1、绝密 启用前试卷类型:A2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷1,理)本试卷共4页,23小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答
2、案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设z=1-i1+i+2i,则|z|=A.0B.12C.1D.22.已知集合A=x|x2-x-20,则RA=A.x|-1x2B.x|-1x2C.x|x2D.x|x-1x|x23.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收
3、入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=A.-12B.-10C.10D.125.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x6.在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+1
4、4ACD.14AB+34AC7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为A.217B.25C.3D.28.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=A.5B.6C.7D.89.已知函数f(x)=ex,x0,lnx,x0,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三
5、个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p311.已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=A.32B.3C.23D.412.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为A.334B.233C.324D.32二、填空题:本题共4小
6、题,每小题5分,共20分.13.若x,y满足约束条件x-2y-20,x-y+10,y0,则z=3x+2y的最大值为.14.记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)16.已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,
7、AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.18.(12分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19.(12分)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.20.(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更
8、换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?21
9、.(12分)已知函数f(x)=1x-x+aln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x21的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.数学(全国卷1,理)1.C因为z=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=-2i2+2i=i,所以|z|=1.2.B解一元二次不等式x2-x-20,可得x2,则A=x|x2,所以RA=x|-1x2.3.A设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为20.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建
10、设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.4.B因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.5.D因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.故切线方程为y=x.6.A如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12A
11、B-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.7.B如图所示,易知N为CD的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCCM,易知CN=14CC=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.在RtMCN中,MN=MC2+NC2=25.8.D易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FMFN=8.9.C要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(
12、x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a1,即a-1.故选C.10.A设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为c22,以AB为直径的圆面积为b22,以AC为直径的圆面积为a22.所以S=12ab,S=12b24+12a24-12c24-12ab=12(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,S=12c24-12ab,所以S=S,由几何概型,知p1=p2.11.B由条件知F(2,0),渐近线方程为y=33x,所以NOF=MOF=30,MON
13、=6090.不妨设OMN=90,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos 30=3,所以|MN|=3.12.A满足题设的平面可以是与平面A1BC1平行的平面,如图(1)所示.图(1)再将平面A1BC平移,得到如图(2)所示的六边形.图(2)图(3)设AE=a,如图(3)所示,可得截面面积为S=122(1-a)+2a+2a232-312(2a)232=32(-2a2+2a+1),所以当a=12时,Smax=32-214+212+1=334.13.6作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).由z=3x+2y,得y=-32x+12z,作直线y=-32x并向上平移,显
14、然l过点B(2,0)时,z取最大值,zmax=32+0=6.14.-63Sn=2an+1,Sn-1=2an-1+1(n2).-,得an=2an-2an-1,即an=2an-1(n2).又S1=2a1+1,a1=-1.an是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S6=-1(1-26)1-2=-63.15.16方法一:当3人中恰有1位女生时,有C21C42=12种选法.当3人中有2位女生时,有C22C41=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有C63种选法,当3人全是男生时有C43种选法,所以至少有1位女生入选时有C63-C43=16种选法.16.-332由题意可得T=
15、2是f(x)=2sin x+sin 2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在0,2)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2.令f(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x0,2)时,解得x=3或x=53或x=.因为f(x)=2sin x+sin 2x的最值只能在x=3,x=53,x=或x=0时取到,且f3=332,f53=-332,f()=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-332.17.解 (1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin4
16、5=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.18.解 (1)由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以
17、PE=3.又PF=1,EF=2,故PEPF.可得PH=32,EH=32.则H(0,0,0),P0,0,32,D-1,-32,0,DP=1,32,32,HP=0,0,32为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为,则sin =HPDP|HP|DP|=343=34.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.19.解 (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为1,22或1,-22.所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.(2)当l与x轴重合时,OMA=OMB=0,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时
18、,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x12,x20;当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.21.解 (1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.若a2,则f(x)0,当且仅当a=2,x=1时f(x)=0,所以f(x)在(0,+)单调递减.若a2,令f(x)=0得,x=a-a2-42或x=a+a2-42.当x0,a-a2-42a+a2-42,+时,f(x)0.所以f(x)在0,a-a2-42,a+a2-42,+单调递减,在a-a2-42,a+a2-42单调递增.(2)由(1)知,f(x
19、)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.由于f(x1)-f(x2)x1-x2=-1x1x2-1+aln x1-ln x2x1-x2=-2+aln x1-ln x2x1-x2=-2+a-2ln x21x2-x2,所以f(x1)-f(x2)x1-x2a-2等价于1x2-x2+2ln x20.设函数g(x)=1x-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+)单调递减,又g(1)=0,从而当x(1,+)时,g(x)0.所以1x2-x2+2ln x20,即f(x1)-f(x2)x1-x2a-2.22.解 (1)由x=co
20、s ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.23.解 (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为0x2a,所以2a1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.
