1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.(2014湖北,文1)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,集合A=1,3,5,6,则UA=().A.1,3,5,6B.2,3,7C.2,4,7D.2,5,7答案:C解析:由补集的定义,集合A在U中的补集指U中除A外其他元素构成的集合.故选C.2.(2014湖北,文2)i为虚数单位,1-i1+i2=().A.1B.-1C.iD.-i答案:B解析:因为1-i1+i=(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)=-2i2=-i,所以1-i1+i2=(-i)2=-1,故选B.3.(20
2、14湖北,文3)命题“xR,x2x”的否定是().A.xR,x2xB.xR,x2=xC.xR,x2xD.xR,x2=x答案:D解析:全称命题“xM,p(x)”的否定为特称命题“xM,p(x)”,故选D.4.(2014湖北,文4)若变量x,y满足约束条件x+y4,x-y2,x0,y0,则2x+y的最大值是().A.2B.4C.7D.8答案:C解析:画出x,y的约束条件限定的可行域为如图阴影区域,令u=2x+y,则y=-2x+u,先画出直线y=-2x,再平移直线y=-2x,当经过点A(3,1)时,代入u,可得最大值为7,故选C.5.(2014湖北,文5)随机掷两枚质地均匀的骰子
3、,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则().A.p1p2p3B.p2p1p3C.p1p3p2D.p3p10,b0,b0C.a0,b0D.a0答案:A解析:可大致画出散点图如图所示,可判断a0,b0,故选A.7.(2014湖北,文7)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为、的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为().A.和B.和C.和D.和答案:D解析:正视图将四个点全影射到yOz面上,分别为(0,0,2),(0,2,0),
4、(0,2,1),(0,2,2),再根据看不见的线画虚线可得图,俯视图全影射到xOy面上,分别为(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),(2,2,0)可画得图,故选D.8.(2014湖北,文8)设a,b是关于t的方程t2cos +tsin =0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线x2cos2-y2sin2=1的公共点的个数为().A.0B.1C.2D.3答案:A解析:可解方程t2cos +tsin =0,得两根0,-sincos.由题意可知不管a=0还是b=0,所得两个点的坐标是一样的.不妨设a=0,b=-sincos,则A(0,0),B-sincos,s
5、in2cos2,可求得直线方程y=-sincosx,因为双曲线渐近线方程为y=sincosx,故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.9.(2014湖北,文9)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为().A.1,3B.-3,-1,1,3C.2-7,1,3D.-2-7,1,3答案:D解析:当x0时,f(x)=-f(-x)=-(-x)2+3x=-x2-3x,易求得g(x)解析式g(x)=x2-4x+3,x0,-x2-4x+3,xf(x-1),则正实数a的取值范围为.答案:0,16解析:由题意可知,
6、f(x-1)是由f(x)向右平移1个单位得到的,要保证xR,f(x)f(x-1),f(x-1)的图象则应由原图象至少向右平移6a个单位,需满足6a1,即a16,又因为a为正实数,故答案为0,16.16.(2014湖北,文16)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=76 000vv2+18v+20l.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.答
7、案:(1)1 900(2)100解析:(1)l=6.05,则F=76 000vv2+18v+121=76 000v+18+121v,由基本不等式v+121v2121=22,得F76 00022+18=1 900(辆/小时),故答案为1 900.(2)l=5,F=76 000vv2+18v+100=76 000v+18+100v,由基本不等式v+100v2100=20,得F76 00020+18=2 000(辆/小时),增加2 000-1 900=100(辆/小时),故答案为100.17.(2014湖北,文17)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b-2)和常数满足:
8、对圆O上任意一点M,都有|MB|=|MA|,则(1)b=;(2)=.答案:(1)-12(2)12解析:因为对圆O上任意一点M,都有|MB|=|MA|,所以可取圆上点(-1,0),(1,0),满足|b+1|=,|b-1|=3,解得b=-12或b=-2(舍去),b=-12,=12,故答案为(1)-12,(2)12.三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)(2014湖北,文18)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cos12t-sin12t,t0,24).(1)求实验室这一天上午8时
9、的温度;(2)求实验室这一天的最大温差.分析:在第(1)问中,可将t=8直接代入函数解析式求出结果.在第(2)问中,可转化为求函数的最大值最小值问题,先根据辅助角公式将函数转化为f(t)=10-2sin12t+3,再根据t的范围可求出12t+3的范围,依次又可求出sin12t+3的范围,最终可求出f(t)的范围,从而可求出最大温差.解:(1)f(8)=10-3cos128-sin128=10-3cos23-sin23=10-3-12-32=10.故实验室上午8时的温度为10 .(2)因为f(t)=10-232cos12t+12sin12t=10-2sin12t+3,又0t24,所以312t+3
