线所过定点的坐标.【详解】（1）设椭圆的焦距为，有，所以，椭圆的焦点在轴上，得，有，得，故椭圆的标准方程为；（2）由方程组，得，即，即设、两点的坐标分别为、，则，以为直径的圆过椭圆的上顶点，即，即，化简得，或当时，直线过定点，与已知矛盾当时，满足，此时直线为过定点.直线过定点【点睛】本题考查椭圆方程求解，同时也考查了椭圆中直线过定点问题，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.
