1、黄浦区2019学年度第一学期高二年级期终调研测试数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1.已知点、，则向量_.【答案】【解析】【分析】由点坐标减去点点坐标即得.【详解】点、，.故答案为：.【点睛】本题考查有向线段表示的向量，它的坐标是其终点的坐标减去始点的坐标，属于基础题.2.计算_.【答案】-2【解析】【分析】分式的分子、分母同时除以，再取极限即得.【详解】,.故答案为：-2.【点睛】本题考查极限值的求法，注意当时， ，属于基础题.3.已知直线经过、两点，则直线的一个法向量是_（答案不唯一）.【答
2、案】【解析】【分析】设直线的法向量为，则，即可求得.【详解】设直线的法向量为，则,又.令.故答案为：.【点睛】本题考查直线的法向量、两个向量的数量积等基础知识，属于基础题.4.已知直线：经过圆：的圆心，则直线的倾斜角的大小是_（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】【分析】把圆的方程化为标准式，可得圆心，又直线过定点，由两点可求直线的斜率，即可求其倾斜角.（或由直线过圆心，求出的值，可求直线的斜率，即可求其倾斜角.）【详解】解法一 把圆：化为标准式，得，圆心.又直线过定点，直线的斜率，所以直线的倾斜角的大小为.解法二 把圆：化为标准式，得，圆心.又直线过圆的圆心，.直线:.直线的斜率为2，
3、所以直线的倾斜角的大小为.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属于基础题.5.已知向量、，则向量在向量方向上的投影的数值是_.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积的几何意义可知，向量在向量方向上的投影为，代入数据计算即得.【详解】，向量在向量方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查向量的投影，关键是牢记定义与公式，分清楚是哪一个向量在哪一个向量方向上的投影.6.已知直线：、：，若，则实数_.【答案】0或【解析】【分析】若直线：与直线：垂直，则，代入数据计算即得.【详解】直线：、：，且，,即，解得或.故答案为：或.【点睛】本题考查直线的位置关系，属于
4、基础题.7.已知数列（）满足，且，则通项公式_.【答案】【解析】【分析】由，得，再由累乘法求，注意验证时是否成立.【详解】由，得当时，.,以上各式两端分别相乘，得,即，.又，适合上式.故答案为：.【点睛】本题考查由递推关系式求数列的通项公式，属于中档题.由求数列的通项公式时，一般用累乘法求解，注意验证时是否成立.8.已知无穷等比数列的各项和为4，则首项的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得,，且,从而可得的范围.【详解】由题意可得, ，且且故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和,而无穷等比数列的各项和是指当,且时前 n项和的极限，属于基础题.9.过点作直线
5、与圆：相切，则直线的一般式方程是_.【答案】【解析】【分析】由题意判断直线的斜率存在，设直线的方程为：，化为一般式，再由圆心到直线的距离等于半径，即可解得.【详解】由题意直线的斜率存在，设直线的方程为：，即.又直线与圆：相切，圆心，半径为，化简得，.直线的一般式方程为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.10.已知等差数列中，若，则等式恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列中，若，则与此相应的等式_恒成立.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质有，等比数列的性质有，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列中，,.,由等差数列的性质得，.等比数
6、列，且，有等比数列的性质得，.所以类比等式，可得.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.11.已知点、，椭圆经过点，点为椭圆的右焦点，若的一个内角为，则椭圆的方程是_.【答案】【解析】【分析】由题意可得， ，在中，余弦定理求出，在中，勾股定理求出，结合，可得，代入椭圆的方程，把点代入即可求得.【详解】由题意可得， ，.在中，,由余弦定理得.在中，由勾股定理得.,代入方程，得.又点在椭圆上，解得.所以椭圆的方程是.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，结合余弦定理和勾股定理，待定系数法求即得.12.已知点、，若直线的
7、图像上存在点，使得成立，则说直线是“型直线”.给出下列直线：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（常数）其中代表“型直线”的序号是_.（要求写出所有型直线的序号）【答案】（3）（4）（5）【解析】【分析】由椭圆的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，与直线的方程联立，若方程组有解，则这条直线就是“型直线”，依此逐一判断即可.【详解】由椭圆的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，.所以椭圆的方程为.对于（1），由方程组，得不成立，方程组无解.所以直线不是“型直线”.对于（2），由方程组，得不成立，方程组无解.所以直线不是“型直线”.对于（3），由方程组，得，由，方程组有解
8、，所以直线是“型直线”.对于（4），由方程组，得，由，方程组有解，所以直线是“型直线”.对于（5），因为（常数）过定点，且点在椭圆的内部，所以直线与椭圆有交点，所以直线（常数）是“型直线”.故答案为：（3）（4）（5）.【点睛】本题属于新定义类题目，解题的关键是理解“型直线”的定义,把问题转化为直线与椭圆是否有交点，联立方程组，判断方程组是否有解，即可得到结论.二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13.平面直角坐标系上动点，满足，则动点的轨迹是（ ）A. 直线B. 线段C. 圆D
