1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2017山东,理1)设函数y=4-x2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则AB=() A.(1,2)B.(1,2C.(-2,1)D.-2,1)解析由4-x20,得A=-2,2,由1-x0,得B=(-,1),故AB=-2,1).故选D.答案D2.(2017山东,理2)已知aR,i是虚数单位.若z=a+3i,zz=4,则a=()A.1或-1B.7或-7C.-3D.3解析由z=a+3i,得zz=|z|2=
2、a2+3=4,所以a2=1,a=1,选A.答案A3.(2017山东,理3)已知命题p:x0,ln(x+1)0;命题q:若ab,则a2b2,下列命题为真命题的是()A.pqB.pqC.pqD.pq解析对x0,都有x+11,所以ln(x+1)0,故p为真命题.又1-2,但12(-2)2,故q为假命题,所以q为真命题,故pq为真命题.故选B.答案B4.(2017山东,理4)已知x,y满足约束条件x-y+30,3x+y+50,x+30,则z=x+2y的最大值是()A.0B.2C.5D
3、.6解析画出约束条件表示的平面区域如图阴影部分所示.由目标函数z=x+2y得直线l:y=-12x+12z,当l经过点C(-3,4)时,z取最大值,且zmax=-3+24=5.故选C.答案C5.(2017山东,理5)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y=bx+a.已知i=110xi=225,i=110yi=1 600,b=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为()A.160B.163C.166D.170解析由已知得x=110i=110xi=22.5,y=110
4、i=110yi=160,又b=4,所以a=y-bx=160-422.5=70,故当x=24时,y=424+70=166.故选C.答案C6.(2017山东,理6)执行两次下图所示的程序框图,若第一次输入的x的值为7,第二次输入的x的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为()A.0,0B.1,1C.0,1D.1,0解析若输入x=7,则b=2(b2x)输出a=1;若输入x=9,则b=2(b2b0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+1bb2alog2(a+b)B.b2alog2(a+b)a+1bC.a+1blog2(a+b)b2aD.log2(a+b)a+1bb2a解析不妨令a=2,b=
5、12,则a+1b=4,b2a=18,log2(a+b)=log252(log22,log24)=(1,2),即b2alog2(a+b)0,故当0m1时,1m1,所以函数y=(mx-1)2在0,1上是减函数,其最大值为1,最小值为(m-1)2,依题意得0(m-1)20m1,0m301时,01m1,1+m(m-1)2m1,m0或m3m3,综上可得m的取值范围是(0,13,+).故选B.答案B第卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.解析二项展开式的通项Tr+1=Cnr(3x)r=3r
6、Cnrxr,令r=2,得32Cn2=54,解得n=4.答案412.(2017山东,理12)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若3e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是.解析e1,e2是互相垂直的单位向量,可设a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+e2=(1,).则=60.cos=cos 60=ab|a|b|=3-22+1=12,即3-=2+1,解得=33.答案3313.(2017山东,理13)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.解析由三视图还原几何体如图所示,故该几何体的体积V=211+214121=2+2.答案2+214.(2017山东,理
7、14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.解析抛物线x2=2py的焦点F0,p2,准线方程为y=-p2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以该双曲线的渐近线方程为y=22x
8、.答案y=22x15.(2017山东,理15)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+2解析对,设g(x)=ex2-x,则g(x)=ex2-x+2-xln 12=ex2-x1+ln 120,g(x)在R上单调递增,具有M性质;对,设g(x)=ex3-x,则g(x)=ex3-x+3-xln 13=ex3-x1+ln 130,g(x)0,g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填.答案三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程
9、或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2017山东,理16)设函数f(x)=sinx-6+sinx-2,其中03.已知f6=0.(1)求.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-4,34上的最小值.解(1)因为f(x)=sinx-6+sinx-2,所以f(x)=32sin x-12cos x-cos x=32sin x-32cos x=312sinx-32cosx=3sinx-3.由题设知f6=0,所以6-3=k,kZ.故=6k+2,kZ,又03,所以=2.(2)由(1)得f(x)=
10、3sin2x-3,所以g(x)=3sinx+4-3=3sinx-12.因为x-4,34,所以x-12-3,23,当x-12=-3,即x=-4时,g(x)取得最小值-32.17.(本小题满分12分)(2017山东,理17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的,G是DF的中点.(1)设P是CE上的一点,且APBE,求CBP的大小;(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.解(1)因为APBE,ABBE,AB,AP平面ABP,ABAP=A,所以BE平面ABP,又BP平面ABP,所以BEBP,又EBC=120.因此CBP=3
11、0.(2)解法一:取EC的中点H,连接EH,GH,CH.因为EBC=120,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC=32+22=13.取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EMAG,CMAG,所以EMC为所求二面角的平面角.又AM=1,所以EM=CM=13-1=23.在BEC中,由于EBC=120,由余弦定理得EC2=22+22-222cos 120=12,所以EC=23,因此EMC为等边三角形,故所求的角为60.解法二:以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,3,3),C(
