1、绝密 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷,理)本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第卷1至2页,第卷2至4页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B)
2、.如果事件A,B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B).棱柱的体积公式V=Sh,其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.棱锥的体积公式V=13Sh,其中S表示棱锥的底面面积,h表示棱锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R,集合A=x|0x2,B=x|x1,则A(RB)=A.x|0x1B.x|0x1C.x|1x2D.x|0x22.设变量x,y满足约束条件x+y5,2x-y4,-x+y1,y0,则目标函数z=3x+5y的最大值为A.6B.19C.21D.453.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为A.1B.2C
3、.3D.44.设xR,则“x-1212”是“x3bcB.bacC.cbaD.cab6.将函数y=sin2x+5的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数A.在区间34,54上单调递增B.在区间34,上单调递减C.在区间54,32上单调递增D.在区间32,2上单调递减7.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=18.如图,在平面四边形ABCD中,
4、ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为A.2116B.32C.2516D.3第卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.i是虚数单位,复数6+7i1+2i=.10.在x-12x5的展开式中,x2的系数为.11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.12.已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线x=-1+22t,y=3-2
5、2t(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则ABC的面积为.13.已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.14.已知a0,函数f(x)=x2+2ax+a,x0,-x2+2ax-2a,x0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.16.(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人
6、数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.17.(本小题满分13分)如图,ADBC且AD=2BC,ADCD,EGAD且EG=AD,CDFG且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN平面CDE;
7、(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60,求线段DP的长.18.(本小题满分13分)设an是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(nN*),bn是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求an和bn的通项公式;(2)设数列Sn的前n项和为Tn(nN*),求Tn;证明k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(nN*).19.(本小题满分14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,点A的坐标为(b,0),且|FB
8、|AB|=62.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若|AQ|PQ|=524sinAOQ(O为原点),求k的值.20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a1.(1)求函数h(x)=f(x)-xln a的单调区间;(2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线平行,证明x1+g(x2)=-2ln lnalna;(3)证明当ae1e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.数学(天津卷,理)1.BB=x|x1
9、,RB=x|x1.A=x|0x2,A(RB)=x|0x1.故选B.2.C作出不等式组x+y5,2x-y4,-x+y1,y0表示的平面区域如图阴影部分所示.由x+y=5,-x+y=1,解得点A的坐标为(2,3).由z=3x+5y,得y=-35x+z5.由图可知,当直线y=-35x+z5过点A时,z5最大,即z最大.所以z的最大值zmax=32+53=21.3.B输入N=20,i=2,T=0,此时202=10是整数,T=1,i=3,不满足i5;此时203不是整数,i=4,不满足i5;此时204=5是整数,T=2,i=5,满足i5,输出T=2.4.A由x-1212,可得0x1.由x31,可得x1.所
10、以“x-1212”是“x3log2elog22=1,即ca1.因为y=ln x在(0,+)上单调递增,且b=ln 2,所以ln 2ln e=1,即bab.故选D.6.A将函数y=sin2x+5的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin2x-10+5=sin 2x.当-2+2k2x2+2k,kZ,即-4+kx4+k,kZ时,y=sin 2x单调递增.当2+2k2x32+2k,kZ,即4+kx34+k,kZ时,y=sin 2x单调递减,结合选项,可知y=sin 2x在34,54上单调递增.故选A.7.C由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|B
11、C|=d2,过点F作EFCD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=bax的距离为|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1.故选C.8.A如图,取AB的中点F,连接EF.AEBE=(AE+BE)2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.当EFCD时,|EF|最小,即AEBE取最小值.过点A作AHEF于点H,由ADCD,EFCD,可得EH=AD=1,DAH=90.因为DAB=120,所以HAF=30.在RtAF
12、H中,易知AF=12,HF=14,所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(AEBE)min=542-14=2116.9.4-i6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=6-12i+7i+145=20-5i5=4-i.10.52x-12x5的展开式的通项为Tr+1=C5rx5-r-12xr=C5rx5-r-12rx-r2=-12rC5rx5-3r2.令5-3r2=2,可得r=2.所以x-12x5的展开式中的x2的系数为-122C52=52.11.112由题意可知,四棱锥M-EFGH的底面EFGH为正方形且边长为22,其高为12,所以V四棱锥M-EFGH=132221
13、2=112.12.12由圆C的方程为x2+y2-2x=0,可得圆心为C(1,0),半径为1.由x=-1+22t,y=3-22t(t为参数),可得直线的普通方程为x+y-2=0.所以圆心C(1,0)到直线x+y-2=0的距离d=|1+0-2|1+1=22.所以|AB|=21-222=2.所以SABC=12|AB|d=12222=12.13.14因为2a0,18b0,所以2a+18b=2a+2-3b22a2-3b=22a-3b,当且仅当a=-3,b=1时,等号成立.因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.所以2a+18b22-6=14,即2a+18b的最小值为14.14.(4,8)由f(x)=a