9、. 椭圆【答案】B【解析】【分析】由题意可知，动点到两个定点的距离的和为6, 又两个定点的距离为6，即得结论.【详解】设点，动点满足，又，所以动点的轨迹是线段.故选：.【点睛】本题考查平面内两点间的距离公式，属于基础题.14.已知，记，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，写出，则.【详解】,.故选：.【点睛】本题考查递推关系式，注意中各分母依次大1.15.已知，若不论为何值时，直线总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为直线总经过一个定点，所以与值无关，参变量分离，解方程组即得.【详解】直线的方程可化为：.直线
10、总经过一个定点，,解得.所以不论为何值，直线总经过一个定点.故选：.【点睛】本题考查直线过定点问题，解题的关键是参变量分离.16.已知平面直角坐标系内曲线，曲线，若点不在曲线上，则下列说法正确的是（ ）A. 曲线与无公共点B. 曲线与至少有一个公共点C. 曲线与至多有一个公共点D. 曲线与的公共点的个数无法确定【答案】A【解析】【分析】利用反证法，假设曲线与有公共点，推出矛盾，即可得到结论.【详解】假设曲线与有公共点，则和同时成立，点在曲线上，这与已知条件点不在曲线上矛盾.假设不成立，所以曲线与无公共点.故选：.【点睛】本题考查反证法，关键是理解掌握反证法的定义.三、解答题（本大题满分52分）
11、本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17.已知向量,.（1）若向量，求实数的值；（2）若向量满足，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）求出向量和向量的坐标，根据向量共线的坐标表示求的值.（2）由向量相等求出的值，根据求值即可.【详解】（1）,，.，解得或.（2），即，解得.【点睛】本题考查向量共线定理坐标表示和向量相等，用到方程的思想，属于基础题.18.已知,，圆经过,三点.（1）求圆的方程，并写出圆心坐标和半径的值；（2）若过点的直线与圆交于、两点，求弦的长度的取值范围.【答案】（1）圆：，圆心，半径；（2）.【解析】【分析】（1）
12、由题意设圆方程为，待定系数法求的值，再把圆的方程化为标准式，即得圆心坐标和半径；（2）设圆心到直线距离为，判断点在圆内，数形结合可知，当直线过圆心时，；当时，.由弦长可得的取值范围.【详解】（1）设圆：.圆过，三点，解得圆：，化标准式得，圆心，半径.（2）设圆心到直线的距离为，点到圆心的距离为.点在圆内，.结合图形，可知（过圆心时，；时，）.【点睛】本题考查待定系数法求圆的一般方程，考查直线和圆的位置关系，用到数形结合的数学思想，属于中档题.19.已知数列满足，.（1）若数列是等差数列，求通项公式；（2）已知，求证数列是等比数列，并求通项公式.【答案】（1）；（2）证明见解析；.【解析】【分析
13、】（1）因为数列是等差数列，根据已知条件求公差，即可求.（2）定义法证明数列是等比数列，求其通项公式，即可求.【详解】（1）数列是等差数列，设数列的公差为，则，即对成立，.，所以.（2），.，数列是以为首项，公比为2的等比数列.，.【点睛】本题考查求等差数列、等比数列的通项公式，考查定义法判断一个数列是等比数列，属于中档题.20.已知各项为正数的数列的前项和为，且.（1）求的值，并求的解析式（用含的式子表示）；（2）若对于一切正整数，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）由求的值，由两端平方求，再写出，相减可求.（2）由（1）可知，数列是等差数列，公式法求
14、出和，参变量分离，把不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，求出的取值范围.【详解】（1），当时，解得.由，得.，即，即，.（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为2的等差数列，.由，得，即对一切正整数恒成立.令，则.当时，.【点睛】本题考查数列的递推关系式，考查不等式恒成立问题，把不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，考查了学生的运算能力和转化的数学思想.属于较难的题目.21.已知直线，点，点是平面直角坐标系内动点，且点到直线的距离是点到点的距离的2倍.记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，若（是坐标系原点）的面积为，求直线的方程；（3）若（2）中过点的直
15、线是倾斜角不为0的任意直线，仍记与曲线的交点为、，设点为线段的中点，直线与直线交于点，求的大小.【答案】（1）；（2）直线或；（3）.【解析】【分析】（1）由题意可得，化简可得曲线的方程.（2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况.当直线的斜率不存在时，求出的面积，易判断是否成立. 当直线的斜率存在时，设直线，由方程组消元，韦达定理可求弦长，又点到直线的距离，所以的面积，可求值，即可求直线的方程.（3）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况. 当直线的斜率不存在时，易求的值. 当直线的斜率存在时，设直线.由（2）中的结论可得点的坐标，可写出直线的方程，求出点的坐标.最后用向量的方法求的值.【详解】（
16、1）根据题意，可知，化简得.（2）因为直线过焦点，故直线与椭圆总交于、两点.若直线与轴垂直，可算得，不满足条件.于是，所求直线的斜率存在.设直线的斜率为，即.联立方程组，得（此时恒成立）.，点到的距离为.，化简得，即解得.所求直线或（或表示为一般式方程）.（3）若直线的斜率不存在，即垂直轴，根据椭圆的对称性，知点与点重合，点，此时，有.若直线的斜率存在，设.由（2）可得，.直线的倾斜角不为零，.直线.方法1：算得.又直线方向向量为，且.（多想少算）综上，不论直线的斜率存在与否，总有.方法2：算得，与的交点为，.可得向量与的夹角满足，即，.综上，不论直线的斜率存在与否，总有.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的相交问题和定值问题，考查学生的运算能力，考查分类讨论和数形结合的数学思想.属于困难的题目.