10、60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.分析:在第(1)问中,可先将a2,a5转化成a1+d,a1+4d,再依据成等比数列列出相应关系式求出d,从而可求得数列an的通项公式.在第(2)问中,由数列an的通项公式,可先求得Sn,由于第(1)问求得数列an有两种情况,故Sn也有两种情况,需分类讨论,利用题中已知的不等式解出n的范围,依据n的范围可求得正整数n的最小值.解:(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,
11、从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,Sn=n2+(4n-2)2=2n2,令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.20.(本小题满分13分)(2014湖北,文20)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点,求证:(1)直线BC1平面EFPQ;(2)直线AC1平面P
12、QMN.分析:在第(1)问中,可考虑利用线线平行去证明线面平行,连接AD1,可先证明AD1和FP平行,从而可证AD1和平面EFPQ平行,又易证明BC1平行于AD1,从而可证BC1平行于平面EFPQ.在第(2)问中,可考虑利用线线垂直去证线面垂直,需证AC1与平面MNPQ内两条相交直线垂直.证明:(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)如图,连接AC,BD,则ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD.
13、又ACCC1=C,所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1,所以BDAC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MNBD,从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.21.(本小题满分14分)(2014湖北,文21)为圆周率,e=2.718 28为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=lnxx的单调区间;(2)求e3,3e,e,e,3,3这6个数中的最大数与最小数.分析:在第(1)问中,考查利用导数求函数单调区间,需注意函数的定义域.在第(2)问中,由y=ln x,y=ex,y=x在定义域上的单调性可先比较出3e,e,3及e3,e,3的大小,从而
14、可确定最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.再由e30,即0xe时,函数f(x)单调递增;当f(x)e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+).(2)因为e3,所以eln 3eln ,ln eln 3,即ln 3eln e,ln eln 3.于是根据函数y=ln x,y=ex,y=x在定义域上单调递增,可得3ee3,e3e3.故这6个数的最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.由e3及(1)的结论,得f()f(3)f(e),即ln ln33ln ee.由ln ln33,得ln 33;由ln33ln ee,得ln 3eln e3,所以
15、3ee3.综上,6个数中的最大数是3,最小数是3e.22.(本小题满分14分)(2014湖北,文22)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.分析:在第(1)问中,可先设点M(x,y),由题意可求得点M的轨迹方程.在第(2)问中,可先由点斜式把直线方程写出来,将直线方程与第(1)问所求的轨迹方程联立,需注意考虑k=0及k0的情况,当k0时,联立后得到的关系式,还需讨论方程的判别式及直线与x轴交点的横坐
16、标的正负.解:(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=4x,x0,0,x0.(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组y-1=k(x+2),y2=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(a)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.(b)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由
17、y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.()若0,x00,由解得k12.即当k(-,-1)12,+时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.()若=0,x00,x00,由解得k-1,12,或-12k0,x00,由解得-1k-12,或0k12.即当k-1,-120,12时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(a)(b)可知,当k(-,-1)12,+0时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k-12,0-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k-1,-120,12时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
