1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学一、 选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2017浙江,1)已知集合P=x|-1x1,Q=x|0x2,那么PQ=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)解析取P,Q所有元素,得PQ=x|-1x0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为Sn=na1+n(n-1)2d,所以S4+S62S510a1+21d10a1+20dd0,即“d0”是“S4+S62S5”的充分必要条件,选C.答
2、案C7.(2017浙江,7)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()解析设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10x2x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)上,f(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.答案D8.(2017浙江,8)已知随机变量满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0p1p212,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)解析E(1)=p1,E(2)=p2,E(1)E(2).
3、D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2),D(1)-D(2)=(p1-p2)(1-p1-p2)0,故选A.答案A9.(2017浙江,9)如图,已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R分别为AB,BC,CA上的点,AP=PB,BQQC=CRRA=2.分别记二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为,则()A.B.C.D.d3d2,所以hd1hd3hd2,所以,故选B.答案B10.(2017浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=OAOB,I2=OBOC,I3=OCOD,则()A
4、.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3解析由题图可得OA12ACOC,OB12BD90,BOC0,I1=OAOB0,I3=OCOD0,且|I1|I3|,所以I3I10I2,故选C.答案C二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.(2017浙江,11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.解析将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=61211sin60=33
5、2.答案33212.(2017浙江,12)已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.解析由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,解得a2=4,b2=1,则a2+b2=5,ab=2.答案5213.(2017浙江,13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.解析由二项式展开式可得通项公式为C3rx3-rC2mx2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=1322=4.答案16414.(2017浙江,14)已知ABC,A
6、B=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则BDC的面积是,cosBDC=.解析如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AEBC,BFCD.在RtABE中,cosABE=BEAB=14,cosDBC=-14,sinDBC=1-116=154.SBCD=12BDBCsinDBC=152.cosDBC=1-2sin2DBF=-14,且DBF为锐角,sinDBF=104.在RtBDF中,cosBDF=sinDBF=104.综上可得,BCD的面积是152,cosBDC=104.答案15210415.(2017浙江,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+
7、|a-b|的最小值是,最大值是.解析设向量a,b的夹角为,由余弦定理得|a-b|=12+22-212cos=5-4cos,|a+b|=12+22-212cos(-)=5+4cos,则|a+b|+|a-b|=5+4cos+5-4cos.令y=5+4cosx+5-4cosx,则y2=10+225-16cos216,20,据此可得(|a+b|+|a-b|)max=20=25,(|a+b|+|a-b|)min=16=4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是25.答案42516.(2017浙江,16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有
8、1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)解析由题意可得,总的选择方法为C84C41C31种方法,其中不满足题意的选法有C64C41C31种方法,则满足题意的选法有:C84C41C31-C64C41C31=660种.答案66017.(2017浙江,17)已知aR,函数f(x)=x+4x-a+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围是.解析x1,4,x+4x4,5,分类讨论:当a5时,f(x)=a-x-4x+a=2a-x-4x,函数的最大值2a-4=5,解得a=92,舍去.当a4时,f(x)=x+4x-a+a=x+4x5,此时命题成立.当4a5时,f(x)max=max|4-a|+a,|5-
9、a|+a,则|4-a|+a|5-a|+a,|4-a|+a=5或|4-a|+a|5-a|+a,|5-a|+a=5,解得a=92或a92,此时412.(2)由f(x)=(1-x)(2x-1-2)e-x2x-1=0,解得x=1或x=52.因为x1212,111,525252,+f(x)-0+0-f(x)12e-12012e-52又f(x)=12(2x-1-1)2e-x0,所以f(x)在区间12,+上的取值范围是0,12e-12.21.(2017浙江,21)如图,已知抛物线x2=y,点A-12,14,B32,94,抛物线上的点P(x,y)-12x32.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP
10、斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.解(1)设直线AP的斜率为k,k=x2-14x+12=x-12,因为-12x32,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程kx-y+12k+14=0,x+ky-94k-32=0,解得点Q的横坐标是xQ=-k2+4k+32(k2+1).因为|PA|=1+k2x+12=1+k2(k+1),|PQ|=1+k2(xQ-x)=-(k-1)(k+1)2k2+1,所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间-1,12上单调递增,1
11、2,1上单调递减,因此当k=12时,|PA|PQ|取得最大值2716.22.(2017浙江,22)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).证明:当nN*时,(1)0xn+10.当n=1时,x1=10,假设n=k时,xk0,那么n=k+1时,若xk+10,则00.因此xn0(nN*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此0xn+10(x0),函数f(x)在0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=0,因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0,故2xn+1-xnxnxn+12(nN*).(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn12n-1.由xnxn+122xn+1-xn得1xn+1-1221xn-120,所以1xn-1221xn-1-122n-11x1-12=2n-2,故xn12n-2.综上,12n-1xn12n-2(nN*).
