1、2016年普通高等学校招生全国统一考试天津文科数学1.(2016天津,文1)已知集合A=1,2,3,B=y|y=2x-1,xA,则AB=()A.1,3B.1,2C.2,3D.1,2,3答案A由题意知,当x=1时,y=21-1=1;当x=2时,y=3;当x=3时,y=5.因此,集合B=1,3,5.故AB=1,3.2.(2016天津,文2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13答案A令A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,C=“甲输”,则C=“甲不输”.P(A)=12,P(B)=13,P(C)=1-12-13=16 .P
2、(C)=1-16=56.故甲不输的概率为56.3.(2016天津,文3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案B由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示:易知其左视图为B项中图.故选B.4.(2016天津,文4)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.3x220-3y25=1D.3x25-3y220=1答案A双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,c=5
3、.又该双曲线的渐近线与直线2x+y=0垂直,渐近线方程为y=12x.ba=12,即a=2b.a2=4b2.c2-b2=4b2.c2=5b2.5=5b2.b2=1.a2=c2-b2=5-1=4.故所求双曲线的方程为x24-y2=1.5.(2016天津,文5)设x0,yR,则“xy”是“x|y|”的()A.充要条件B.充要而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C当x=1,y=-2,1-2,但1yx|y|,xy不是x|y|的充分条件.对于x|y|,若y0,则x|y|xy;若y0,则xy,x|y|xy.xy是x|y|的必要条件.“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件.故选C.6
4、.(2016天津,文6)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则a的取值范围是()A.-,12B.-,1232,+C.12,32D.32,+答案Cf(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减.由f(2|a-1|)f(-2)=f(2)可得2|a-1|2=212.|a-1|12.-12a-112,即12a0),xR.若f(x)在区间(,2)内没有零点,则的取值范围是()A.0,18B.0,1458,1C.0,58D.0,1814,58答案Df(x)=1-cosx2+12sin x-12
5、=12sin x-12cos x=22sinx-4.由f(x)=0,得x-4=k,kZ,x=k+4,kZ.f(x)在区间(,2)内没有零点,有T22-=,且k+4,(k+1)+42,由T2,得T2,00,018;当k=0时,1458;当k-2或k1,kZ时,不满足00),则|2a|5=455a=2.又点M(0,5)在圆C上,则圆C的半径r=22+5=3.故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.13.(2016天津,文13)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为.答案233解析设CE=x,如图,连接AC,BC,AD,则由相交弦定理得DECE=A
6、EBE,DE=2x,又BD=DE=2x,所以AC=AE=1.因为AB是直径,所以BC=32-12=22,AD=9-4x2.由题意可知,BCEDAE,则BCAD=ECAE,即229-4x2=x1,解得x=233.14.(2016天津,文14)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案13,23解析由函数f(x)在R上单调递减可得0a1,3-4a20,3af(0)=1,解得13a34.当x0时,由f(x)=0得x0=1a-1.又a13,1a-12,即x0(0,2.如图,作出y=|lo
7、ga(x+1)+1|(x0)的图象,由图知当x0时,方程|f(x)|=2-x3只有一解.当x0时,解得a1712或a23.又a13,34,a13,23.方程有一负根x0和一零根,则有x00=3a-2=0,解得a=23.显然与a23矛盾.方程有一正根x1和一负根x2,则有x1x2=3a-20,解得a3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.解(1)设F(c,0).由1|OF
8、|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由BF
9、HF,得BFFH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化简得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.所以,直线l的斜率为-64或64.20.(2016天津,文20)设函数f(x)=x3-ax-b,xR,其中a,bR.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f
10、(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间-1,1上的最大值不小于14.(1)解由f(x)=x3-ax-b,可得f(x)=3x2-a.下面分两种情况讨论:当a0时,有f(x)=3x2-a0恒成立.所以f(x)的单调递增区间为(-,+).当a0时,令f(x)=0,解得x=3a3,或x=-3a3.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,-3a3-3a3-3a3,3a33a33a3,+f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为-3a3
11、,3a3,单调递增区间为-,-3a3,3a3,+.(2)证明因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a0,且x00.由题意,得f(x0)=3x02-a=0,即x02=a3,进而f(x0)=x03-ax0-b=-2a3x0-b.又f(-2x0)=-8x03+2ax0-b=-8a3x0+2ax0-b=-2a3x0-b=f(x0),且-2x0x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.(3)证明设g(x)在区间-1,1上的最大值为M,maxx,y表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:当a3时,-3a3-113a3,由(
12、1)知,f(x)在区间-1,1上单调递减,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f(1),f(-1),因此M=max|f(1)|,|f(-1)|=max|1-a-b|,|-1+a-b|=max|a-1+b|,|a-1-b|=a-1+b,b0,a-1-b,b0.所以M=a-1+|b|2.当34a3时,-23a3-1-3a33a3123a3,由(1)和(2)知f(-1)f-23a3=f3a3,f(1)f23a3=f-3a3,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f3a3,f-3a3,因此M=maxf3a3,f-3a3=max-2a93a-b,2a93a-b=max2a93a+b,2a93a-b=2a93a+|b|2934334=14.当0a34时,-1-23a323a31,由(1)和(2)知f(-1)f23a3=f-3a3,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f(-1),f(1),因此M=max|f(-1)|,|f(1)|=max|-1+a-b|,|1-a-b|=max|1-a+b|,|1-a-b|=1-a+|b|14.综上所述,当a0时,g(x)在区间-1,1上的最大值不小于14.