12、-1,3,0),故AE=(2,0,-3),AG=(1,3,0),CG=(2,0,3),设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量.由mAE=0,mAG=0,可得2x1-3z1=0,x1+3y1=0.取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,-3,2).设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量.由nAG=0,nCG=0,可得x2+3y2=0,2x2+3z2=0.取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,-3,-2).所以cos=mn|m|n|=12.因此所求的角为60.18.(本小题满分12分)(2017山东,理18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心
13、理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的频率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=C84C105=518.(2)由题意知X可取的值为:0,1,2
14、,3,4,则P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,P(X=4)=C61C44C105=142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142X的数学期望是EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1521+21021+3521+4142=2.19.(本小题满分12分)(2017山东,理19)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在
15、平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.解(1)设数列xn的公比为q,由已知q0.由题意得x1+x1q=3,x1q2-x1q=2.所以3q2-5q-2=0.因为q0,所以q=2,x1=1,因此数列xn的通项公式为xn=2n-1.(2)过P1,P2,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,由题意bn=(n+n+1)22n-1=(2n+1)
16、2n-2,所以Tn=b1+b2+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2.又2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1,-得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1=32+2(1-2n-1)1-2-(2n+1)2n-1.所以Tn=(2n-1)2n+12.20.(本小题满分13分)(2017山东,理20)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中e2.718 28是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(,f()处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)
17、-af(x)(aR),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解(1)由题意f()=2-2,又f(x)=2x-2sin x,所以f()=2,因此曲线y=f(x)在点(,f()处的切线方程为y-(2-2)=2(x-),即y=2x-2-2.(2)由题意得h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),因为h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2ex(x-sin x)-2a(x-sin x)=2(ex-a)(x-sin x),令m(x)=x-sin x,则m(x)=1-cos x
18、0,所以m(x)在R上单调递增.因为m(0)=0,所以当x0时,m(x)0;当x0时,m(x)0,当x0时,h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当a0时,h(x)=2(ex-eln a)(x-sin x),由h(x)=0得x1=ln a,x2=0.()当0a1时,ln a0,当x(-,ln a)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(ln a,0)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值.极大值为h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln
19、a)+cos(ln a)+2,当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;()当a=1时,ln a=0,所以当x(-,+)时,h(x)0,函数h(x)在(-,+)上单调递增,无极值;()当a1时,ln a0,所以当x(-,0)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(0,ln a)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.综上所述:当a0时,h(x)在(-,
20、0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0a1时,函数h(x)在(-,0)和(ln a,+)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.21.(本小题满分14分)(2017山东,理21)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,焦距为2.(1)求椭圆E的方程.(2)如图,动直线l:y=k1x-32交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜
21、率为k2,且k1k2=24,M是线段OC延长线上一点,且|MC|AB|=23,M的半径为|MC|,OS,OT是M的两条切线,切点分别为S,T,求SOT的最大值并求取得最大值时直线l的斜率.解(1)由题意知e=ca=22,2c=2,所以a=2,b=1,因此椭圆E的方程为x22+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程x22+y2=1,y=k1x-32,得(4k12+2)x2-43k1x-1=0,由题意知0,且x1+x2=23k12k12+1,x1x2=-12(2k12+1).所以|AB|=1+k12|x1-x2|=21+k121+8k121+2k12.由题意可知圆M的半径r
22、为r=23|AB|=2231+k121+8k122k12+1.由题设知k1k2=24,所以k2=24k1,因此直线OC的方程为y=24k1x.联立方程x22+y2=1,y=24k1x1,得x2=8k121+4k12,y2=11+4k12,因此|OC|=x2+y2=1+8k121+4k12.由题意可知sin SOT2=rr+|OC|=11+|OC|r,而|OC|r=1+8k121+4k122231+k121+8k121+2k12=3241+2k121+4k121+k12,令t=1+2k12,则t1,1t(0,1),因此|OC|r=32t2t2+t-1=3212+1t-1t2=321-1t-122+941,当且仅当1t=12,即t=2时等号成立,此时k1=22,所以sin SOT212,因此SOT26.所以SOT最大值为3.综上所述:SOT的最大值为3,取得最大值时直线l的斜率为k1=22.