14、x,可得当x0时,x2+2ax+a=ax,即x2+ax+a=0,可得a=-x2x+1.由a0,可得x0时,-x2+2ax-2a=ax,即x2-ax+2a=0,可得a=x2x-2.由a0,可得x2.可设函数h(x)=x2x-2,其中x(2,+).对g(x)求导,可得g(x)=-x2+2x(x+1)2.令g(x)0,可得x0,可得-2x-1,则g(x)在(-,-2)上单调递减,在(-2,-1)上单调递增.同理可得h(x)在(2,4)上单调递减,在(4,+)上单调递增.画出g(x)和h(x)的大致图象如图所示.由图可知,满足题意的a的取值范围是(4,8).15.解 (1)在ABC中,由正弦定理asi
15、nA=bsinB,可得bsin A=asin B.又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因为B(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.因为ac,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.16.解 (1)由已知
16、,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=C4kC33-kC73(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望E(X)=0135+11235+21835+3435=127.设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥.由知,P(B)=P(X=2),P(C
17、)=P(X=1),故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事件A发生的概率为67.17.解 依题意,可以建立以D为原点,分别以DA,DC,DG的方向为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M0,32,1,N(1,0,2).(1)证明:依题意DC=(0,2,0),DE=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则n0DC=0,n0DE=0,即2y=0,2x+2z=0,不妨令z=-1,可得n0=(1,0,-1).又M
18、N=1,-32,1,可得MNn0=0.又因为直线MN平面CDE,所以MN平面CDE.(2)依题意,可得BC=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2).设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,则nBC=0,nBE=0,即-x=0,x-2y+2z=0,不妨令z=1,可得n=(0,1,1).设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量,则mBC=0,mCF=0,即-x=0,-y+2z=0,不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因此有cos=mn|m|n|=31010,于是sin=1010.所以,二面角E-BC-F的正弦值为1010.(3)设线段DP的长为h(h0,2),则点P的
19、坐标为(0,0,h),可得BP=(-1,-2,h).易知,DC=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故|cos|=|BPDC|BP|DC|=2h2+5.由题意,可得2h2+5=sin 60=32,解得h=330,2.所以,线段DP的长为33.18.(1)解 设等比数列an的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因为q0,可得q=2,故an=2n-1.设等差数列bn的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n.所以,数列an的通项公式为an=2n-1,数列bn的通项公式为bn=n.
20、(2)解 由(1),有Sn=1-2n1-2=2n-1,故Tn=k=1n(2k-1)=k=1n2k-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.证明 因为(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2)=k2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1,所以,k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=233-222+244-233+2n+2n+2-2n+1n+1=2n+2n+2-2.19.解 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=2b.由
21、|FB|AB|=62,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为x29+y24=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQ=y1-y2.又因为|AQ|=y2sinOAB,而OAB=4,故|AQ|=2y2.由|AQ|PQ|=524sinAOQ,可得5y1=9y2.由方程组y=kx,x29+y24=1,消去x,可得y1=6k9k2+4.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组y=kx,x+y-2=0,消去x,可得y2=2kk+1.由5y1=9y2,可得5(k+1)=39k2+4,两边平方,整理得56k2-50k+11
22、=0,解得k=12,或k=1128.所以,k的值为12或1128.20.(1)解 由已知,h(x)=ax-xln a,有h(x)=axln a-ln a.令h(x)=0,解得x=0.由a1,可知当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x(-,0)0(0,+)h(x)-0+h(x)极小值所以函数h(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+).(2)证明 由f(x)=axln a,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线斜率为ax1ln a.由g(x)=1xlna,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线斜率为1x2lna.因为这两条切线平行,故有ax1l
23、n a=1x2lna,即x2ax1(ln a)2=1.两边取以a为底的对数,得logax2+x1+2logaln a=0,所以x1+g(x2)=-2ln lnalna.(3)证明 曲线y=f(x)在点(x1,ax1)处的切线l1:y-ax1=ax1ln a(x-x1).曲线y=g(x)在点(x2,logax2)处的切线l2:y-logax2=1x2lna(x-x2).要证明当ae1e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当ae1e时,存在x1(-,+),x2(0,+),使得l1与l2重合.即只需证明当ae1e时,方程组ax1lna=1x2lna,ax
24、1-x1ax1lna=logax2-1lna有解.由得x2=1ax1(lna)2,代入,得ax1-x1ax1ln a+x1+1lna+2ln lnalna=0.因此,只需证明当ae1e时,关于x1的方程存在实数解.设函数u(x)=ax-xaxln a+x+1lna+2ln lnalna,即要证明当ae1e时,函数y=u(x)存在零点.u(x)=1-(ln a)2xax,可知当x(-,0)时,u(x)0;当x(0,+)时,u(x)单调递减,又u(0)=10,u1(lna)2=1-a1(lna)20,使得u(x0)=0,即1-(ln a)2x0ax0=0.由此可得u(x)在(-,x0)上单调递增,
25、在(x0+)上单调递减,u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).因为ae1e,故ln ln a-1,所以u(x0)=ax0-x0ax0ln a+x0+1lna+2ln lnalna=1x0(lna)2+x0+2ln lnalna2+2ln lnalna0.下面证明存在实数t,使得u(t)1lna时,有u(x)(1+xln a)(1-xln a)+x+1lna+2ln lnalna=-(ln a)2x2+x+1+1lna+2ln lnalna,所以存在实数t,使得u(t)0.因此,当ae1e时,存在x1(-,+),使得u(x1)=0.所以,当ae1e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.
